Przeczytaj

Przypomnijmy, że dla liczb $a$ i $b$ (przy odpowiednich założeniach) rozważamy podstawowe działania:

R4Z6lkJij3uXX

Ilustracja przedstawia podstawowe działania. Pierwsze: dodawanie i odejmowanie. Przykład dodawania: a dodać b równa się c, gdzie a oraz b to składniki, natomiast c to suma. Przykład odejmowania: a odjąć b równa się c, gdzie a to odjemna, b to odjemnik oraz c to różnica. Drugie to mnożenie i dzielenie. Przykład mnożenia: a razy b równa się c, gdzie a i b to czynniki, natomiast c to iloczyn. Przykład dzielenia: a znak dzielenia b równa się c, gdzie a to dzielna, b to dzielnik, natomiast c to iloraz. Trzecie to potęgowanie i pierwiastkowanie. Przykład potęgowania to: a górny indeks n , gdzie a to podstawa, z kolei n to wykładnik. Przykład pierwiastkowania: a pod pierwiastkiem o stopniu n, gdzie a to argument, z kolei n to stopień.

bg‑pink

Ważne!

Warto zauważyć, że odejmowanie można zastąpić dodawaniem, przyjmując $a - b = a + (- b)$ . Podobnie użycie $a \cdot \frac{1}{b}$ zamiast $a : b$ oraz $a^{\frac{1}{n}}$ w miejsce $\sqrt[n]{a}$ prowadzi nas do wniosku, że warto skierować naszą uwagę na własności dodawania, mnożenia i potęgowania. Poczyniona tu obserwacja pozwala między innymi zamieniać kolejność dodawanych jednomianów w sumie algebraicznejsuma algebraicznasumie algebraicznej.

Wyrażenie algebraiczne to liczba, litera lub liczby oraz zmienne połączone znakami działań i ewentualnie nawiasami .

Wyrażenia algebraiczne to między innymi:

$f - w$
$\frac{π R^{2}}{4}$
$\sqrt{p (p - a)}$
$a^{2} + b^{3} - c$

Podane powyżej przykłady wydają się dość skomplikowane. Tym bardziej, gdy chcemy je zapisać słowami. Na szczęście istnieje bardzo użyteczna, choć nieco nieformalna zasada: Czytamy przeciwnie do kolejności wykonywania działań.

Kliknij w przycisk, aby zobaczyć, jak się czyta poniższe wyrażenia.

R13bH7dpnSWxS

Ilustracja przedstawia cztery wyrażenia algebraiczne. Każde z nich można przybliżyć. Pierwsze z nich to różnica liczb

f

w

, czyli przybliżone zostanie wyrażenie

f - w

, następne to pierwiastek iloczynu liczby

p

oraz różnicy liczb

p

a

, czyli wyrażenie

\sqrt{p (p - a)}

zostanie przybliżone. Kolejnym wyrażeniem jest iloraz iloczynu liczby

π

i kwadratu liczby

R

przez liczbę

4

, czyli wyrażenie

\frac{π R^{2}}{4}

zostaje przybliżone, ostatnie z wyrażeń to różnica sumy kwadratu liczby

a

i sześcianu liczby

a

oraz liczby

c

czyli

a^{2} + b^{3} - c

zostaje przybliżone jako ostatnie.

Ze wszystkich wyrażeń algebraicznych wyróżniamy jednomiany, czyli te wyrażenia, które dają się przedstawić w postaci iloczynu liczb oraz zmiennych.

Jednomianami są wyrażenia: $a m$ , $7 a b$ , $\frac{3}{2} π R$

Wyrażenia, które nie są jednominami: $ω_{0} + ε t$ , $W + (\frac{m v^{2}}{2})$

Jednomiany nazywamy podobnymi, gdy różnią się jedynie liczbą, a więc gdy mają te same zmienne w tych samych potęgach. Podobnymi jednomianami są więc $- 2 a^{2} b$ i $π a^{2} b$ , lecz nie $2 a^{2}$ i $2 a b$ .

Przez redukcję wyrazów podobnych rozumiemy dodawanie wyrazów podobnych (np. jednomianach podobnychjednomiany podobnejednomianach podobnych), aby uprościć dane wyrażenie.

Przykład 1

Wykonamy teraz redukcję wyrazów podobnych w wyrażeniu algebraicznym $7 a + 3 x - 2 a x - 4 a - x$ .

R1VYtnFcOwCal

Dodając wyrazy oznaczone jednakowym kolorem otrzymujemy: $7 a + 3 x - 2 a x - 4 a - x = 3 a + 2 x - 2 a x$ .

Sumę jednomianów nazywamy sumą algebraicznąsuma algebraicznasumą algebraiczną. Sumy algebraiczne możemy dodawać, odejmować, mnożyć.

