Przeczytaj
We wcześniejszych tematach poznaliśmy pojęcie granicy ciągu oraz dowiedzieliśmy się, między innymi że
Poznamy teraz przykłady innych ciągów zbieżnych.
Niech , . Jest to ciąg stały, którego każdy wyraz jest równy . Granicą ciąguGranicą ciągu stałego jest jego stała wartość, czyli w naszym przykładzie
Istotnie, sprawdźmy czy spełniona jest definicja granicy ciągu. Ponieważ
więc warunek jest zawsze spełniony dla każdej dodatniej liczby .
Niech , , będą danymi liczbami rzeczywistymi, przy czym . Rozważmy ciąg , . Ciąg ten dla wszystkich liczb rzeczywistych , , , jest zbieżny do zera, co można zapisać symbolicznie
Zauważmy, że dla , , ciąg ten jest równy poznanemu już ciągowi .
Rozważmy ciąg , . Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu
, , , , , ,
Widzimy, że kolejne wyrazy ciągu są coraz bliższe liczbie . Możemy stąd wysnuć przypuszczenie, że granicągranicą tego ciągu jest liczba , czyli
Spróbujmy wykazać powyższą równość, korzystając z definicji granicy ciągu. W tym celu obliczymy wartość wyrażenia , które pojawia się w definicji granicy. Mamy
Ponieważ ciąg jest zbieżny do (podobnie jak ciąg ) więc z definicji granicy ciągu dla dowolnej liczby istnieje liczba naturalna taka, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi nierówność . Stąd
To dowodzi, że .
Rozważmy ciąg , , gdzie , , , , . W podobny sposób jak w przykładzie 3. można wykazać, że
Przyjmując np. , , , otrzymujemy ciąg , którego granicagranica jest równa . W jednym z kolejnych tematów poznamy sposób na obliczanie granic tego typu ciągów.
Rozważmy ciąg . Ciąg ten podobnie jak ciąg jest zbieżny do zera. W odróżnieniu od niego przyjmuje również wartości ujemne. Interpretację geometryczną tego ciągu przedstawia poniższy rysunek.
Widzimy, że w odróżnieniu od wcześniej poznanych ciągów, których prawie wszystkie wyrazy należały tylko do prawo- lub lewostronnego sąsiedztwalewostronnego sąsiedztwa jego granicy, prawie wszystkie wyrazy ciągu należą zarówno do lewo- jaki i prawostronnego sąsiedztwaprawostronnego sąsiedztwa zera.
Niech dany będzie ciąg , . Jest to ciąg geometryczny o ilorazie równym . Łatwo widać, że jest on zbieżny do zera (liczniki są zawsze równe jeden, natomiast mianowniki są coraz większe i zawsze dodatnie). Ilustruje to poniższy rysunek.
Okazuje się, że w ogólnym przypadku ciąg geometryczny , , jest zbieżny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy . Możemy to zapisać symbolicznie w następujący sposób
Poniżej podane są granice jeszcze kilku ważnych ciągów.
;
, , ;
jeśli , to .
Pierwszą z podanych granic uzasadnimy w temacie poświęconym twierdzeniu o trzech ciągach.
Ważną rolę w matematyce odgrywa ciąg
Jest to ciąg zbieżny a jego granicagranica jest jedną z najważniejszych stałych matematycznych. Wypiszmy niektóre jego wyrazy.
Jak widać ciąg ten jest zbieżny do liczby, która w przybliżeniu jest równa . Liczba ta oznaczana jest literą i jest ona liczbą niewymierną. Jest ona w przybliżeniu równa
Słowniczek
liczba rzeczywista taka, że dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba naturalna taka, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi
przedział dla pewnej liczby
przedział dla pewnej liczby