Przeczytaj

Popatrzmy na trójkąt prostokątny i przypomnijmy raz jeszcze definicje wartości funkcji trygonometrycznych kątów tego trójkąta.

REeYP40hkIso8

Rysunek przedstawia trójkąt prostkątny ABC. Przy wierzchołku C oznaczono kąt prosty, a bok leżący naprzeciw tego wierzchołka, czyli przeciwprostokątną, oznaczono małą literą c. Przy wierzchołku A oznaczono kąt α, a bok leżący naprzeciw tego wierzchołka, czyli przyprostokątną, oznaczono małą literą a. Przy wierzchołku B oznaczono kąt β, a bok leżący naprzeciw tego wierzchołka, czyli przyprostokątną, oznaczono małą literą b.

\sin α = \frac{a}{c}, \sin β = \frac{b}{c}

\cos α = \frac{b}{c}, \cos β = \frac{a}{c}

tg α = \frac{a}{b}, tg β = \frac{b}{a}

Suma miar kątów w trójkącie wynosi $180 °$ , więc $α + β + 90 ° = 180 °$ , a zatem $β = 90 ° - α$ .

Problem 1

Biorąc pod uwagę powyższe rozważania sformułujmy twierdzenie wiążące funkcje trygonometryczne kątów $α$ oraz $90 ° - α$ .

Funkcje trygonometryczne kąta

90 ° - α

Twierdzenie: Funkcje trygonometryczne kąta

90 ° - α

Dla dowolnego kąta ostrego $α$ zachodzą równości:

\sin (90 ° - α) = \cos α

\cos (90 ° - α) = \sin α

tg (90 ° - α) = \frac{1}{tg α}

Powyższe twierdzenie jest najprostszym przykładem wzorów redukcyjnychwzory redukcyjnewzorów redukcyjnych.

Zanim przejdziemy do zarysowanego we wstępie problemu znalezienia długości przyprostokątnej trójkąta prostokątnego, gdy znamy długość drugiej przyprostokątnej i wysokości poprowadzonej z wierzchołka kąta prostego, rozważmy łatwiejszy przykład.

Przykład 1

Korzystając z danych na rysunku obliczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $90 ° - α$ .

RsYx3NeryqXrY

Rysunek przedstawia trójkąt prostokątny o przyprostokątnych o długościach: 3 oraz 5 oraz o przeciwprostokątnej c. Oznaczono także dwa kąty wewnętrzne trójkąta: kąt prosty oraz kąt α między bokami 5 oraz c.

Rozwiązanie

Zaczniemy od obliczenia długości przeciwprostokątnej $c$ . Skorzystamy z twierdzenia Pitagorasa:

$c^{2} = 3 + 5 = 8$ .

Zatem $c = 2 \sqrt{2}$ .

Wykorzystamy twierdzenie o funkcjach trygonometrycznych kąta $(90 ° - α)$ :

$\sin (90^{\circ} - α) = \cos^{\circ} α = \frac{\sqrt{5}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}}{4}$

$\cos (90^{\circ} - α) = \sin^{\circ} α = \frac{\sqrt{3}}{2 \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$

$tg (90^{\circ} - α) = \frac{1}{tg α} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{15}}{3}$

Przykład 2

Harcerze chcą wybudować bramę na obozie harcerskim. Chcą, aby brama miała kształt trójkąta prostokątnego, którego wysokość poprowadzona z wierzchołka kąta prostego ma długość $4 m$ , a jedno z ramion ma długość $5 m$ . Obliczymy, jaka będzie długość drugiego ramienia.

Rozwiązanie

Zacznijmy od rysunku.

Rxv1EwQ5jTLAP

Rysunek przedstawia dwa odcinki: jednen poziomy, a drugi ukośny. Mają one wspólny początek po lewej stronie odcinka poziomego. Odcinek ukośny opisany jest jako 5 metrów i tworzy z poziomym kąt wklęsły. Przez drugi koniec odcinka ukośnego poprowadzono linią przerywaną odcinek ukośny biegnący do odcinka poziomego i w ten sposób powstaje trójkąt. Odcinek domykający trójkąt opisano jako x. Z górnego wierzchołka, z którego wychodzą dwa ukośne boki, opuszczono wysokość na poziomą podstawę. Przy tym wierzchołku zaznaczono kąt wewnętrzy o mierze dziewięćdziesięciu stopni.Wysokość narysowana jest linią przerywaną i opisana jest jako 4 metry. Zaznaczono także kąt prosty pomiędzy wysokością a podstawą po prawej stronie wysokości.

Nie znamy szerokości bramy, ani długości $x$ , więc nie możemy korzystać z twierdzenia Pitagorasa. Popatrzmy na kąty w powstałych trójkątach.

ReFU3iwlRBztL

Z definicji sinusa wiemy, że $\sin α = \frac{4}{5}$ .

Zatem $\cos (90 ° - α) = \frac{4}{5}$ .

Skorzystamy z jedynki trygonometrycznej, gdyż, żeby policzyć $x$ , potrzebujemy znać $\sin (90 ° - α)$ .

