Warto przeczytać

Jak uzyskać zwierciadło kuliste wklęsłe? Weźmy sferę, czyli powierzchnię kuli, i płaskim cięciem usuńmy jej fragment. Otrzymamy powierzchnię zwaną czaszą kulistą (Rys. 1.). Gdy jej wewnętrznej powierzchni nadamy lustrzany połysk, dostaniemy zwierciadło kuliste wklęsłe, które będzie przedmiotem naszych rozważań.

R109CRaElpXjj

Rys. 1. Na ilustracji widoczna jest z lewej strony szara sfera, przez której środek oznaczony wielką literą O przechodzi pozioma przerywana czarna linia. Po prawej stronie widoczna jest część identycznej sfery, której większa, prawa część została wycięta. Wycięcie części sfery sprawiło, że widoczna jest jej wewnętrzna, bardziej połyskliwa powierzchnia. Połysk symbolizuje pokrycie jej odpowiednią substancją odbijającą światło. W ten sposób, wewnętrzna część wyciętej sfery stała się stała się zwierciadłem kulistym wklęsłym. Wycięta część sfery narysowana jest na tej samej czarnej, przerywanej i poziomej linii co sfera po lewej stronie. W hipotetycznym środku wyciętej sfery również zaznaczony jest punkt oznaczony wielką literą O i oznaczający środek. Na powierzchni wyciętego kawałka, również na czarnej przerywanej linii oznaczono punkt duże W, który symbolizuje wierzchołek sfery. Analizując rysunek można zauważyć, że odległość pomiędzy punktem oznaczonym wielką literą O i symbolizującym teoretyczny środek fragmentu wyciętej sfery, a wierzchołkiem sfery, znajdującym się na jej powierzchni, stanowi promień krzywizny powstałego zwierciadła.

Chcąc scharakteryzować powstałą w ten powierzchnię odbijającą używa się pojęcia promienia krzywizny zwierciadła. Jest to promień sfery, z której to zwierciadło powstało. Promień krzywizny oznaczamy symbolem $r$.

Osią optyczną zwierciadła nazywamy jego oś symetrii, tj. prostą przechodzącą przez środek czaszy $O$ i jej wierzchołek $W$. Okazuje się, że promienie równoległe do osi, po odbiciu od zwierciadła przecinają się z osią w różnych punktach. Jednak jeśli ograniczymy się do promieni leżących blisko osi (zwanych przyosiowymipromienie przyosioweprzyosiowymi), to w dobrym przybliżeniu przecinają się one w punkcie $F$, zwanym ogniskiem (Rys. 2.).

RXftRgRVhtzz7

Rys.2. Na ilustracji, po prawej stronie przedstawione jest schematycznie zwierciadło kuliste wklęsłe w postaci symetrycznego łuku, będącego fragmentem okręgu. Łuk ten narysowany jest czarnym kolorem. Wklęsła część zwierciadła skierowana jest w lewą stronę. Po prawej stronie styczne do zwierciadła, narysowane są ukośne czarne kreski, które oznaczają, że powierzchnia odbijająca zwierciadła jest skierowana w lewą stronę. Przez środek ilustracji przechodzi pozioma czarna linia, w taki sposób, że dzieli ona zwierciadło na dwie równe części. Czarna linia symbolizuje oś optyczną wklęsłego zwierciadła kulistego. Na czarnej linii zaznaczone są trzy punkty. Najbardziej z prawej znajduje się punkt oznaczony wielką literą W, który oznacza wierzchołek zwierciadła. Leży on na powierzchni zwierciadła. Nieco z lewej strony widoczny jest punkt oznaczony wielką literą F, który oznacza ognisko zwierciadła. Najbardziej po lewej stronie widoczny jest punkt oznaczony wielką literą O. Punkt ten stanowi hipotetyczny środek okręgu, którego fragmentem jest zwierciadło. Odległość pomiędzy punktami oznaczonymi wielkimi literami O i F jest taka sama, jak odległość pomiędzy punktami oznaczonymi wielkimi literami W i F. Odległość pomiędzy punktami oznaczonymi wielkimi literami O i W stanowi promień krzywizny kulistego zwierciadła wklęsłego, a zatem możemy wywnioskować, że ognisko kulistego zwierciadła wklęsłego umiejscowione jest zawsze w odległości równej połowie promienia krzywizny. Równolegle do osi optycznej zwierciadła narysowanego w postaci czarnej poziomej linii, biegną czerwone również poziome linie z zaznaczonym kierunkiem w prawą stronę. Linie te oznaczają teoretyczne promienie świetlne. Po odbiciu się od zwierciadła, czerwone promienie skupiają się w ognisku oznaczonym wielką literą F. Ilustracja przedstawia zatem, schematyczny bieg promieni świetlnych odbitych od wewnętrznej części wklęsłego zwierciadła kulistego.

