Warto przeczytać

Stała siatki dyfrajcyjnej

Jeśli na drodze światła ustawimy płytkę wykonaną z przezroczystego materiału, na którym w jednakowych odstępach wykonano równoległe rysy, to na znajdującym się za nią ekranie dostrzeżemy obraz interferencyjny. Taką płytkę z rysami nazywamy siatką dyfrakcyjnąsiatka dyfrakcyjnasiatką dyfrakcyjną i charakteryzujemy ją za pomocą stałej siatkistała siatkistałej siatki $d$. Stałą tę definiuje się jako odległość pomiędzy sąsiednimi szczelinami siatki (innymi słowy – jest to szerokość siatki podzielona przez liczbę rys).

Zwykle siatki dyfrakcyjne mają na 1 milimetrze kilkaset rys. Dzięki temu odległość pomiędzy kolejnymi rysami porównywalna jest z długością fali świetlnej. Dla zakresu światła widzialnego odległość ta powinna wynosić około 1 mikrometra.

Obraz światła monochromatycznego w siatce dyfrakcyjnej

Jeśli na siatkę skierujemy wiązkę światła monochromatycznegoświatło monochromatyczneświatła monochromatycznego, to dostrzeżemy na ekranie układ współliniowych punktów (Rys. 1.).

RQUptFJEwQ3L6

Rys. 1. Ilustracja przedstawia prążki powstałe przy przejściu światła monochromatycznego przez siatkę dyfrakcyjną. Światło monochromatyczne, to światło o jednej długości fali, a zatem i jednej barwie. Na czarnym tle pokazano czerwone punkty układające się na linii prostej biegnącej od lewego do prawego brzegu ilustracji. Środkowy punkt jest najjaśniejszy. Im dalej oddalone są punkty od punktu centralnego tym są one ciemniejsze, ponieważ natężenie światła w tych punktach jest coraz mniejsze. Prążki po lewej i prawej stronie od punktu centralnego rozmieszczone są symetrycznie.

Co ciekawe, rozstawienie tych punktów zależy - między innymi - od długości fali oraz od stałej siatki. Dla różnych barw światła uzyskamy inne rozstawienie punktów. Ilustruje to schematyczna symulacja.

Symulacja

Dla każdej barwy światła oddzielnie zmieniaj wartość stałej siatki. Obserwuj związane z tym schematyczne zmiany położenia punktów na ekranie. Zwróć także uwagę na pojawianie się lub znikanie tych punktów oraz linii wskazujących ich położenie na ekranie.

Dla jednej wartości $d$ zmieniaj barwę światła. Obserwuj, podobnie jak poprzednio, zmianę położeń punktów i ich ewentualne znikanie lub pojawianie się.

R1I13fpQuOjBc

Grafika interaktywna przedstawia zjawisko powstawania prążków interferencyjnych po przejściu światła monochromatycznego przez siatkę dyfrakcyjną o zadanej stałej siatki mała litera d. Na czarnym tle widoczny jest na środku pionowy, szary prostokąt symbolizujący siatkę dyfrakcyjną. Po prawej stronie ilustracji znajduje się kolejny znaczenie wyższy pionowy i ciemnoszary prostokąt symbolizujący ekran, na którym powstaną prążki interferencyjne. U dołu ekranu widoczny jest panel, za pomocą którego użytkownik może wybrać barwę światła padającego na siatkę. Do wyboru są kolory czerwony, zielony oraz niebieski. Po dokonaniu wyboru jednego lub więcej kolorów na siatkę z lewej strony pada promień światła widoczny w postaci poziomej linii o wybranym kolorze. Za siatką promienie rozchodzą się rozbieżnie w postaci linii prostych padających na ekran. Jeden z promieni biegnie poziomo w prawo a pozostałe rozbiegają się symetrycznie w górę i w dół. Odległości pomiędzy prążkami rozchodzącymi się za siatką a promieniem centralnym są największe dla barwy czerwonej. Dla barwy zielonej są one mniejsze a dla niebieskiej najmniejsze. Odległość pomiędzy promieniami zależy od stałej siatki mała litera d, którą użytkownik może zmienić za pomocą poziomego suwaka u góry grafiki. Stałą tę można zmieniać od tysiąca do dwóch tysięcy nanometrów. Stała siatki to odległość pomiędzy środkami poszczególnych, sąsiednich szczelin. Im mniejsza jest stała siatki, tym większa jest odległość pomiędzy prążkiem centralnym a prążkami rozchodzącymi się za siatką. Jednocześnie im większa jest odległość, tym mniej prążków widocznych jest na ekranie.

