Środkową trójkąta nazywamy odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku.

Dowolna środkowa trójkątaśrodkowa trójkątaśrodkowa trójkąta dzieli ten trójkąt na dwa trójkąty o równych polach.

Na rysunku na przedłużeniu boku $AB$ zaznaczono punkt $A^{\text{'}}$ taki, że $\left|AB\right|=\left|A^{\text{'}}B\right|$.

RD9X3BdmHtcJz

Na ilustracji przedstawiono trójkąt $ABC$, z kątem rozwartym przy wierzchołku B. Linią przerywaną przedłużono dwukrotnie podstawę $AB$ trójkąta i zaznaczono punkt A z indeksem prim. Wierzchołek C połączono z wierzchołkiem A. Powstał trójkąt $AA\text{'}C$.

Pokażemy, że pole trójkąta $A{A}^{\text{'}}C$ jest dwa razy większe od pola trójkąta $ABC$.

Rozwiązanie

Rzeczywiście, z równości $\left|AB\right|=\left|A^{\text{'}}B\right|$ wynika $CB$ jest środkową trójkąta $A{A}^{\text{'}}C$, więc $P_{ABC}=P_{A^{\text{'}}BC}$. Stąd $P_{A{A}^{\text{'}}C}=P_{ABC}+P_{A^{\text{'}}BC}=2P_{ABC}$.

Pokażemy, że jeśli punkt $P$ leży na środkowej $CD$ trójkąta $ABC$ to pola trójkątów $APD$ i $BPD$ są równe.

Rgdb0eVixy1fs

Na ilustracji przedstawiono trójkąt $ABC$. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu D, leżącego na boku $AB$. Z wierzchołka A poprowadzono środkową boku $CB$ do punktu P, leżącego na środkowej $CD$. Z wierzchołka B poprowadzono środkową boku $AC$, do punku P.

Rozwiązanie

Ponieważ odcinek $CD$ jest środkową trójkąta $ABC$, a punkt $P$ leży na tej środkowej, to punkt $D$ jest środkiem boku $AB$ trójkąta $ABP$. Stąd odcinek $PD$ jest środkową trójkąta $ABP$. Stąd dzieli on ten trójkąta na dwa trójkąty $APD$ i $BPD$ o równych polach.

Linia środkowa w trójkącie jest równoległa do podstawy i długość linii środkowej jest równa połowie długości podstawy.

Środkowe w trójkącie przecinają się w jednym punkcie i punkt ten dzieli środkowe w stosunku $2:1$ licząc od wierzchołków trójkąta.

W trójkącie $ABC$ środkowe $AE$ i $BF$ przecinają się w punkcie $S$. Pokażemy, że trójkąt $ESF$ jest podobny do trójkąta $ASB$ w skali $1:2$, a stąd stosunek pól tych trójkątów wynosi $1:4$.

Rozwiązanie

RQe3vhwG92Wh8

Na ilustracji przedstawiono trójkąt $ABC$. Z wierzchołka A poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku $BC$. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu F, leżącego na boku $AC$. W miejscu przecięcia środkowych zaznaczono punkt S. Zielonym kolorem połączono punkt E i F.

Ponieważ punkt $S$ jest punktem przecięcia środkowych w trójkącie $ABC$, to: $\left|AS\right|=2·\left|SE\right|$ i $\left|BS\right|=2·\left|SF\right|$.

Odcinek $EF$ łączy środki boków $BC$ i $AC$, zatem $\left|AB\right|=2·\left|EF\right|$.

Stąd trójkąty $ESF$ i $ASB$ są podobne w skali $1:2$. A z własności skali podobieństwa: stosunek pól tych trójkątów wynosi $1:4$.

Środkowe $BE$ i $CD$ trójkąta $ABC$ są prostopadłe, $\left|BE\right|=12$ , $\left|CD\right|=8$. Wyznaczymy długości boków trójkąta $ABC$.

Rozwiązanie

Popatrzmy na rysunek.

R165rdyXIqLy1

Na ilustracji przedstawiono trójkąt $ABC$. Z wierzchołka B poprowadzono środkową do punktu E, leżącego na boku $AC$. Z wierzchołka C poprowadzono środkową do punktu D, leżącego na boku $AB$. Środkowe przecinają się pod kątem prostym w punkcie S.

Ponieważ $S$ dzieli środkowe w stosunku $2:1$, to:

$\left|CS\right|=\frac{2}{3}·\left|CD\right|=\frac{16}{3}$

$\left|SD\right|=\frac{1}{3}·\left|CD\right|=\frac{8}{3}$

$\left|BS\right|=\frac{2}{3}·\left|BE\right|=8$

$\left|ES\right|=\frac{1}{3}·\left|BE\right|=4$

Zastosujemy twierdzenie Pitagorasa do obliczenia długości odpowiednich odcinków:

${\left|CE\right|}^2={\left(\frac{16}{3}\right)}^2+4^2=\frac{400}{9}$, więc $\left|CE\right|=\sqrt{\frac{400}{9}}=\frac{20}{3}$ i stąd $\left|AC\right|=2\left|CE\right|=\frac{40}{3}$

${\left|BC\right|}^2={\left(\frac{16}{3}\right)}^2+8^2=\frac{832}{9}$, więc $\left|BC\right|=\sqrt{\frac{832}{9}}=\frac{8\sqrt{13}}{3}$

$|BD{|}^2=(\frac{8}{3}{)}^2+8^2=\frac{640}{9}$, więc $|BD|=\sqrt{\frac{640}{9}}=\frac{8\sqrt{10}}{3}$ i stąd $|AB|=2\cdot |BD|=\frac{16\sqrt{10}}{3}$

Pokażemy, że środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego w trójkącie prostokątnym ma długość równą połowie długości przeciwprostokątnej.

Rozwiązanie

Wykorzystujemy fakt, że kąt oparty na średnicy okręgu jest kątem prostym. Środkowa poprowadzona z wierzchołka kąta prostego łączy punkt na okręgu ze środkiem średnicy, czyli ze środkiem okręgu. Stąd mamy, że długość środkowej jest równa długości promienia okręgu, czyli połowie średnicy.

Jeżeli wierzchołki trójkąta mają współrzędne $A=\left(a_1,a_2\right)$, $B=\left(b_1,b_2\right)$, $C=\left(c_1,c_2\right)$ to środek ciężkości $S$ tego trójkąta ma współrzędne $S=\left(\frac{a_1+b_1+c_1}{3},\frac{a_2+b_2+c_2}{3}\right)$.

Współrzędne wierzchołków trójkąta $ABC$ wynoszą $A=\left(1,1\right)$, $B=\left(3,4\right)$, $C=\left(5,-2\right)$. Wyznaczymy odległość punktu ciężkościśrodek ciężkości trójkątapunktu ciężkości $S$ tego trójkąta od wierzchołków $A$, $B$, $C$.

Rozwiązanie

Z powyższego twierdzenia $S=\left(\frac{9}{3},\frac{3}{3}\right)=\left(3,1\right)$.

Odległości od wierzchołków trójkąta są długościami odcinków:

$\left|AS\right|=\sqrt{{\left(3-1\right)}^2+{\left(1-1\right)}^2}=2$

$\left|BS\right|=\sqrt{{\left(3-3\right)}^2+{\left(1-4\right)}^2}=3$

$\left|CS\right|=\sqrt{{\left(3-5\right)}^2+\left(1-\left(-2\right)\right){}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$

odcinek łączący wierzchołek trójkąta ze środkiem przeciwległego boku

odcinek, który łączy środki dwóch boków w trójkącie

punkt przecięcia środkowych trójkąta