Przeczytaj

Na początek przypomnimy zależności między długościami boków trójkąta.

długości boków trójkąta

Własność: długości boków trójkąta

Jeżeli $a$ , $b$ , $c$ są długościami boków trójkąta, to

|b - c| < a < b + c

|a - c| < b < a + c

|a - b| < c < a + b

Gdyby jedna z tych nierówności nie była spełniona, to nie można by było zbudować trójkąta o bokach $a$ , $b$ , $c$ .

W trójkącie najdłuższy bok leży naprzeciw kąta o największej mierze.

Dla utrwalenia tej własności uruchom aplet. Zwróć uwagę na miarę kąta $C A B$ i boku leżącego na przeciwko niego. Możesz w każdej chwili zatrzymać aplet aby przyjrzeć się uważniej zaznaczonym danym.

R1SCb1DUxaEnX

Trójkąt prostokątny

Twierdzenie Pitagorasa i twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitagorasa jednoznacznie charakteryzują trójkąty prostokątnetrójkąt prostokątnytrójkąty prostokątne jako trójkąty, których boki spełniają zależność $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Trójkąt ostrokątny

Rozważmy trójkąt ostrokątny o bokach $a$ , $b$ , $c$ . Niech $α$ będzie kątem przy wierzchołku $C$ .

RU9HGKCHb2XX6

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABC. Zaznaczono kąt alfa między ramieniem AC, a podstawą CB. Z wierzchołka A, opuszczono wysokość h, do podstawy BC, której spodek leży w punkcie D. Wysokość dzieli podstawę na dwa odcinki, oraz dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne. Trójkąt pierwszy o bokach x, h i b. Trójkąt drugi o bokach a-x, h i c.

Wysokość $h$ jest prostopadła do $B C$ , więc dzieli trójkąt na dwa trójkąty prostokątne.

Z twierdzenia Pitagorasa mamy

h^{2} = b^{2} - x^{2}

h^{2} = c^{2} - {(a - x)}^{2}

Stąd

b^{2} - x^{2} = c^{2} - {(a - x)}^{2} = c^{2} - a^{2} + 2 a x - x^{2}

Zatem

a^{2} + b^{2} = c^{2} + 2 a x

ale $2 a x > 0$ , więc

a^{2} + b^{2} > c^{2}

Stąd wynika:

trójkątów ostrokątnych

Własność: trójkątów ostrokątnych

Jeżeli trójkąt jest ostrokątny, to dla dowolnej pary boków tego trójkąta suma kwadratów ich długości jest większa od kwadratu trzeciego boku.

Dowód

Jeśli kąt między bokami $a$ , $b$ jest ostry, to $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ . Ponieważ trójkąt ostrokątny ma wszystkie kąty ostre, to kąty między dowolnymi dwoma bokami są ostre, więc dla dowolnej pary boków tego trójkąta suma kwadratów ich długości jest większa od kwadratu trzeciego boku.

Sprawdzanie własności opisanej w twierdzeniu można sprowadzić do sprawdzenia, czy kąt leżący naprzeciwko najdłuższego boku trójkąta jest kątem ostrym. Wynika to z własności, że największy kąt w trójkącie leży naprzeciwko najdłuższego boku.

Trójkąt rozwartokątny

Rozważmy trójkąt rozwartokątny o bokach $a$ , $b$ , $c$ .

Niech $α$ będzie kątem rozwartym, jak na rysunku.

R1YgKT75wE5Sn

Na ilustracji przedstawiono trójkąt ABE, z kątem prostym przy wierzchołku E. Długość przyprostokątnej EB wynosi x+a, długość przyprostokątnej AE wynosi h, natomiast długość przeciwprostokątnej wynosi c. Na podstawie EB, zaznaczono punkt C, oddalony o odległość x od wierzchołka E, oraz o odległość a od wierzchołka B. Punkt C połączono z wierzchołkiem A. ∠BCA wynosi alfa.

Wykonujemy przeliczenia analogiczne do przedstawionych wyżej.

h^{2} = b^{2} - x^{2}

h^{2} = c^{2} - {(a + x)}^{2}

Stąd

b^{2} - x^{2} = c^{2} - {(a + x)}^{2} = c^{2} - a^{2} - 2 a x - x^{2}

Zatem

a^{2} + b^{2} = c^{2} - 2 a x

ale $2 a x > 0$ , więc

a^{2} + b^{2} < c^{2}

Stąd wynika:

trójkątów rozwartokątnych

Własność: trójkątów rozwartokątnych

Jeżeli trójkąt jest rozwartokątny, to istnieje para boków tego trójkąta taka, że suma kwadratów ich długości jest mniejsza od kwadratu trzeciego boku.

Dowód

Jeśli kąt między bokami $a$ , $b$ jest rozwarty, to $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ . Ponieważ trójkąt rozwartokątny ma jeden kąt rozwarty, to dla pary boków tworzących ten kąt zachodzi, suma kwadratów ich długości jest mniejsza od kwadratu trzeciego boku.

Twierdzenie o klasyfikacji kątów

Twierdzenie: Twierdzenie o klasyfikacji kątów

Jeżeli $a$ , $b$ , $c$ są długościami boków trójkąta, to kąt między bokami $a$ , $b$ jest:

ostry wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ;

prosty wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ;

rozwarty wtedy i tylko wtedy, gdy $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ .

Dowód

Pokazaliśmy wyżej, że jeżeli kąt między bokami $a$ , $b$ jest

ostry, to $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ ;

prosty, to $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ;

rozwarty, to $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ .

Przedstawmy to graficznie, gdzie strzałka pokazuje kierunek wnioskowania.

R7YKnfa8it0uE

Na ilustracji przedstawiono trzy trójkąty różnoboczne ABC. W trójkącie pierwszym zaznaczono kąt ostry alfa między bokiem a i b, przy wierzchołku A. Obok zapisano wniosek a2+b2>c2. W trójkącie drugim zaznaczono kąt prosty alfa między bokiem a i b, przy wierzchołku A. Obok zapisano wniosek a2+b2=c2. W trójkącie trzecim zaznaczono kąt rozwarty alfa między bokiem a i b, przy wierzchołku A. Obok zapisano wniosek a2+b2<c2.

Należy teraz pokazać własności odwrotne, czyli odwrócić kierunek wnioskowania.

Załóżmy, że $a^{2} + b^{2} > c^{2}$ . Wtedy kąt między bokami $a$ i $b$ nie może być prosty, bo musiałaby być równość. Nie może być też rozwarty, bo wtedy mielibyśmy $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ . Zatem kąt między bokami $a$ i $b$ jest ostry. Analogiczne rozważania przeprowadzamy dla pozostałych zależności. Stąd w graficznym przedstawieniu prawdziwe jest wnioskowanie w drugą stronę.

R1cCiQEnFgRMj

Na ilustracji zapisano wnioski, obok których przedstawiono trójkąty. Wniosek 1. a2+b2=c2. Obok narysowano trójkąt z kątem ostrym między bokiem a i b. Wniosek 2. a2+b2=c2. Obok narysowano trójkąt z kątem prostym między bokiem a i b. Wniosek 3. a2+b2<c2. Obok narysowano trójkąt z kątem rozwartym między bokiem a i b.

Jako wniosek z twierdzenia o klasyfikacji kątów dostajemy:

o klasyfikacji trójkątów

Twierdzenie: o klasyfikacji trójkątów

Trójkąt jest ostrokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej pary boków tego trójkąta suma kwadratów ich długości jest większa od kwadratu trzeciego boku.

Trójkąt jest prostokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje para boków tego trójkąta taka, że suma kwadratów ich długości jest równa kwadratowi trzeciego boku.

Trójkąt jest rozwartokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje para boków tego trójkąta taka, że suma kwadratów ich długości jest mniejsza od kwadratu trzeciego boku.

Przykład 1

Dane są dwa boki trójkąta $a = 2$ , $b = \sqrt{3}$ oraz wiemy, że trzeci bok $c > a$ , $b$ . Wyznaczymy zbiór wartości boku $c$ , dla których ten trójkąt jest rozwartokątnytrójkąt rozwartokątnytrójkąt jest rozwartokątny.

Rozwiązanie

Musi zachodzić nierówność $a^{2} + b^{2} < c^{2}$ . Stąd $c^{2} > 2^{2} + {\sqrt{3}}^{2} = 7$ . Stąd $c > \sqrt{7}$ .

Z własności boków trójkąta i z założenia $2 < c < 2 + \sqrt{3}$ .

Wartość $c$ należy do części wspólnej tych przedziałów, czyli $\sqrt{7} < c < 2 + \sqrt{3}$ .

Przykład 2

Dane są dwa boki trójkąta $a = \sqrt{2}$ , $b = \sqrt{3}$ oraz wiemy, że trzeci bok $c > a$ , $b$ . Wyznaczymy zbiór wartości boku $c$ , dla których ten trójkąt jest ostrokątnytrójkąt ostrokątnytrójkąt jest ostrokątny.

Rozwiązanie

Musi zachodzić nierówność $c^{2} < a^{2} + b^{2}$ . Stąd $c^{2} < {\sqrt{2}}^{2} + {\sqrt{3}}^{2} = 5$ . Stąd $c < \sqrt{5}$ .

Z własności boków trójkąta i z założenia $\sqrt{3} < c < \sqrt{2} + \sqrt{3}$ .

Wartość $c$ należy do części wspólnej tych przedziałów, czyli $\sqrt{3} < c < \sqrt{5}$ .