Grafika interaktywna przedstawia zjawisko powstawania prążków interferencyjnych po przejściu światła monochromatycznego przez siatkę dyfrakcyjną o zadanej stałej siatki mała litera d. Na czarnym tle widoczny jest na środku pionowy, szary prostokąt symbolizujący siatkę dyfrakcyjną. Po prawej stronie ilustracji znajduje się kolejny znaczenie wyższy pionowy i ciemnoszary prostokąt symbolizujący ekran, na którym powstaną prążki interferencyjne. U dołu ekranu widoczny jest panel, za pomocą którego użytkownik może wybrać barwę światła padającego na siatkę. Do wyboru są kolory czerwony, zielony oraz niebieski. Po dokonaniu wyboru jednego lub więcej kolorów na siatkę z lewej strony pada promień światła widoczny w postaci poziomej linii o wybranym kolorze. Za siatką promienie rozchodzą się rozbieżnie w postaci linii prostych padających na ekran. Jeden z promieni biegnie poziomo w prawo a pozostałe rozbiegają się symetrycznie w górę i w dół. Odległości pomiędzy prążkami rozchodzącymi się za siatką a promieniem centralnym są największe dla barwy czerwonej. Dla barwy zielonej są one mniejsze a dla niebieskiej najmniejsze. Odległość pomiędzy promieniami zależy od stałej siatki mała litera d, którą użytkownik może zmienić za pomocą poziomego suwaka u góry grafiki. Stałą tę można zmieniać od tysiąca do dwóch tysięcy nanometrów. Stała siatki to odległość pomiędzy środkami poszczególnych, sąsiednich szczelin. Im mniejsza jest stała siatki, tym większa jest odległość pomiędzy prążkiem centralnym a prążkami rozchodzącymi się za siatką. Jednocześnie im większa jest odległość, tym mniej prążków widocznych jest na ekranie.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/D7UEGg9T5

Polecenie 1

R12RoNlmogQB4

Wskaż właściwe uzupełnienie tekstu opisującego wyniki pracy z symulacją. Zmniejszanie wartości stałej siatki prowadzi do zmniejszaniazwiększania rozstawienia punktów przy ustalonej barwie światła.
Przechodzenie od światła czerwonego, poprzez zielone do światła niebieskiego, czyli zmniejszaniezwiększanie długości jego fali, prowadzi do zmniejszaniazwiększania rozstawienia punktów przy ustalonej barwie światła.

Wskaż właściwe uzupełnienie tekstu opisującego wyniki pracy z symulacją. Zmniejszanie wartości stałej siatki prowadzi do zmniejszaniazwiększania rozstawienia punktów przy ustalonej barwie światła.
Przechodzenie od światła czerwonego, poprzez zielone do światła niebieskiego, czyli zmniejszaniezwiększanie długości jego fali, prowadzi do zmniejszaniazwiększania rozstawienia punktów przy ustalonej barwie światła.

1

Polecenie 2

Rozpatrz hipotezę: „Istnieje możliwość dobrania wartości $d$ takiej, by liczba  punktów na ekranie była różna dla każdej z trzech barw dostępnych w symulacji.
Opisz postępowanie prowadzące do rozstrzygnięcia hipotezy i podaj wynik swojej analizy problemu.

uzupełnij treść

---

Liczba szczelin w siatce, ostrość i położenia prążków

Ostrość prążków zależy od liczby szczelin w siatce. Im więcej jest szczelin (przy stałej odległości między nimi), tym bardziej ostre prążki zaobserwujemy (Rys. 2.).

R14AJDyKqphCn

Rys. 2. Zdjęcie przedstawia prążki interferencyjne powstałe po przejściu światła białego przez siatkę dyfrakcyjną o różnej liczbie szczelin. Szczeliny na siatce są równoodległe od siebie. Na czarnym tle pokazano poziome prostokąty – szare podzielone, w których widoczne są ciemne szczeliny. Prostokątów jest pięć i pokazano je jeden nad drugim. Dolny prostokąt zawiera trzydzieści dwie szczeliny, drugi od dołu szesnaście szczelin, trzeci od dołu osiem szczelin, czwarty od dołu cztery szczeliny a najwyższy dwie szczeliny. Z dołu na szczeliny padają trzy białe promienie świetlne równoodległe od siebie. Na każdej siatce widoczny jest jeden, najmocniej oświetlony pionowy prostokąt symbolizujący element siatki. Im mniejsza jest odległość pomiędzy szczelinami i im są one cieńsze, tym węższy jest powstający prążek interferencyjny. Pod zdjęciem umieszczono poziomą oś opisaną małą grecką literą alfa, oś skierowana jest w prawo. Na osi pod środkowym prążkiem zaznaczono kąt zerowy, a pod symetrycznymi prążkami po lewej i prawej stronie kąty, po lewej kąt minus alfa z indeksem dolnym jeden, a po prawej stronie kąt alfa z indeksem dolnym jeden.