Ognisko zwierciadła leży w połowie odcinka łączącego środek krzywizny z wierzchołkiem. Jego odległość od wierzchołka nazywa się ogniskową i oznacza literą $f$,

Uzupełniając opis zwierciadła kulistego wprowadźmy również dwie ważne zmienne: odległość przedmiotu od zwierciadła (oznaczmy ją literą $x$) oraz odległość obrazu od zwierciadła ($y$), (Rys. 3.). Zależność pomiędzy $x$, $y$ i ogniskową $f$ wyraża się następującym wzorem:

i nazywana jest równaniem zwierciadła. Więcej na jego temat możesz przeczytać w e‑materiale „Równanie zwierciadła”.

R1TGMY7wL3SZl

Rys. 3. Na ilustracji widoczne jest wklęsłe schematycznie narysowane kuliste zwierciadło wklęsłe w postaci czarnego symetrycznego łuku. Znajduje się on po prawej stronie ilustracji. Wklęsła część zwierciadła skierowana jest w lewą stronę. Na środku łuku widoczny jest czarny punkt oznaczony wielką literą W, który oznacza wierzchołek zwierciadła. Przez wierzchołek zwierciadła przechodzi oś optyczna widoczna w postaci czarnej, przerywanej i poziomej linii. Oś dzieli zwierciadła na dwie równe części, górną i dolną. Po lewej stronie zwierciadła widoczne są punkty znajdujące się na osi optycznej, oznaczone wielkimi literami F, który oznacza ognisko zwierciadła i O, który stanowi środek zwierciadła. Ognisko zwierciadła leży w połowie odległości pomiędzy wierzchołkiem i środkiem. Po lewej stronie od środka zwierciadła oznaczonego wielką literą O widoczny jest punkt zaznaczony wielką literą B. tego punktu od osi optycznej narysowana jest pionowa, czerwona strzałka w górę. Symbolizuje on przedmiot umieszczony przed wklęsłym zwierciadłem kulistym a odległość pomiędzy punktem oznaczonym wielką literą B i wierzchołkiem zwierciadła widocznym jako wielka litera W stanowi odległość przedmiotu od zwierciadła. Z górnego końca czerwonej strzałki symbolizującej przedmiot wychodzą dwa schematyczne promienie świetlne widoczne w postaci czerwonych skierowanych linii. Linie te biegną w kierunku zwierciadła. Jedna z nich jest pozioma i równoległa względem osi optycznej zwierciadła. Po odbiciu się od wewnętrznej, wklęsłej części zwierciadła linia ta przechodzi przez ognisko oznaczone wielką literą F. Drugi z promieni świetlnych wychodzący z górnego wierzchołka strzałki oznaczającej przedmiot umieszczony przed zwierciadłem skierowany jest ukośnie w dół i w lewą stronę. Promień ten przechodzi przez ognisko soczewki a następnie odbija się od wewnętrznej powierzchni zwierciadła w lewą stronę i biegnie poziomo równolegle do osi optycznej. Dwa odbite promienie przecinają się poniżej osi optycznej zwierciadła w punkcie oznaczonym wielką literą A prim. Pomiędzy punktem przecięcia się promieni odbitych od zwierciadła a osią optyczną narysowana jest czerwona strzałka skierowana pionowo w dół, która symbolizuje obraz przedmiotu powstały po odbiciu promieni od zwierciadła. Punkt na osi optycznej stanowiący początek tej strzałki oznaczony jest wielką literą B prim. Punkt wielkie B prim znajduje się pomiędzy położeniem ogniska zwierciadła i jego środkiem. Z każdego punktu widocznego na osi optycznej poprowadzona jest pionowa, przerywana i czarna linia w dół. Pomiędzy liniami zaznaczone są odległości obrazujące odległość pomiędzy wierzchołkiem zwierciadła wielkie W a pozostałymi punktami. Odległość pomiędzy Wierzchołkiem wielkie W i Ogniskiem soczewki wielkie F oznaczona jest małą literą f, która jest ogniskową zwierciadła. Pomiędzy Wierzchołkiem zwierciadła Wielkie W i środkiem zwierciadła wielkie O widoczna jest odległość małe r, będąca promieniem krzywizny zwierciadła. Odległość pomiędzy wierzchołkiem zwierciadła wielkie W i punktem wielkie B oznaczającym położenie przedmiotu przed zwierciadłem zaznaczona jest jako małe x. Dystans pomiędzy wierzchołkiem zwierciadła wielkie W i punktem wielkie B prim, który symbolizuje odległość obrazu zaznaczona jest małą literą y.

Powiększenie liniowe definiuje się jako iloraz rozmiaru obrazu i rozmiaru przedmiotu. Jest to wielkość bezwymiarowa i większa od zera.

gdzie $p$ – powiększenie,

$h_o=\mathrm{|A’B’|}$ – wysokość obrazu,

$h_p=\mathrm{|AB|}$ – wysokość przedmiotu.

Powiększenie można także wyrazić jako

Powiększenie ma następujące, zgodne z nazwą, własności:

• jeśli $0<p<1$, obraz jest mniejszy niż przedmiot;

• jeśli $p=1$, obraz jest tej samej wielkości co przedmiot;

• jeśli $p>1$, obraz jest większy niż przedmiot.

Jak wspomniano wcześniej, w przypadku zwierciadła kulistego promienie równoległe do osi po odbiciu przecinają się z osią w różnych punktach. Mówimy wówczas o tzw. ***aberracji sferycznejaberracja sferycznaaberracji sferycznej***. Spróbujmy opisać to matematycznie.

R1J3lITmzZxjX

Rys. 4. Na ilustracji widoczne jest wklęsłe schematycznie narysowane kuliste zwierciadło wklęsłe w postaci czarnego symetrycznego łuku. Znajduje się on po prawej stronie ilustracji. Wklęsła część zwierciadła skierowana jest w lewą stronę. Na środku łuku widoczny jest czarny punkt oznaczony wielką literą W, który oznacza wierzchołek zwierciadła. Przez wierzchołek zwierciadła przechodzi oś optyczna widoczna w postaci czarnej, poziomej linii. Po lewej stronie zwierciadła, na osi optycznej widoczne są dwa punkty. Pierwszy z nich znajduje się bliżej wierzchołka zwierciadła wielkie W i oznaczony jest wielką literą F. Oznacza on położenie ogniska kulistego zwierciadła wklęsłego. Dalej po lewej stronie, w dwukrotnie większej odległości znajduje się punkt oznaczony wielka litera O, który oznacza położenie środka hipotetycznego zwierciadła kulistego. Poniżej zwierciadła opisane są odległości pomiędzy wierzchołkiem zwierciadła wielkie W i jego ogniskiem wielkie F oznaczona małą literą f, oraz pomiędzy wierzchołkiem zwierciadła wielkie W i punktem wielkie O oznaczone małą literą r. Odległość małe f jest ogniskową zwierciadła, natomiast odległość małe r jest promieniem krzywizny zwierciadła. Równolegle i powyżej osi optycznej widoczny jest teoretyczny promień świetlny narysowany w postaci czerwonej linii prostej biegnącej w kierunku zwierciadła z zaznaczonym kierunkiem. Promień odbija się od zwierciadła i biegnie ku lewemu dolnemu rogowi ilustracji, przechodząc przez ognisko zwierciadła wielka litera F. Z punktu oznaczonego wielką literą O poprowadzono czarną linię do punktu w którym czerwony promień odbija się od zwierciadła, dzieląc kąt pomiędzy promieniem padającym na zwierciadło i odbitym na pół. Kąty pomiędzy czarną linią a promieniem padającym na zwierciadło oraz promieniem odbitym od zwierciadła oznaczone są małą grecką literą alfa.

Na Rys. 4. możemy zauważyć, że

oraz że

gdzie $r$ oznacza promień krzywizny zwierciadła, a długość odcinka $\mathrm{WF}$ to odległość ogniska od zwierciadła, czyli ogniskowa $f$.

Przekształcając równanie (2) otrzymujemy zależność pozwalającą obliczyć wartość $\mathrm{|FO|}$:

Wstawiając (3) do (1) mamy

Po wyciągnięciu $r$ przed nawias wzór (4) przyjmuje postać

Widzimy więc, że wielkość ta (odległość punktu przecięcia promienia odbitego z osią optyczną od wierzchołka) na ogół nie jest tożsama z ogniskową i nie jest jednakowa dla wszystkich promieni równoległych – zależy od kąta $\alpha$. Biorąc pod uwagę promienie przyosiowepromienie przyosiowepromienie przyosiowe – możliwie bliskie osi optycznej - i korzystając z faktu, że dla $\alpha \to 0cos\alpha \to 1$ zauważamy, że

zgodnie z tym, co napisane było wcześniej. Jeśli na zwierciadło sferyczne pada szeroka, równoległa do osi optycznej wiązka światła, to po odbiciu od powierzchni tego zwierciadła promienie nie przetną się w ognisku, lecz przejdą w pewnej odległości od niego (Rys. 5.).

R1ARlrWRmTTjG

Rys. 5. Rysunek przedstawia schemat promieni świetlnych odbitych od sferycznego zwierciadła wklęsłego. Na ilustracji widoczne jest sferyczne zwierciadło wklęsłe w postaci niebieskiego kształtu, który z lewej strony wklęsły a z prawej płaski. Wklęsła część jest symetryczna. Z lewej strony na zwierciadło padają promienie narysowane w postaci czerwonych linii, na których widać kierunek propagacji w prawą stronę. Promienie biegną poziomo i są równoległe względem siebie. Po odbiciu od zwierciadła nie przecinają się w jednym punkcie. Wynika z tego, że powstały po odbiciu obraz powinien być zdeformowany.

Jeśli rozmiary przedmiotu są porównywalne z rozmiarami zwierciadła, aberracja sferycznaaberracja sferycznaaberracja sferyczna powoduje istotną deformację obrazu, której nie można wyeliminować. Można natomiast zastąpić zwierciadło sferyczne zwierciadłem parabolicznym. Powierzchnią tego zwierciadła jest paraboloida obrotowa, powstająca przez obrót paraboli o równaniu $y=a{x}^2$ wokół osi symetrii, tj. osi OY.

Parabolę umieśćmy w kartezjańskim układzie współrzędnych tak, aby jego początek (0,0) pokrywał się z jej wierzchołkiem, a po obrocie także z wierzchołkiem zwierciadła (Rys. 6.).

R1Vc43fHr276t

Rys. 6. Na ilustracji widoczne jest zwierciadło paraboliczne w postaci przypominającej szary prostokąt z parabolicznym wgłębieniem od góry. W najniższym punkcie zagłębienie zaznaczony jest punkt zero 0, który stanowi początek dwuwymiarowego, prostokątnego układu współrzędnych. Układ współrzędnych narysowany jest czarnymi strzałkami gdzie os oznaczona mała literą x skierowano poziomo w prawą stronę, natomiast oś oznaczoną małą literą y skierowano pionowo w górę. Oś oznaczona literą małe y dzieli zwierciadło paraboliczne wklęsła na dwie symetryczne części, prawą i lewą. Z prawej strony w stosunku do osi małe y pionowo w dół pada promień świetlny narysowany czerwoną linią. Punkt w którym promień pada na zwierciadło oznaczona wielką literą A i oznaczono jego współrzędne w układzie xy, jako małe x z indeksem dolnym duże A i małe y z indeksem dolnym A. Dwustronnymi, cienkimi i czarnymi strzałkami, posiadającymi groty z oby stron, które są równoległe względem osi układu współrzędnych oznaczono odległości punktu duże A od początku układu. Na osi małe y, zaznaczono punkt duże M, dokładnie na wysokości punktu duże A. Promień padający na zwierciadło odbija się w lewą stronę nieco w górę i przecina oś małe y w punkcie F, oznaczającym ognisko zwierciadła. Punkt duże F znajduje się powyżej punktu duże M. Na rysunku widoczna jest również styczna duże S w punkcie duże A do krzywej parabolicznej przedstawiającej zwierciadło. Na rysunku zaznaczono kąt mała grecka litera alfa α pomiędzy osią małe x i prostą S. Kąt ten jest równy połowie kąta pomiędzy promieniem świetlnym padającym na zwierciadło i promieniem odbitym.

Spróbujmy znaleźć zależność opisującą ogniskową $f$ tego zwierciadła, czyli długość odcinka $OF$ na Rys. 6. Odległość $|OF|$ można zapisać jako sumę długości dwóch odcinków,

Druga współrzędna punktu M, tożsama z drugą współrzędną punktu A, określona jest wzorem

wobec tego

Zajmijmy się teraz odcinkiem $\mathrm{|FM|}$. Widać, że

zatem

Korzystając z tożsamości trygonometrycznej

otrzymujemy

Obliczmy teraz pochodną funkcji $y\left(x\right)$ w punkcie $x_A$. Jej wartość to tangens kąta nachylenia stycznej do wykresu w tym punkcie,

Korzystając jeszcze raz z tożsamości (12) otrzymujemy

Wstawiając (9) i (15) do równania (7) dostajemy ostatecznie zależność

Wynika z tego, że ogniskowa $f$ zwierciadła parabolicznego nie zależy od odległości promienia padającego od osi optycznej, więc wszystkie promienie odbite od powierzchni tego zwierciadła przechodzą przez jego ognisko. Można zatem powiedzieć, iż nie wykazuje ono aberracji sferycznejaberracja sferycznaaberracji sferycznej.

Słowniczek