Przeczytaj

Przypomnimy wzory na pochodne niektórych funkcji:

Wzór funkcji $y = f (x)$	Pochodna $f' (x)$ funkcji $f$	Uwagi
$f (x) = c$	$(c)' = 0$	$c \in ℝ$
$f (x) = x^{n}$	$(x^{n})' = n \cdot x^{n - 1}$	$n \in ℕ$
$f (x) = \ln x$	$(\ln x)' = \frac{1}{x}$	$x \in ℝ^{+}$
$f (x) = \sin x$	$(\sin x)' = \cos x$	$x \in ℝ$
$f (x) = \cos x$	$(\cos x)' = - \sin x$	$x \in ℝ$

o pochodnej funkcji złożonej

Twierdzenie: o pochodnej funkcji złożonej

Jeżeli

funkcja $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x_{0}$ ,

funkcja $g$ jest różniczkowalna w punkcie $f (x_{0})$ ,

(g \circ f)' (x_{0}) = g' (f (x_{0})) f' (x_{0})

Ważne!

Prawdziwy jest analogiczny wzór dla dowolnej liczby składanych funkcji oraz dla pochodnych jednostronnych i pochodnych niewłaściwych. Należy pamiętać, że operacja składania funkcji nie jest przemienna.

Przykład 1

Obliczymy pochodną funkcji $f (x) = \sin^{2} x$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jest złożeniem funkcji $g (x) = \sin x$ oraz $h (x) = x^{2}$ .

Funkcja $g$ jest funkcją wewnętrzną, a funkcja $h$ jest funkcją zewnętrzną.

Wówczas pochodna funkcji wewnętrznej jest równa $g' (x) = \cos x$ oraz pochodna funkcji zewnętrznej $h (x) = 2 x$ .

Stąd, na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy

$f' (x) = 2 \sin x \cos x = \sin 2 x$ .

Przykład 2

Obliczymy pochodną funkcji $f (x) = {(3 x^{2} + 1)}^{3}$ .

Rozwiązanie:

Funkcja $f (x)$ jest złożeniem funkcjizłożenie funkcjizłożeniem funkcji $g (x) = 3 x^{2} + 1$ oraz $h (x) = x^{3}$ .

Funkcja $g$ jest funkcją wewnętrzną, a funkcja $h$ jest funkcją zewnętrzną.

Wówczas pochodna funkcji wewnętrznej jest równa $g' (x) = 6 x$ oraz pochodna funkcji zewnętrznej $h (x) = 3 x^{2}$ .

Stąd na mocy twierdzenia o pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy

$f' (x) = 18 x {(3 x^{2} + 1)}^{2}$ .

Przykład 3

Obliczymy pochodną funkcji $h (x) = \ln \cos (x^{2} + 1)$ .

Rozwiązanie:

Niech $\cos (x^{2} + 1) > 0$ .

Funkcja $h (x)$ jest funkcją dwukrotnie złożoną.

Funkcją „najbardziej” wewnętrzną jest funkcja $f_{1} (x) = x^{2} + 1$ , następnie $f_{2} (x) = \cos x$ . Funkcją zewnętrzną jest $f_{3} (x) = \ln x$ .

Korzystając z reguły liczenia pochodnej funkcji złożonej otrzymujemy

$h' (x) = - 2 x \sin (x^{2} + 1) \cdot \frac{1}{\cos (x^{2} + 1)} = \frac{- 2 x \sin (x^{2} + 1)}{\cos (x^{2} + 1)} = - 2 x tg (x^{2} + 1)$ .

Przykład 4

Ropa wycieka ze studni w ilości $2500$ litrów dziennie. Promień okrągłej kałuży ropy zmienia się zgodnie z funkcją czasu $r (t) = 4 t$ . Obliczymy szybkość rozprzestrzeniania się plamy oleju.

Rozwiązanie:

Szybkość rozprzestrzeniania się plamy oleju określona jest jako pochodna pola rozlewiska względem czasu.

Pole rozlewiska $P (r) = π r^{2} (t)$ jest funkcją złożoną, gdzie funkcją wewnętrzną jest $r (t) = 4 t$ , a jej pochodna wynosi $4$ .

Funkcją zewnętrzną jest $P (r) = π r^{2}$ , a jej pochodna na argumencie $r (t)$ wynosi $2 π \cdot 4 t$ .

Obliczamy pochodną funkcji złożonej. Otrzymujemy

$P' (t) = 4 \cdot 2 π \cdot 4 t = 32 π t$ .

Przykład 5

Koń ciągnie powóz po polnej drodze. Ilość energii $E$ (w kaloriach) spalonych przez konia zależy od przebytej drogi $s$ (w kilometrach) i dana jest wzorem $E (s) = 2 s^{3} - 15$ . Również odległość pokonana przez konia zależy od czasu $t$ (w godzinach) i dana jest wzorem $s (t) = \sqrt{t}$ . Zapiszemy wzór, określający w jakim tempie koń zużywa energię.

Rozwiązanie:

Tempo spalania kalorii przez konia jest określona przez pochodną $E' (s) = 6 s^{2}$ , natomiast szybkość poruszania się konia przez pochodną $s' (t) = \frac{1}{2 \sqrt{t}}$ . Zatem, tempo zużywania kalorii jest pochodną funkcji złożonej daną wzorem

$E' (t) = E' (s) \cdot s' (t) = 6 {(\sqrt{t})}^{2} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{t}} = 3 \sqrt{t}$ .

Słownik

złożenie funkcji

jeśli funkcja $f : X \to Y$ i funkcja $g : Y \to Z$ , to funkcję $h : X \to Z$ określoną wzorem $h (x) = g (f (x))$ nazywamy złożeniem funkcji $f$ i $g$ ; funkcję $f$ nazywamy funkcją wewnętrzną, a funkcję $g$ – funkcją zewnętrzną

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik