RJzsF6BcZdXtj1

Ilustracja przedstawia zeszyt, kalkulator naukowy oraz długopis położone na trawie.

Bawiąc się zwykłym kalkulatorem, możemy się przekonać, jak postrzega ułamki zwykłe nasza elektroniczna „maszynka”.

Przykład 1

Jeśli, naciskając odpowiednie przyciski, podzielimy $4$ przez $25$, to zobaczymy na ekranie kalkulatora liczbę:

R9n1SMOb147k2

Ilustracja przedstawia wyświetlacz kalkulatora z liczbą zero przecinek 16 setnych.

Przykład 2

Po rozkazie „$21$ podzielić przez $90$” ujrzymy z kolei:

RC0WSTUQTREuM

Ilustracja przedstawia wyświetlacz kalkulatora z liczbą 0 przecinek 2 i 10 trójek.

W pierwszym przykładzie  otrzymaliśmy ułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończony, czyli taki, którego zapis dziesiętny kończy się na pewnym miejscu po przecinku (po przecinku występuje skończona liczba cyfr).

W drugim przykładzie kalkulator nieco nas „oszukał”. Wykorzystując bowiem własne obliczenia, widzimy, że: $\frac{21}{90}=0,23333\dots$, gdzie trójki po przecinku nigdy się nie kończą. Mamy więc w rzeczywistości do czynienia z ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowymułamek dziesiętny nieskończony okresowyułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym. Oznaczamy go następująco: $0,2333\dots =0,2\left(3\right)$.

Pamiętasz zapewne umowę, według której w nawias bierzemy zawsze najkrótszą z powtarzających się w nieskończoność grup cyfr rozwinięcia dziesiętnego. Tę grupę cyfr nazywamy okresem rozpatrywanego ułamka, a liczbę cyfr występujących w tej najkrótszej grupie nazywamy długością okresu.

Przykład 3

Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{11}{16}$ jest skończone: $\frac{11}{16}=0,6875$ i powstaje w wyniku przedstawionego poniżej dzielenia. Zauważmy, że dzielenie zostało zakończone, gdy pojawiła się reszta zero.

RmG8rB8EjXfJB

Ilustracja interaktywna. Dzielenie pisemne 11 podzielić na 16, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. 11 podzielić na 16, nad linią wyniku zapisujemy 0, następnie pod jedenastką również zapisujemy 0, pod zerem kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 11 odjąć 0; pod linią zapisujemy wynik 11 i dopisujemy zero; teraz dzielimy 110 przez 16; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 6 razy 16 i wynik 96 zapisujemy pod liczbą 110, poniżej kreślimy poziomą linię i zapisujemy pod nią wynik 14, dopisujemy 0, otrzymując 140; następnie dzielimy 140 przez 16; wynik 8 zapisujemy nad linią wynikową na drugim miejscu po przecinku, mnożymy 8 razy 16 i wynik 128 zapisujemy pod liczbą 140, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 140 odjąć 128, i zapisujemy pod nią wynik 12, dopisujemy 0, otrzymując 120; teraz dzielimy 120 przez 16; wynik 7 zapisujemy nad linią wynikową na trzecim miejscu po przecinku, mnożymy 7 razy 16 i wynik 112 zapisujemy pod liczbą 120, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 120 odjąć 112, i zapisujemy pod nią wynik 8, dopisujemy 0, otrzymując 80; następnie dzielimy 80 przez 16; wynik 5 zapisujemy nad linią wynikową na czwartym miejscu po przecinku, mnożymy 5 razy 16 i wynik 80 zapisujemy pod liczbą 80, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 80 odjąć 80, i zapisujemy pod nią wynik 0. Zauważmy, że dzielenie zostało zakończone, gdy pojawiła się reszta zero.

Ilustracja interaktywna. Dzielenie pisemne 11 podzielić na 16, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. 11 podzielić na 16, nad linią wyniku zapisujemy 0, następnie pod jedenastką również zapisujemy 0, pod zerem kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 11 odjąć 0; pod linią zapisujemy wynik 11 i dopisujemy zero; teraz dzielimy 110 przez 16; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 6 razy 16 i wynik 96 zapisujemy pod liczbą 110, poniżej kreślimy poziomą linię i zapisujemy pod nią wynik 14, dopisujemy 0, otrzymując 140; następnie dzielimy 140 przez 16; wynik 8 zapisujemy nad linią wynikową na drugim miejscu po przecinku, mnożymy 8 razy 16 i wynik 128 zapisujemy pod liczbą 140, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 140 odjąć 128, i zapisujemy pod nią wynik 12, dopisujemy 0, otrzymując 120; teraz dzielimy 120 przez 16; wynik 7 zapisujemy nad linią wynikową na trzecim miejscu po przecinku, mnożymy 7 razy 16 i wynik 112 zapisujemy pod liczbą 120, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 120 odjąć 112, i zapisujemy pod nią wynik 8, dopisujemy 0, otrzymując 80; następnie dzielimy 80 przez 16; wynik 5 zapisujemy nad linią wynikową na czwartym miejscu po przecinku, mnożymy 5 razy 16 i wynik 80 zapisujemy pod liczbą 80, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 80 odjąć 80, i zapisujemy pod nią wynik 0. Zauważmy, że dzielenie zostało zakończone, gdy pojawiła się reszta zero.