$\sin^{2} (90 ° - α) = 1 - \cos^{2} (90 ° - α) = 1 - {(\frac{4}{5})}^{2} = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$

$\sin (90 ° - α) = \frac{3}{5}$

Z definicji sinusa wiemy, że $\sin (90 ° - α) = \frac{4}{x}$ .

Zatem $\frac{3}{5} = \frac{4}{x}$ , więc $x = \frac{20}{3}$ .

Odpowiedź

Drugie ramię powinno mieć długość około $6$ metrów i $67$ centymetrów.

Twierdzenie o wartościach funkcji trygonometrycznych kąta $90 ° - α$ wykorzystujemy nie tylko w planimetrii. Niejednokrotnie ułatwia ono rachunki i pozwala unikać korzystania z przybliżonych wartości funkcji trygonometrycznych. Rozważmy kilka przykładów.

Przykład 3

Obliczymy $\sin 22 ° - \cos 68 °$ .

Rozwiązanie

Zauważmy, że $22 ° = 90 ° - 68 °$ .

Możemy więc przekształcić wyjściową równość

$\sin 22 ° - \cos 68 ° = \sin 22 ° - \cos (90 ° - 22 °)$

a następnie skorzystać z faktu, że

$\cos (90 ° - α) = \sin α$

i zapisać równanie:

$\sin 22 ° - \cos (90 ° - 22 °) = \sin 22 ° - \sin 22 ° = 0$ .

Zwróćmy uwagę, że mogliśmy rozwiązać to zadanie korzystając z faktu, że $22 ° = 90 ° - 68 °$ oraz $\sin (90 ° - α) = \cos α$ otrzymując ciąg równości:

$\sin 22 ° - \cos 68 ° = \sin (90 ° - 68 °) - \cos 68 ° = \cos 68 ° - \cos 68 ° = 0$ .

Przykład 4

Obliczymy wartość wyrażenia $tg 10 ° \cdot tg 20 ° \cdot tg 30 ° \cdot tg 40 ° \cdot tg 50 ° \cdot tg 60 ° \cdot tg 70 ° \cdot tg 80 °$ .

Mnożenie jest przemienne oraz $80 ° = 90 ° - 10 °$ , $70 ° = 90 ° - 20 °$ , $60 ° = 90 ° - 30 °$ , $50 ° = 90 ° - 40 °$ , więc wyjściową równość możemy zapisać jako:

$tg 10 ° \cdot tg (90 ° - 10 °) \cdot tg 20 ° \cdot tg (90 ° - 20 °) \cdot$

$\cdot tg 30 ° \cdot tg (90 ° - 30 °) \cdot tg 40 ° \cdot tg (90 ° - 40 °)$ .

Ponieważ $tg (90 ° - α) = \frac{1}{tg α}$ nasze równanie przyjmuje postać:

$tg 10 ° \cdot \frac{1}{tg 10 °} \cdot tg 20 ° \cdot \frac{1}{tg 20 °} \cdot tg 30 ° \cdot \frac{1}{tg 30 °} \cdot tg 40 ° \cdot \frac{1}{tg 40 °} = 1$ .

Przykład 5

Udowodnimy, że

$\sin^{2} 32 ° + \sin^{2} 58 ° + \sin 83 ° \cdot \cos^{2} 7 ° + \cos 7 ° \cdot \cos^{2} 83 ° +$

$(- tg 44 °) \cdot tg 46 ° = \cos 7 °$ .

Rozwiąznie

Zauważmy, że: $32 ° + 58 ° = 90 °$ , $44 ° + 46 ° = 90 °$ i $7 ° + 83 ° = 90 °$ ,

zatem

$\sin^{2} 58 ° = \cos^{2} 32 °$ , $\cos 7 ° = \sin 83 °$ oraz $tg 46 ° = \frac{1}{tg 44 °}$ .

Mamy:

$\sin^{2} 32 ° + \sin^{2} 58 ° + \sin 83 ° \cdot \cos^{2} 7 ° + \cos 7 ° \cdot \cos^{2} 83 ° - tg 44 ° \cdot tg 46 ° =$

$= \sin^{2} 32 ° + \cos^{2} 32 ° + \cos 7 ° \cdot (\sin 83 ° \cdot \cos 7 ° + \cos^{2} 83 °) - tg 44 ° \cdot \frac{1}{tg 44 °} =$

$= 1 + \cos 7 ° \cdot (\sin 83 ° \cdot \sin 83 ° + \cos^{2} 83 °) - 1 =$

$= \cos 7 ° \cdot (\sin^{2} 83 ° + \cos^{2} 83 °) = \cos 7 ° \cdot 1 = \cos 7 °$ .

c. n. u.

Słownik

wzory redukcyjne

wzory, które pozwalają przekształcić funkcje trygonometryczne kątów postaci $90 ° \pm α$ , $180 ° \pm α$ , $270 ° \pm α$ , $. . .$ w funkcje trygonometryczne kąta $α$

\sin (90 ° - α) = \cos α

\cos (90 ° - α) = \sin α

tg (90 ° - α) = \frac{1}{tg α}

Wprowadzenie

Gra edukacyjna

Słownik