Przykład 2

Dane są sumy algebraiczne: $w (x) = - 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 8$ oraz $v (x) = - 6 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 4$

Wykonamy następujące działania: $w (x) + v (x)$ ; $w (x) - v (x)$ ; $2 \cdot w (x) - \frac{1}{2} \cdot v (x)$ .

Rozwiązanie

$w (x) + v (x) = (- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 8) + (- 6 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 4) =$

$= - 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 8 - 6 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 4 = - 11 x^{3} + 4 x^{2} - 13 x + 4$

$w (x) - v (x) = (- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 8) - (- 6 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 4) =$

$= - 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 8 + 6 x^{3} - 2 x^{2} + 9 x + 4 = x^{3} + 5 x + 12$

$2 \cdot w (x) - \frac{1}{2} \cdot v (x) = 2 \cdot (- 5 x^{3} + 2 x^{2} - 4 x + 8) - \frac{1}{2} \cdot (- 6 x^{3} + 2 x^{2} - 9 x - 4) =$

$= - 10 x^{3} + 4 x^{2} - 8 x + 16 + 3 x^{3} - x^{2} + \frac{9}{2} x + 2 = - 7 x^{3} + 3 x^{2} - \frac{7}{2} x + 18$

Poniżej przypomnimy jak mnożyć sumy algebraiczne. Każdy składnik pierwszej sumy mnożymy kolejno przez każdy składnik drugiej sumy i otrzymane wyrażenia dodajemy.

Przykład 3

Rozważmy prosty przykład.

R1cV6a6routjL

Nawias oznaczenie kolorem różowym a koniec oznaczenia oznaczenie kolorem niebieskim odjąć b koniec oznaczenia zamknięcie nawiasu nawias c odjąć d dodać e zamknięcie nawiasu równa się oznaczenie kolorem różowym a koniec oznaczenia nawias c minus d dodać e zamknięcie nawiasu oznaczenie kolorem niebieskim minus b koniec oznaczenia nawias c minus d dodać e zamknięcie nawiasu równa się oznaczenie kolorem różowym a koniec oznaczenia c minus oznaczenie kolorem różowym a koniec oznaczenia d plus oznaczenie kolorem różowym a koniec oznaczenia e oznaczenie kolorem niebieskim minus b koniec oznaczenia c dodać oznaczenie kolorem niebieskim b koniec oznaczenia d minus oznaczenie kolorem niebieskim minus b koniec oznaczenia e.

Wykorzystajmy teraz posiadaną wiedzę w kilku elementarnych przykładach.

Przykład 4

Cegła waży kilogram i pół cegły. Ustalimy, ile waży cegła.

Rozwiązanie:

Aby odpowiedzieć na to pytanie przyjmujemy, że cegła waży $x$ kilogramów. Otrzymujemy wówczas równanie:

$x = \frac{1}{2} x + 1$

Po elementarnych przekształceniach otrzymujemy: $x = 2$ .

Cegła waży $2 kg$ .

Przykład 5

W szklance znajduje się $100 ml$ wody. Wyznaczymy teraz ogólny wzór na ilość ( $ml$ ) soli, którą należy dodać, by otrzymać roztwór $p$ – procentowy soli.

Rozwiązanie

Jeśli dołożymy $x ml$ soli,to procentowa zawartość soli będzie wynosić:

$p = 100 \cdot \frac{x}{100 + x}$

Przekształcając mamy:

$p = \frac{100 x}{100 + x}$

$p \cdot (100 + x) = 100 x$

$100 p + p x = 100 x$

$100 p = 100 x - x p$

$100 p = x (100 - p)$

$x = \frac{100 p}{100 - p}$

Ostatecznie, chcąc otrzymać roztwór soli o stężeniu $p$ – procent powinniśmy dodać dokładnie $\frac{100 p}{100 - p} ml$ soli.

Przykład 6

Wszyscy pracownicy pewnej firmy wykonują pewne zadanie w ciągu $3$ godzin $44$ minut. Gdyby pracowników było o trzech więcej, to wykonywaliby to zadanie w ciągu $2$ godzin $48$ minut. Wyznaczymy liczbę pracowników tej firmy.

Rozwiązanie:

Niech $x$ oznacza liczbę pracowników firmy. Łatwo zauważyć, że jeden pracownik na samodzielne wykonanie zadanej pracy potrzebowałby $x$ razy więcej niż $x$ – osobowa załoga lub też $(x + 3)$ razy więcej niż $(x + 3)$ – osobowa ekipa. Stąd otrzymujemy równanie

$224 x = 168 (x + 3)$ ,

której rozwiązanie $x = 9$ jest odpowiedzią na zadane powyżej polecenie.

Słownik

jednomiany podobne

jednomiany różniące się jedynie współczynnikami liczbowymi

suma algebraiczna

suma jednomianów

Wprowadzenie

Animacja

Słownik