Taki obraz jest spowodowany dwoma zjawiskami: dyfrakcją i interferencją (więcej na temat tych zjawisk możesz dowiedzieć się z e‑materiałów „Interferencja fal wysyłanych przez identyczne źródła” oraz „Jak definiuje się dyfrakcję?”).

Dla siatki dyfrakcyjnej o stałej $d$, kąty, pod którymi obserwujemy na ekranie ostre linie, można określić za pomocą równania:

gdzie $\lambda$ to długość fali światła a $\alpha_{m}$ – kąt, pod jakim powstaje m-ty prążek dyfrakcyjny (Rys. 3.).

R9F3y4IQx0m2x

Rys. 3. Rysunek przedstawia schemat układu do obserwacji obrazu dyfrakcyjnego. W centralnej części schematu widoczny jest czarny mały, pionowy prostokąt opisany jako siatka dyfrakcyjna. Po prawej stronie widoczny jest ekran, na którym powstają prążki interferencyjne, po przejściu świata przez siatkę dyfrakcyjną. Ekran narysowano w postaci pionowej czarnej linii. Na siatkę z lewej strony pada poziomy promień światła pokazany w postaci czarnej linii. Za siatką powstają promienie, z których jeden biegnie poziomo w prawo, a pozostałe rozbiegają się symetrycznie w górę i w dół. Promienie świetlne, po przejściu światła przez siatkę dyfrakcyjną padają na ekran. W miejscu, gdzie promienie padają na ekran zaznaczono czarne prostokąty symbolizujące prążki interferencyjne. Odległości pomiędzy kolejnymi, sąsiednimi prążkami w górę i w dół od prążka centralnego są coraz większe. Centralny prążek powstały z promienia biegnącego poziomo w prawo jest najszerszy w kierunku pionowym. Kolejne prążki są coraz węższe. Centralny prążek opisano małą literą m równą zero. Kolejne prążki rozchodzące się w górę i w dół opisano kolejnymi liczbami mała litera m równa od jeden do trzy.

Pomiar długości fali światła

Siatka dyfrakcyjna może posłużyć do pomiaru długości światła. Przeanalizujmy to dokładniej.

Umieśćmy siatkę dyfrakcyjną w płaszczyźnie równoległej do ekranu i oświetlmy ją badanym światłem. Siatka powinna znajdować się w takiej odległości od ekranu, byśmy widzieli dwa rzędy ugięcia (Rys. 4.).

RvDYAPB8CXQtv

Rys. 4. Rysunek przedstawia prążki interferencyjne rzędu pierwszego i drugiego, powstałe w wyniku przejścia światła przez siatkę dyfrakcyjną. Po lewej pokazana jest siatka dyfrakcyjna w postaci pionowej, przerywanej, czarnej linii. Przerwy w linii symbolizują szczeliny w siatce. Po prawej pokazany jest ekran w postaci pionowej, czarnej linii ciągłej. Odległość pomiędzy siatką i ekranem w kierunku poziomym oznaczono poziomą, dwustronną czarną strzałką opisaną wielką literą L umieszczoną w dolnej części ilustracji. Na siatkę, z lewej pada promień świetlny, pokazany w postaci poziomej, czarnej strzałki skierowanej w prawo. Przedłużenie tego promienia za siatką, z prawej jej strony narysowano w postaci poziomej, przerywanej czarnej linii, przechodzącej przez ekran po prawej. Padający na siatkę promień świetlny rozchodzi się na dwa promienie biegnące w górę i w prawo. Promienie narysowano w postaci czarnych linii z zaznaczonym kierunkiem rozchodzenia się. Jeden z promieni biegnie pod kątem mała grecka litera alfa z indeksem dolnym jeden do kierunku poziomego, a drugi pod kątem mała grecka litera alfa z indeksem dolnym dwa. Kąt mała grecka litera alfa z indeksem dolnym jeden jest mniejszy niż kąt mała grecka litera alfa z indeksem dolnym dwa. W postaci czarnych punktów zaznaczono miejsca na ekranie, w których promienia padają na niego. Odległość w kierunku pionowym pomiędzy przerywanym przedłużeniem promienia padającego na siatkę, a punktami powstania prążków oznaczono małymi literami x z indeksami jeden i dwa. Mała litera x z indeksem dolnym jeden to odległość prążka ugiętego pod mniejszym kątem a mała litera x z indeksem dolnym dwa promienia ugiętego pod większym kątem do kierunku poziomego.

