Przeczytaj

Zacznijmy od przypomnienia definicji pierwiastka sześciennego:

$\sqrt[3]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = b^{3}$ , dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$

Innymi słowy pierwiastkiem trzeciego stopnia (sześciennym) z dowolnej liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , która podniesiona do sześcianu daje liczbę $a$ .

Analogicznie sytuacja wygląda dla pierwiastków dowolnego stopnia będącego liczbą nieparzystą większą od $1$ :

$\sqrt[2 n + 1]{a} = b$ wtedy i tylko wtedy, gdy $a = b^{2 n + 1}$ , dla $a \in ℝ$ , $b \in ℝ$ , $n \in ℕ_{+}$ .

Czyli pierwiastkiem nieparzystego stopniapierwiastek nieparzystego stopniapierwiastkiem nieparzystego stopnia $2 n + 1$ z dowolnej liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , która podniesiona do potęgi $2 n + 1$ daje liczbę $a$ .

Przykład 1

$\sqrt[3]{- 125} = - 5$ , bo ${(- 5)}^{3} = - 125$

$\sqrt[3]{125} = 5$ , bo $5^{3} = 125$

$\sqrt[5]{- 32} = - 2$ , bo ${(- 2)}^{5} = - 32$

$\sqrt[5]{32} = 2$ , bo $2^{5} = 32$

$\sqrt[5]{\frac{32}{243}} = \frac{2}{3}$ , bo ${(\frac{2}{3})}^{5} = \frac{32}{243}$

$\sqrt[5]{- \frac{32}{243}} = - \frac{2}{3}$ , bo ${(- \frac{2}{3})}^{5} = - \frac{32}{243}$

$\sqrt[7]{- 0, 0000128} = - 0, 2$ , bo ${(- 0, 2)}^{7} = - 0, 0000128$

$\sqrt[7]{0, 0000128} = 0, 2$ , bo $0, 2^{7} = 0, 0000128$

$\sqrt[9]{- 1} = - 1$ , bo ${(- 1)}^{9} = - 1$

$\sqrt[9]{1} = 1$ , bo $1^{9} = 1$

$\sqrt[9]{0} = 0$ , bo $0^{9} = 0$

Przykład 2

Wyrażenie $\sqrt[5]{x}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ , czyli dla $x \in ℝ$ .

Ważne!

Przypomnijmy, że zbiór wszystkich liczb, dla których dane wyrażenie zawierające zmienną $x$ ma sens liczbowy nazywamy dziedziną wyrażenia algebraicznegodziedzina wyrażenia algebraicznegodziedziną wyrażenia algebraicznego. Możemy zatem powiedzieć, że dziedziną wyrażenia $\sqrt[5]{x}$ (analogicznie dla każdego pierwiastka stopnia nieparzystego) jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Przykład 3

Ponieważ niewykonalne jest dzielenie przez $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[5]{x}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ różnej od zera.

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[7]{x - 1}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x - 1 \neq 0$ (uwzględniamy przy tym fakt, że mianownik nie może być równy zeru, zaś pierwiastek sześcienny jest zerem tylko wówczas, gdy zerem jest liczba podpierwiastkowa), czyli dla $x \neq 1$ .

Ponieważ mianownik ułamka nie może być równy $0$ , wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[9]{x + 2}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x + 2 \neq 0$ , czyli dla $x \neq - 2$ .

Wyrażenie $\frac{1}{\sqrt[11]{x^{2} - 4}}$ ma sens dla każdej liczby rzeczywistej $x$ spełniającej warunek $x^{2} - 4 \neq 0$ , czyli dla $x^{2} \neq 4$ . Oznacza to, że $x$ nie może być równe ani $2$ , ani $- 2$ , co możemy zapisać jako $x \in ℝ ∖ \{- 2, 2\}$ .