Przykład 3

Wiemy, że trójkąt równoramienny ma podstawę długości $10$ . Wyznaczymy długości ramion, dla których trójkąt ten jest:

ostrokątny;

prostokątnytrójkąt prostokątnyprostokątny;

rozwartokątny.

Rozwiązanie

Na początku zauważamy, że jeśli kąt leżący naprzeciwko podstawy ma miarę $α$ , to pozostałe kąty tego trójkąta mają miarę $90 ° - \frac{α}{2}$ , czyli są ostre. Stąd wynika, że do określenia rodzaju trójkąta równoramiennego wystarczy określić rodzaj kąta leżącego naprzeciwko podstawy.

Niech $a$ oznacza długość ramienia, wtedy $a > \frac{10}{2} = 5$ .

Obliczamy sumę kwadratów ramion trójkąta $a^{2} + a^{2}$ , a następnie porównujemy $2 a^{2}$ z wartością $10^{2} = 100$ .

Trójkąt jest prostokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy $2 a^{2} = 100$ , czyli $a^{2} = 50$ , stąd $a = 5 \sqrt{2}$ .

Trójkąt jest ostrokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy $2 a^{2} > 100$ , czyli $a > 5 \sqrt{2}$ .

Trójkąt jest rozwartokątny, wtedy i tylko wtedy, gdy $2 a^{2} < 100$ , czyli $5 < a < 5 \sqrt{2}$ .

Przykład 4

Promień okręgu o środku $S$ wynosi $r$ . Rozważamy kąty środkowe w tym okręgu. Wyznaczymy dla jakich długości cięciw kąty środkowe są ostre.

R1XTSbYc91GYL

Na ilustracji przedstawiono okrąg o środku w punkcie S i promieniu równym r. Na okręgu zaznaczono punkt A, oraz punkt B. Utworzono trójkąt równoramienny ABS, o ramieniu długości r. ∠ASB oznaczono alfa.

Rozwiązanie

Trójkąt $A B S$ jest trójkątem równoramiennym o długości ramienia równej promieniowi okręgu. Kąt środkowy oparty na cięciwie $A B$ to kąt $A S B$ tego trójkąta.

Jeśli $α$ jest kątem ostrym w trójkącie $A S B$ to:

$2 r^{2} > {|A B|}^{2}$ , więc $|A B| < r \sqrt{2}$ .

Dla zainteresowanych

Wykorzystanie twierdzenia o klasyfikacji trójkątów w układzie współrzędnych

Rozważamy trójkąt $A B C$ , którego wierzchołki mają współrzędne

A = (x_{a}, y_{a})

B = (x_{b}, y_{b})

C = (x_{c}, y_{c})

Wyprowadzimy sposób sprawdzania jakim rodzajem trójkąta jest ten trójkąt.

1. Obliczamy kwadraty długości boków tego trójkąta

{|A B|}^{2} = {(x_{b} - x_{a})}^{2} + {(y_{b} - y_{a})}^{2}

{|A C|}^{2} = {(x_{c} - x_{a})}^{2} + {(y_{c} - y_{a})}^{2}

{|B C|}^{2} = {(x_{c} - x_{b})}^{2} + {(y_{c} - y_{b})}^{2}

2. Wybieramy ten odcinek, którego kwadrat długości jest maksymalny. Przyjmijmy, że to jest $A B$ .

3. Sprawdzamy, która z zależności z twierdzenia o klasyfikacji kątów jest spełniona, czyli porównujemy wartość wyrażenia ${|A C|}^{2} + {|B C|}^{2}$ z wartością ${|A B|}^{2}$ .

4. Określamy rodzaj trójkąta.

Przykład 5

Określimy rodzaj trójkąta o wierzchołkach $A = (- 2, 1)$ , $B = (1, 1)$ , $C = (4, 2)$ .

Rozwiązanie

Obliczamy

${|A B|}^{2} = {(1 - (- 2))}^{2} + {(1 - 1)}^{2} = 9$ ,

${|A C|}^{2} = {(4 - (- 2))}^{2} + {(2 - 1)}^{2} = 37$ ,

${|B C|}^{2} = {(4 - 1)}^{2} + {(2 - 1)}^{2} = 10$ .

Kwadrat boku $A C$ ma największą wartość.

${|A C|}^{2} + {|B C|}^{2} = 19 < 37$ , więc trójkąt jest rozwartokątny.

Słownik

trójkąt prostokątny

trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest prosty

trójkąt ostrokątny

trójkąt, którego wszystkie kąty wewnętrzne są ostre

trójkąt rozwartokątny

trójkąt, którego jeden z kątów wewnętrznych jest rozwarty

Wprowadzenie

Symulacja interaktywna

Trójkąt prostokątny

Trójkąt ostrokątny

Trójkąt rozwartokątny

Dla zainteresowanych

Wykorzystanie twierdzenia o klasyfikacji trójkątów w układzie współrzędnych

Słownik