Mierząc odległości prążka pierwszego xIndeks dolny 1₁ i drugiego rzędu xIndeks dolny 2₂ od osi układu, a także znając odległość siatki od ekranu L, jesteśmy w stanie wyznaczyć wartości sinusów kątów $\alpha_1$ i $\alpha_2$, pod jakimi powstają te prążki:

Znając te wielkości i korzystając z zapisanego wcześniej wzoru, możemy wyznaczyć długość fali światła padającego na siatkę:

Otrzymaliśmy dwie wartości długości TEJ SAMEJ fali światła uzyskane dla dwóch różnych pomiarów. Pozostaje pytanie, który z tych pomiarów daje bardziej dokładny wynik? Przeliczmy to na przykładzie.

Przykład

Załóżmy, że odległość siatki od ekranu $L=300\text{ mm}$ została zmierzona z niepewnością graniczną $\Delta L=1\text{ mm}$ (jest to niepewność związana z klasą linijki użytej do pomiaru). Z kolei, odległości prążków, $x_1=29\text{ mm}$ i $x_2=60\text{ mm}$ (są to średnie z dwóch pomiarów odpowiedniego prążka powyżej i poniżej osi układu), zmierzono z niepewnością graniczną $\Delta x=2\text{ mm}$ (wzięto pod uwagę niepewność przyrządu równą 1 mm oraz niepewność odczytu, gdyż prążki są nieco rozmyte, również równą 1 mm). Uzyskane długości fali wynoszą odpowiednio $\lambda_1=481\text{ nm}$ oraz $\lambda_2=490\text{ nm}$.

Niepewności standardowe pomiarów bezpośrednich wynoszą:

Obliczamy tzw. udziały niepewności: $u_x(\lambda)$ i $u_L(\lambda)$, jakie te bezpośrednio zmierzone wielkości wnoszą do niepewności wielkości wyjściowej (szczegóły obliczeń możesz znaleźć w e‑materiale pt. „Niepewność wielkości mierzonej pośrednio”).

Dla pierwszego prążka otrzymujemy:

Wyznaczamy niepewność pomiaru długości fali jako sumę geometryczną wszystkich udziałów:

Dla drugiego prążka otrzymujemy:

Niepewność pomiaru długości fali wynosi zatem:

Podsumowanie

Uzyskaliśmy następujące wyniki:

Widzimy zatem, że pomiar prążka drugiego rzędu daje bardziej dokładny wynik, niż pomiar prążka pierwszego rzędu. W ogólności, należy mierzyć jak najwyższy rząd, jednakże trzeba brać pod uwagę fakt, że natężenie światła maleje wraz ze wzrostem numeru prążka.

Dla zainteresowanych

Co jeszcze można odczytać na podstawie obrazu powstającego na ekranie? Analizując obraz, możemy zauważyć, że natężenie kolejnych prążków jest coraz mniejsze. Rozkład natężenia światła jest widoczny po prawej stronie rysunku 5.

RXYBzmF1wRxDT

Rys. 5. Rysunek podzielono na dwie części, prawą i lewą. Lewa część przedstawia schemat układu do obserwacji obrazu dyfrakcyjnego. W centralnej części schematu widoczny jest czarny mały, pionowy prostokąt opisany jako siatka dyfrakcyjna. Z prawej widoczny jest ekran, na którym powstają prążki interferencyjne, po przejściu świata przez siatkę dyfrakcyjną. Ekran narysowano w postaci pionowej czarnej linii. Na siatkę z lewej strony pada poziomy promień światła pokazany w postaci czarnej linii. Za siatką powstają promienie, z których jeden biegnie poziomo w prawo, a pozostałe rozbiegają się symetrycznie w górę i w dół. Promienie świetlne, po przejściu światła przez siatkę dyfrakcyjną padają na ekran. W miejscu, gdzie promienie padają na ekran zaznaczono czarne prostokąty symbolizujące prążki interferencyjne. Odległości pomiędzy kolejnymi, sąsiednimi prążkami w górę i w dół od prążka centralnego są coraz większe. Centralny prążek powstały z promienia biegnącego poziomo w prawo jest najszerszy w kierunku pionowym. Kolejne prążki są coraz węższe. Centralny prążek opisano małą literą m równą zero. Kolejne prążki rozchodzące się w górę i w dół opisano kolejnymi liczbami mała litera m równa od jeden do trzy. Prawa część rysunku przedstawia natężenia światła przypadające na poszczególne prążki interferencyjne. Na rysunku pokazano pionową czarna linię, z której wychodzą w lewo piki symbolizujące natężenie. Położenia pionowe pików odpowiadają prążkom powstałym na ekranie, po lewej. Pik odpowiadający prążkowi centralnemu mała litera m równa się zero jest największy, co oznacza, że natężenia światła w tym prążku jest największe. Natężenie światła w prążkach maleje wraz z ich oddalaniem się od prążka centralnego.

