Przeczytaj

We wcześniejszych tematach poznaliśmy pojęcie granicy ciągu oraz dowiedzieliśmy się, między innymi że

\lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n} = 0

Poznamy teraz przykłady innych ciągów zbieżnych.

Przykład 1

Niech $a_{n} = 3$ , $n \in ℕ$ . Jest to ciąg stały, którego każdy wyraz jest równy $3$ . Granicą ciągugranica ciąguGranicą ciągu stałego jest jego stała wartość, czyli w naszym przykładzie

\lim_{n \to + \infty} 3 = 3

Istotnie, sprawdźmy czy spełniona jest definicja granicy ciągu. Ponieważ

|a_{n} - 3| = |3 - 3| = 0

więc warunek $|a_{n} - g| < ε$ jest zawsze spełniony dla każdej dodatniej liczby $ε$ .

Przykład 2

Niech $b$ , $c$ , $d \in ℝ$ będą danymi liczbami rzeczywistymi, przy czym $c \neq 0$ . Rozważmy ciąg $a_{n} = \frac{b}{c n + d}$ , $n \in ℕ$ . Ciąg ten dla wszystkich liczb rzeczywistych $b$ , $c$ , $d \in ℝ$ , $(c \neq 0)$ jest zbieżny do zera, co można zapisać symbolicznie

lim_{n \to + \infty} \frac{b}{c n + d} = 0

Zauważmy, że dla $b = 1$ , $c = 1$ , $d = 0$ ciąg ten jest równy poznanemu już ciągowi $a_{n} = \frac{1}{n}$ .

Przykład 3

Rozważmy ciąg $a_{n} = \frac{2 n}{n + 1}$ , $n \in ℕ$ . Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu

$a_{1} = 1$ , $a_{2} = 1 \frac{1}{3}$ , $a_{3} = 1 \frac{1}{2}$ , $a_{4} = 1 \frac{3}{5}$ , $a_{5} = 1 \frac{2}{3}$ , $\dots$ , $a_{20} = 1 \frac{19}{21}$

Widzimy, że kolejne wyrazy ciągu $a_{n}$ są coraz bliższe liczbie $2$ . Możemy stąd wysnuć przypuszczenie, że granicągranica ciągugranicą tego ciągu jest liczba $2$ , czyli

\lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{n + 1} = 2

Spróbujmy wykazać powyższą równość, korzystając z definicji granicy ciągu. W tym celu obliczymy wartość wyrażenia $|a_{n} - g|$ , które pojawia się w definicji granicy. Mamy

|a_{n} - g| = |\frac{2 n}{n + 1} - 2| = |\frac{2 n}{n + 1} - \frac{2 (n + 1)}{n + 1}| = |\frac{- 2}{n + 1}| = \frac{2}{n + 1}

Ponieważ ciąg $a_{n} = \frac{2}{n + 1}$ jest zbieżny do $0$ (podobnie jak ciąg $a_{n} = \frac{1}{n}$ ) więc z definicji granicy ciągu dla dowolnej liczby $ε > 0$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi nierówność $\frac{2}{n + 1} < ε$ . Stąd

|a_{n} - g| = \frac{2}{n + 1} < ε

To dowodzi, że $\lim_{n \to + \infty} \frac{2 n}{n + 1} = 2$ .

Przykład 4

Rozważmy ciąg $a_{n} = \frac{b n + c}{d n + f}$ , $n \in ℕ$ , gdzie $b$ , $c$ , $d$ , $f \in ℝ$ , $d \neq 0$ . W podobny sposób jak w przykładzie 3. można wykazać, że

lim_{n \to + \infty} \frac{b n + c}{d n + f} = \frac{b}{d}

Przyjmując np. $b = 2$ , $c = 0$ , $d = 3$ , $f = - 1$ otrzymujemy ciąg $a_{n} = \frac{2 n}{3 n - 1}$ , którego granicagranica ciągugranica jest równa $\frac{2}{3}$ . W jednym z kolejnych tematów poznamy sposób na obliczanie granic tego typu ciągów.

Przykład 5

Rozważmy ciąg $a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{n}$ . Ciąg ten podobnie jak ciąg $a_{n} = \frac{1}{n}$ jest zbieżny do zera. W odróżnieniu od niego przyjmuje również wartości ujemne. Interpretację geometryczną tego ciągu przedstawia poniższy rysunek.

RQEuvel33BEdg

Na osi X zaznaczone są punkty: minus jeden, minus jedna trzecia, minus jedna piąta, minus jedna siódma, wiele punktów zagęszczających się w okolicy zera, dalej zaznaczono kolejno punkty: jedna ósma, jedna ósma, jedna szósta, jedna czwarta, jedna druga.

Widzimy, że w odróżnieniu od wcześniej poznanych ciągów, których prawie wszystkie wyrazy należały tylko do prawo- lub lewostronnego sąsiedztwasąsiedztwo lewostronnelewostronnego sąsiedztwa jego granicy, prawie wszystkie wyrazy ciągu $a_{n} = {(- 1)}^{n} \cdot \frac{1}{n}$ należą zarówno do lewo- jaki i prawostronnego sąsiedztwasąsiedztwo prawostronneprawostronnego sąsiedztwa zera.

Przykład 6

Niech dany będzie ciąg $a_{n} = {(\frac{1}{2})}^{n}$ , $n \in ℕ$ . Jest to ciąg geometryczny o ilorazie równym $\frac{1}{2}$ . Łatwo widać, że jest on zbieżny do zera (liczniki są zawsze równe jeden, natomiast mianowniki są coraz większe i zawsze dodatnie). Ilustruje to poniższy rysunek.

R8DLpV7n8UADY

Na osi X zaznaczono kilka punktów. O lewej mamy zero, kilka gęsto upakowanych punktów leżących między zerem a jedną ósmą, dalej zaznaczono: jedną czwartą, jedną drugą i jeden.

Okazuje się, że w ogólnym przypadku ciąg geometryczny $a_{n} = q^{n}$ , $n \in ℕ$ , jest zbieżny do zera wtedy i tylko wtedy, gdy $|q| < 1$ . Możemy to zapisać symbolicznie w następujący sposób

\lim_{n \to + \infty} q^{n} = 0 \Leftrightarrow |q| < 1

Przykład 7

Poniżej podane są granice jeszcze kilku ważnych ciągów.

$lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n} = 1$ ;
$\lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{a} = 1$ , $a \in ℝ$ , $a > 0$ ;
jeśli $lim_{n \to + \infty} a_{n} = a > 0$ , to $lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = 1$ .

Pierwszą z podanych granic uzasadnimy w temacie poświęconym twierdzeniu o trzech ciągach.

Dla zainteresowanych

Ważną rolę w matematyce odgrywa ciąg

a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{2}

n \in ℕ

Jest to ciąg zbieżny a jego granicagranica ciągugranica jest jedną z najważniejszych stałych matematycznych. Wypiszmy niektóre jego wyrazy.

$a_{1} = {(1 + 1)}^{1} = 2$

$a_{2} = {(1 + \frac{1}{2})}^{2} = 2, 25$

$a_{3} = {(1 + \frac{1}{3})}^{3} \approx 2, 37$

$a_{10} = {(1 + \frac{1}{10})}^{10} \approx 2, 59$

$a_{100} = {(1 + \frac{1}{100})}^{100} \approx 2, 705$

$a_{200} = {(1 + \frac{1}{120})}^{200} \approx 2, 716$

$a_{2500} = {(1 + \frac{1}{2500})}^{2500} \approx 2, 7177$

Jak widać ciąg ten jest zbieżny do liczby, która w przybliżeniu jest równa $2, 7$ . Liczba ta oznaczana jest literą $e$ i jest ona liczbą niewymierną. Jest ona w przybliżeniu równa

e = \lim_{n \to + \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} \approx 2, 71828 \dots

Słowniczek

granica ciągu

liczba rzeczywista $g$ taka, że dla dowolnej liczby dodatniej $ε$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi $|a_{n} - g| < ε$

sąsiedztwo lewostronne

przedział $(x_{0} - ε, x_{0})$ dla pewnej liczby $ε > 0$

sąsiedztwo prawostronne

przedział $(x_{0}, x_{0} + ε)$ dla pewnej liczby $ε > 0$

Wprowadzenie

Animacja

Słowniczek