Przykład 4

$\sqrt[7]{2^{7}} = \sqrt[7]{128} = 2$

$\sqrt[7]{{(- 2)}^{7}} = \sqrt[7]{- 128} = - 2$

$\sqrt[5]{3^{5}} = \sqrt[5]{243} = 3$

$\sqrt[5]{{(- 3)}^{5}} = \sqrt[5]{- 243} = - 3$

Zwróć uwagę, że niezależnie od tego, jaką liczbą jest $x$ , prawdziwe są równości $\sqrt[2 n + 1]{x^{2 n + 1}} = x$ oraz ${(\sqrt[2 n + 1]{x})}^{2 n + 1} = x$ , dla liczb naturalnych dodatnich $n$ . Przypomnijmy również, że równość, która jest prawdziwa dla każdego elementu dziedziny, nazywamy tożsamościątożsamośćtożsamością.

Własności pierwiastkowania

Własność: Własności pierwiastkowania

Dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ i dowolnej liczby naturalnej dodatniej $n$ zachodzą równości:

$\sqrt[2 n + 1]{a} \cdot \sqrt[2 n + 1]{b} = \sqrt[2 n + 1]{a \cdot b}$

$\frac{\sqrt[2 n + 1]{a}}{\sqrt[2 n + 1]{b}} = \sqrt[2 n + 1]{\frac{a}{b}}$ , o ile $b \neq 0$

$\sqrt[2 n + 1]{- a} = - \sqrt[2 n + 1]{a}$

Przykład 5

$\sqrt[5]{- 2} \cdot \sqrt[5]{16} = \sqrt[5]{- 2 \cdot 16} = \sqrt[5]{- 32} = - 2$

$\frac{\sqrt[5]{729}}{\sqrt[5]{3}} = \sqrt[5]{\frac{729}{3}} = \sqrt[5]{243} = 3$

$\sqrt[5]{- 96} = \sqrt[5]{- 32 \cdot 3} = \sqrt[5]{- 32} \cdot \sqrt[5]{3} = - 2 \sqrt[5]{3}$

Przykład 6

Korzystając z własności pierwiastkowania usuniemy niewymierności z mianowników następujących ułamków:

a) $\frac{1}{\sqrt[5]{- 3}} = \frac{1}{- \sqrt[5]{3}} \cdot \frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{\sqrt[5]{3^{4}}} = \frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{- \sqrt[5]{3 {\cdot 3}^{4}}} = \frac{\sqrt[5]{3^{4}}}{- \sqrt[5]{3^{5}}} = - \frac{\sqrt[5]{81}}{3}$

b) $\frac{1}{\sqrt[7]{- 8}} = \frac{1}{\sqrt[7]{- 2^{3}}} = \frac{1}{- \sqrt[7]{2^{3}}} \cdot \frac{\sqrt[7]{2^{4}}}{\sqrt[7]{2^{4}}} = \frac{\sqrt[7]{2^{4}}}{- \sqrt[7]{2^{7}}} = - \frac{\sqrt[7]{16}}{2}$

Przykład 7

Aby dodać pierwiastki $\sqrt[5]{- 160} + \sqrt[5]{- 1215}$ , możemy postąpić następująco:

$\sqrt[5]{- 160} + \sqrt[5]{- 1215} = \sqrt[5]{- 32 \cdot 5} + \sqrt[5]{- 243 \cdot 5} =$

$= \sqrt[5]{- 32} \cdot \sqrt[5]{5} + \sqrt[5]{- 243} \cdot \sqrt[5]{5} = - 2 \sqrt[5]{5} - 3 \sqrt[5]{5} = - 5 \sqrt[5]{5}$

Przypomnijmy jeszcze, że dla dowolnej liczby $a$ i dla liczby naturalnej dodatniej $n$ zachodzi równość $a^{\frac{1}{2 n + 1}} = \sqrt[2 n + 1]{a}$ .

Słownik

pierwiastek nieparzystego stopnia

pierwiastkiem nieparzystego stopnia $2 n + 1$ z liczby $a$ nazywamy taką liczbę $b$ , której potęga o wykładniku $2 n + 1$ jest równa $a$ , czyli $\sqrt[2 n + 1]{a} = b \Leftrightarrow a = b^{2 n + 1}$ , dla dowolnych liczb rzeczywistych $a$ , $b$ oraz $n \in ℕ_{+}$

dziedzina wyrażenia algebraicznego

zbiór tych i tylko tych liczb, dla których dane wyrażenie ma sens liczbowy

tożsamość

równość prawdziwa dla każdego elementu dziedziny

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik