RJzsF6BcZdXtj1

Ilustracja przedstawia zeszyt, kalkulator naukowy oraz długopis położone na trawie.

Bawiąc się zwykłym kalkulatorem, możemy się przekonać, jak postrzega ułamki zwykłe nasza elektroniczna „maszynka”.

Przykład 1

Jeśli, naciskając odpowiednie przyciski, podzielimy $4$ przez $25$, to zobaczymy na ekranie kalkulatora liczbę:

R9n1SMOb147k2

Ilustracja przedstawia wyświetlacz kalkulatora z liczbą zero przecinek 16 setnych.

Przykład 2

Po rozkazie „$21$ podzielić przez $90$” ujrzymy z kolei:

RC0WSTUQTREuM

Ilustracja przedstawia wyświetlacz kalkulatora z liczbą 0 przecinek 2 i 10 trójek.

W pierwszym przykładzie  otrzymaliśmy ułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończony, czyli taki, którego zapis dziesiętny kończy się na pewnym miejscu po przecinku (po przecinku występuje skończona liczba cyfr).

W drugim przykładzie kalkulator nieco nas „oszukał”. Wykorzystując bowiem własne obliczenia, widzimy, że: $\frac{21}{90}=0,23333\dots$, gdzie trójki po przecinku nigdy się nie kończą. Mamy więc w rzeczywistości do czynienia z ułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowymułamek dziesiętny nieskończony okresowyułamkiem dziesiętnym nieskończonym okresowym. Oznaczamy go następująco: $0,2333\dots =0,2\left(3\right)$.

Pamiętasz zapewne umowę, według której w nawias bierzemy zawsze najkrótszą z powtarzających się w nieskończoność grup cyfr rozwinięcia dziesiętnego. Tę grupę cyfr nazywamy okresem rozpatrywanego ułamka, a liczbę cyfr występujących w tej najkrótszej grupie nazywamy długością okresu.

Przykład 4

Rozwinięcie dziesiętne ułamka $\frac{4}{11}$ jest nieskończone i okresowe: $\frac{4}{11}=0,363636...$

Rx2XgIL8vNVzB

Ilustracja interaktywna. Dzielenie pisemne 4 podzielić na 11, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. 4 podzielić na 11, nad linią wyniku zapisujemy 0, następnie pod czwórką również zapisujemy 0, pod zerem kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 4 odjąć 0; pod linią zapisujemy wynik 4 i dopisujemy zero; teraz dzielimy 40 przez 11; wynik 3 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 3 razy 11 i wynik 33 zapisujemy pod liczbą 40, odejmujemy 40 odjąć 33, poniżej kreślimy poziomą linię i zapisujemy pod nią wynik 7, dopisujemy 0, otrzymując 70; następnie dzielimy 70 przez 11; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na drugim miejscu po przecinku, mnożymy 6 razy 11 i wynik 66 zapisujemy pod liczbą 70 poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 70 odjąć 66, i zapisujemy pod nią wynik 4, dopisujemy 0, otrzymując 40; teraz dzielimy 40 przez 11; wynik 3 zapisujemy nad linią wynikową na trzecim miejscu po przecinku, mnożymy 3 razy 11 i wynik 33 zapisujemy pod liczbą 40, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 40 odjąć 33 i zapisujemy pod nią wynik 7, dopisujemy 0, otrzymując 70; następnie dzielimy 70 przez 11; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na czwartym miejscu po przecinku, mnożymy 6 razy 11 i wynik 66 zapisujemy pod liczbą 70, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 70 odjąć 66 i zapisujemy pod nią wynik 4, dopisujemy 0, otrzymując 40. Dzielenia nie można zakończyć, ponieważ na zmianę otrzymujemy resztę $7$ lub $4$ (co prowadzi do nieustannego dzielenia przez $11$ liczby $40$ lub $70$). Wobec tego: $\frac{4}{11}=0,\left(36\right)$.

Ilustracja interaktywna. Dzielenie pisemne 4 podzielić na 11, nad działaniem znajduje się pozioma linia wyniku, pod działaniem zapisujemy wyniki dzielenia. 4 podzielić na 11, nad linią wyniku zapisujemy 0, następnie pod czwórką również zapisujemy 0, pod zerem kreślimy poziomą linię. Odejmujemy 4 odjąć 0; pod linią zapisujemy wynik 4 i dopisujemy zero; teraz dzielimy 40 przez 11; wynik 3 zapisujemy nad linią wynikową po przecinku, mnożymy 3 razy 11 i wynik 33 zapisujemy pod liczbą 40, odejmujemy 40 odjąć 33, poniżej kreślimy poziomą linię i zapisujemy pod nią wynik 7, dopisujemy 0, otrzymując 70; następnie dzielimy 70 przez 11; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na drugim miejscu po przecinku, mnożymy 6 razy 11 i wynik 66 zapisujemy pod liczbą 70 poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 70 odjąć 66, i zapisujemy pod nią wynik 4, dopisujemy 0, otrzymując 40; teraz dzielimy 40 przez 11; wynik 3 zapisujemy nad linią wynikową na trzecim miejscu po przecinku, mnożymy 3 razy 11 i wynik 33 zapisujemy pod liczbą 40, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 40 odjąć 33 i zapisujemy pod nią wynik 7, dopisujemy 0, otrzymując 70; następnie dzielimy 70 przez 11; wynik 6 zapisujemy nad linią wynikową na czwartym miejscu po przecinku, mnożymy 6 razy 11 i wynik 66 zapisujemy pod liczbą 70, poniżej kreślimy poziomą linię, odejmujemy 70 odjąć 66 i zapisujemy pod nią wynik 4, dopisujemy 0, otrzymując 40. Dzielenia nie można zakończyć, ponieważ na zmianę otrzymujemy resztę $7$ lub $4$ (co prowadzi do nieustannego dzielenia przez $11$ liczby $40$ lub $70$). Wobec tego: $\frac{4}{11}=0,\left(36\right)$.

1

1. Dzielenia nie można zakończyć, ponieważ na zmianę otrzymujemy resztę $7$ lub $4$ (co prowadzi do nieustannego dzielenia przez $11$ liczby $40$ lub $70$). Wobec tego: $\frac{4}{11}=0,\left(36\right)$.

Na podstawie powyższych przykładów możemy zrozumieć, na czym polega mechanizm, który sprawia, że każdy ułamek zwykły daje się zapisać w postaci rozwinięcia dziesiętnego. Otóż, reszt z dzielenia przez mianownik jest skończenie wiele (gdy dzielimy przez liczbę naturalną dodatnią $q$, wtedy jedyne możliwe reszty, jakie mogą się pojawić, to: $0$, $1$, $2$, $3$, . .. itd. aż do $q-1$) i w końcu:

• albo któraś z reszt jest równa zeru i rozwinięcie dziesiętne jest skończone,

• albo każda reszta jest niezerowa, a wtedy któraś z reszt musi się powtórzyć i w efekcie rozwinięcie dziesiętne jest nieskończone, okresowe.

Zamiana ułamka dziesiętnego na ułamek zwykły jest najprostsza w sytuacji, gdy rozpatrujemy ułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończonyułamek dziesiętny skończony.

Gdy zamieniamy na ułamek zwykły rozwinięcie dziesiętne nieskończoneułamek dziesiętny nieskończony okresowyrozwinięcie dziesiętne nieskończone, sytuacja jest już nieco trudniejsza.

Słownik