Stożkiem nazywamy bryłę obrotową, która powstaje przez obrót trójkąta prostokątnego wokół osi, zawierającej jedną z przyprostokątnych.

R55MlmWqXdIWz

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczonym promieniem podstawy r, wysokością h, osią obrotu przechodzącą przez wysokość bryły, podstawą stożka oraz tworzącą stożka będącą krawędzią bryły.

Obliczymy pole powierzchnipole powierzchnipole powierzchni całkowitej stożka z rysunku.

R194rqFPwIlo8

Ilustracja przedstawia stożek z promieniem podstawy o długości cztery oraz wysokością o długości sześć. Na rysunku zaznaczono także dwie tworzące bryły l.

Rozwiązanie

Jeżeli przez $r$ oznaczymy długość promienia podstawy stożka, a przez $h$ długość wysokości stożka, to:

$r=4$ oraz $h=6$.

Długość tworzącej stożka obliczamy z twierdzenia Pitagorasa:

$r^2+h^2=l^2$

$4^2+6^2=l^2$

$16+36=l^2$, czyli $l^2=52$.

Zatem $l=2\sqrt{13}$.

Wobec tego pole powierzchni całkowitej stożka jest równe:

$P_c=\pi ·r^2+\pi ·r·l$

$P_c=\pi ·4^2+\pi ·4·2\sqrt{13}=16\pi +8\sqrt{13}\pi$.

Wiadomo, że pole powierzchni podstawy stożka jest równe $16\pi$, a pole powierzchnipole powierzchnipole powierzchni całkowitej wynosi $36\pi$. Obliczymy długość tworzącej w tym stożku.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy oznaczenia, jak na rysunku.

RJAykzozWlcbR

Ilustracja przedstawia stożek oraz jego przekrój osiowy będący trójkątem równoramiennym. Podstawa trójkąta ma długość dwa r natomiast jego ramiona mają długość l. Na rysunku zaznaczono także wysokość bryły i trójkąta o długości h.

Ponieważ pole podstawy stożka wynosi $16\pi$, zatem do obliczenia długości promienia podstawy rozwiązujemy równanie:

$16\pi =\pi r^2$

$16=r^2$.

Wobec tego $r=4$.

Zauważmy, że pole powierzchni bocznej stożka obliczamy ze wzoru:

$P_b=P_c-P_p$

$P_b=36\pi -16\pi =20\pi$.

Ponieważ ${\text{P}}_b=\pi rl$, zatem do wyznaczenia długości tworzącej stożka rozwiązujemy równanie:

$20\pi =\pi ·4·l$, czyli $l=5$.

Tworząca stożka ma długość $5$.

Obliczymy pole powierzchni całkowitej stożka, w którym cosinus kąta rozwarcia  wynosi $\frac{1}{3}$, a tworząca stożka ma długość $6$.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

RoARU8SCOXEw4

Ilustracja przedstawia stożek z zaznaczoną wysokością o długości h, tworząca stożka o długości l, promieniem podstawy stożka o długości r oraz kącie rozwarcia o wartości alfa.

Z zadania wynika, że długość tworzącej $l=6$ oraz $\cos \alpha =\frac{1}{3}$.

Do wyznaczenia długości promienia $r$ podstawy stożka wykorzystamy twierdzenie cosinusów.

Zatem

${\left(2r\right)}^2=6^2+6^2-2·6·6·\frac{1}{3}$

$4r^2=36+36-24$

$4r^2=48$

$r^2=12$

$r=2\sqrt{3}$.

Pole powierzchni całkowitej tego stożka jest równe:

$P_c=\pi ·{\left(2\sqrt{3}\right)}^2+\pi ·2\sqrt{3}·6=12\pi +12\sqrt{3}\pi$.

Długości promienia podstawy, wysokości oraz tworzącej stożka w pewnym stożku są w podanej kolejności wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy $4$. Obliczymy pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia.

R2EVeKA4ynvgv

Ilustracja przedstawia stożek z promieniem podstawy o długości r, wysokością o długości r dodać cztery oraz tworzącą o długości r dodać osiem.

Ponieważ podstawa, wysokość oraz tworząca stożka tworzą trójkąt prostokątny, zatem do wyznaczenia wartości $r$ rozwiązujemy równanie:

$r^2+{\left(r+4\right)}^2={\left(r+8\right)}^2$

$r^2+r^2+8r+16=r^2+16r+64$

$r^2-8r-48=0$

Zatem $r=12$.

Wobec tego długość tworzącej wynosi $r+8=20$.

Pole powierzchni całkowitej tego stożka wynosi:

$P_c=\pi ·{12}^2+\pi ·12·20=144\pi +240\pi =384\pi$.

Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o polu $3\sqrt{3}$. Wyznaczymy pole powierzchni całkowitej tego stożka.

Rozwiązanie

Narysujmy stożek i wprowadźmy odpowiednie oznaczenia:

RomNcxMuiS5yT

Ilustracja przedstawia stożek z promieniem podstawy o długości r, wysokością o długości h oraz tworzącą o długości l.

Ponieważ przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym to $l=2r$.

Z faktu, że pole przekroju osiowego stożka wynosi $3\sqrt{3}$ wynika równanie:

$3\sqrt{3}=\frac{l^2·\sqrt{3}}{4}$

$l^2=12$, czyli $l=2\sqrt{3}$.

Zatem $r=\frac{1}{2}·2\sqrt{3}=\sqrt{3}$.

Pole powierzchni całkowitej tego stożka wynosi:

$P_c=\pi ·{\left(\sqrt{3}\right)}^2+\pi ·\sqrt{3}·2\sqrt{3}=3\pi +6\pi =9\pi$.

powierzchnia zakreślona przez przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego podczas obrotu

miara przyporządkowująca powierzchni pewną nieujemną liczbę, która określa jej rozmiar