1

1. Zauważmy, że dzielenie zostało zakończone, gdy pojawiła się reszta zero.

Przykład 4

Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{4}{11}$ jest nieskończone i okresowe: $\frac{4}{11}=0,363636...$

Rx2XgIL8vNVzB

Ilustracja interaktywna. Dzielenie pisemne 4 podzielić na 11, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. 4 podzielić na 11, nad linią wyniku zapisujemy 0, następnie pod czwórką również zapisujemy 0, pod zerem kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 4 odjąć 0; pod linią zapisujemy wynik 4 i dopisujemy zero; teraz dzielimy 40 przez 11; wynik 3 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 3 razy 11 i wynik 33 zapisujemy pod liczbą 40, odejmujemy 40 odjąć 33, poniżej kreślimy poziomą linię i zapisujemy pod nią wynik 7, dopisujemy 0, otrzymując 70; następnie dzielimy 70 przez 11; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na drugim miejscu po przecinku, mnożymy 6 razy 11 i wynik 66 zapisujemy pod liczbą 70 poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 70 odjąć 66, i zapisujemy pod nią wynik 4, dopisujemy 0, otrzymując 40; teraz dzielimy 40 przez 11; wynik 3 zapisujemy nad linią wynikową na trzecim miejscu po przecinku, mnożymy 3 razy 11 i wynik 33 zapisujemy pod liczbą 40, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 40 odjąć 33 i zapisujemy pod nią wynik 7, dopisujemy 0, otrzymując 70; następnie dzielimy 70 przez 11; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na czwartym miejscu po przecinku, mnożymy 6 razy 11 i wynik 66 zapisujemy pod liczbą 70, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 70 odjąć 66 i zapisujemy pod nią wynik 4, dopisujemy 0, otrzymując 40. Dzielenia nie można zakończyć, ponieważ na zmianę otrzymujemy resztę $7$ lub $4$ (co prowadzi do nieustannego dzielenia przez $11$ liczby $40$ lub $70$). Wobec tego: $\frac{4}{11}=0,\left(36\right)$.

Ilustracja interaktywna. Dzielenie pisemne 4 podzielić na 11, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. 4 podzielić na 11, nad linią wyniku zapisujemy 0, następnie pod czwórką również zapisujemy 0, pod zerem kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 4 odjąć 0; pod linią zapisujemy wynik 4 i dopisujemy zero; teraz dzielimy 40 przez 11; wynik 3 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 3 razy 11 i wynik 33 zapisujemy pod liczbą 40, odejmujemy 40 odjąć 33, poniżej kreślimy poziomą linię i zapisujemy pod nią wynik 7, dopisujemy 0, otrzymując 70; następnie dzielimy 70 przez 11; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na drugim miejscu po przecinku, mnożymy 6 razy 11 i wynik 66 zapisujemy pod liczbą 70 poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 70 odjąć 66, i zapisujemy pod nią wynik 4, dopisujemy 0, otrzymując 40; teraz dzielimy 40 przez 11; wynik 3 zapisujemy nad linią wynikową na trzecim miejscu po przecinku, mnożymy 3 razy 11 i wynik 33 zapisujemy pod liczbą 40, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 40 odjąć 33 i zapisujemy pod nią wynik 7, dopisujemy 0, otrzymując 70; następnie dzielimy 70 przez 11; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na czwartym miejscu po przecinku, mnożymy 6 razy 11 i wynik 66 zapisujemy pod liczbą 70, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 70 odjąć 66 i zapisujemy pod nią wynik 4, dopisujemy 0, otrzymując 40. Dzielenia nie można zakończyć, ponieważ na zmianę otrzymujemy resztę $7$ lub $4$ (co prowadzi do nieustannego dzielenia przez $11$ liczby $40$ lub $70$). Wobec tego: $\frac{4}{11}=0,\left(36\right)$.

1

1. Dzielenia nie można zakończyć, ponieważ na zmianę otrzymujemy resztę $7$ lub $4$ (co prowadzi do nieustannego dzielenia przez $11$ liczby $40$ lub $70$). Wobec tego: $\frac{4}{11}=0,\left(36\right)$.

Na podstawie powyższych przykładów możemy zrozumieć, na czym polega mechanizm, który sprawia, że każdy ułamek zwykły daje się zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego. Otóż, reszt z dzielenia przez mianownik jest skończenie wiele (gdy dzielimy przez liczbę naturalną dodatnią $q$, wtedy jedyne możliwe reszty, jakie mogą się pojawić, to: $0$, $1$, $2$, $3$, . .. itd. aż do $q-1$) i w końcu:

• albo któraś z reszt jest równa zeru i rozwinięcie dziesiętne jest skończone,

• albo każda reszta jest niezerowa, a wtedy któraś z reszt musi się powtórzyć i w efekcie rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone, okresowe.

Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły jest najprostsza w sytuacji, gdy rozpatrujemy ułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończony.

Gdy zamieniamy na ułamek zwykły rozwinięcie dziesiętne nieskończoneułamek dziesiętny nieskończony okresowyrozwinięcie dziesiętne nieskończone, sytuacja jest już nieco trudniejsza.

Słownik