Powstający na ekranie obraz jest złożonym obrazem interferencyjno‑dyfrakcyjnym, który powstaje dzięki nałożeniu się poszczególnych fal, a ich wypadkowe natężenie – wysyłane z N szczelin siatki opisane jest skomplikowanym wzorem, którego przytaczać tu nie będziemy, a jedynie zaprezentujemy jego wykres na Rys. 6.

R1LniaC22i9zI

Rys. 6. Czarno‑biały rysunek podzielono na trzy części, ułożone jedna pod drugą. Każda z części przedstawia rozkład natężenia światła w prążkach interferencyjnych powstałych wskutek przejścia światła przez siatkę dyfrakcyjną o różnej liczbie szczelin. Górny rysunek przedstawia rozkład natężenia światła po przejściu przez siatkę opisaną wielką literą N równe dwie szczeliny. Pokazana jest pozioma linia symbolizująca zerowe natężenia światła. Nad linią widoczna jest pofalowana krzywa. Przedstawia ona cyklicznie powstające górki, symbolizujące prążki interferencyjne. Jest ich pięć. Środkowy prążek jest najwyższy i przedstawia prążek centralny o zerowym rzędzie ugięcia. Wraz z oddalaniem się od prążka centralnego natężenie światła maleje co symbolizują coraz niższe górki. Przez wierzchołki górek przechodzi przerywana linia tworząca łuk wygięty w górę. Natężenie prążka centralnego opisano wielką literą I dzieloną przez cztery wielka litera I z indeksem dolnym zero. Drugi od góry rysunek przedstawia rozkład natężenia światła po przejściu przez siatkę opisaną wielką literą N równe pięć szczelin. Pokazano poziomą linię symbolizującą zerowe natężenia światła. Nad linią widoczna jest pofalowana krzywa, która przedstawia cyklicznie powstające górki, symbolizujące prążki interferencyjne. Jest ich pięć. Środkowy prążek jest najwyższy i przedstawia prążek centralny o zerowym rzędzie ugięcia. Wraz z oddalaniem się od prążka centralnego natężenie światła maleje, co symbolizują coraz niższe górki. Przez wierzchołki górek przechodzi przerywana linia tworząca łuk wygięty w górę. Natężenie prążka centralnego opisano wielką literą I dzieloną przez cztery wielka litera I z indeksem dolnym zero. Prążki są węższe niż na rysunku górnym, ale odległość ich wierzchołków jest taka sama jak na rysunku powyżej. Pomiędzy prążkami widoczne są znacznie mniejsze górki. Dolny rysunek przedstawia rozkład natężenia światła po przejściu przez siatkę opisaną wielką literą N równe siedem szczelin. Narysowano poziomą linię symbolizującą zerowe natężenia światła. Nad linią widoczna jest pofalowana krzywa, która przedstawia cyklicznie powstające górki, symbolizujące prążki interferencyjne. Jest ich pięć. Środkowy prążek jest najwyższy i przedstawia prążek centralny o zerowym rzędzie ugięcia. Wraz z oddalaniem się od prążka centralnego natężenie światła maleje, co symbolizują coraz niższe górki. Przez wierzchołki górek przechodzi przerywana linia tworząca łuk wygięty w górę. Natężenie prążka centralnego opisano wielką literą I dzieloną przez cztery wielka litera I z indeksem dolnym zero. Prążki są węższe niż na rysunku górnym i takie same jak na rysunku środkowym, ale odległość ich wierzchołków jest taka sama jak na rysunkach powyżej. Pomiędzy prążkami widoczne są znacznie mniejsze górki niż na rysunku środkowym.

Słowniczek