Warto przeczytać

Przyjrzyjmy się drganiom klocka umocowanego na sprężynie, który po rozciągnięciu i zwolnieniu sprężyny porusza się tam i z powrotem wokół położenia równowagi (II), po gładkiej, poziomej płaszczyźnie (Rys. 1.).

R1ST3tUjgjnCh

Rys. 1. Rysunek przedstawia ciężarki w różnych wychyleniach zamocowane na sprężynie. Trzy rysunki przedstawiają zielony, kwadratowy ciężarek, zamocowany na poziomej sprężynie. Sprężyna narysowana jest w postaci zielonej, poziomej spirali, której prawa strona jest przymocowana do ciężarka, a lewa do pionowej nieruchomej ściany. Ciężarki drgają na sprężynach w kierunku poziomym. Rysunki ułożone są jeden nad drugim, a każdy z nich przedstawia ciężarek w innym położeniu. Pod rysunkami umieszczono poziomą oś wychylenia opisaną małą literą x, w postaci niebieskiej strzałki skierowanej w prawo. Na osi wychylenia zaznaczono wartości zero oraz minus wielka litera A i plus wielka litera A. Wielka litera A jest amplitudą drgań ciężarka. Na górnym rysunku opisanym rzymską cyfrą jeden, ciężarek jest wychylony maksymalnie w prawo, a jego środek jest w położeniu na osi x odpowiadającemu wartości plus wielka litera A. Na ciężarek działa siła sprężystości wielka litera F ze strzałką oznaczającą wektor, skierowana w lewo pokazana w postaci poziomej, czarnej strzałki. Na środkowym rysunku opisanym rzymską cyfrą dwa, ciężarek znajduje się w położeniu, które na osi x odpowiada zeru. Jest to położenie równowagi, w którym na ciężarek nie działa siła sprężystości. Na dolnym rysunku, opisanym rzymską cyfrą trzy, przedstawiono ciężarek, którego położenie odpowiada na osi x wartości pomiędzy położeniem równowagi i położeniem minus wielka litera A. Na ciężarek działa siła sprężystości, wielka litera F ze strzałką oznaczającą wektor, skierowana w prawo i narysowana w postaci czarnej, poziomej strzałki. Siła przyłożona do ciała na górnym rysunku jest większa niż na rysunku dolnym, ponieważ wartość siły sprężystości jest proporcjonalna do wychylenia. Na górnym rysunku sprężyna jest rozciągnięta, a na dolnym ściśnięta.

Siła działająca na poruszający się klocek zmienia się w czasie ruchu. Jest ona równa zeru, gdy klocek znajduje się w położeniu równowagi (sprężyna jest nierozciągnięta), a osiąga maksymalną wartość w skrajnych położeniach klocka (gdy sprężyna jest rozciągnięta lub ściśnięta) .

Wychylenie (x) to przemieszczenie ciała z położenia równowagi. Przy drganiach zachodzących wzdłuż prostej może być ono dodatnie lub ujemne. W przypadku drgań przedstawionych na Rys. 1. wychylenie jest dodatnie, gdy ciało znajduje się na prawo od położenia równowagi, a ujemne, gdy ciało znajduje po jego lewej stronie.

Amplituda drgań (A) to maksymalna wartość wychylenia.

Ruch harmoniczny to taki ruch drgający, w którym wypadkowa siła działająca na ciało jest proporcjonalna do wychylenia z położenia równowagi i zwrócona ku niemu. Można ją zapisać w postaci

gdzie x – wychylenie, m – masa, $\omega$ - wielkość proporcjonalna do częstotliwości drgań, zwana częstością kołową drgań. Znak minus wskazuje, że siła zwrócona jest przeciwnie do wychylenia (ku położeniu równowagi).

Częstość kołowa drgań ($\omega$) jest odpowiednikiem prędkości kątowej w ruchu jednostajnym po okręgu (więcej w przykładzie 2.). Jej związek z częstotliwością f i okresem drgań T określa zależność

Jednostką częstości kołowejczęstość kołowa drgańczęstości kołowej jest radian na sekundę (rad/s).

Częstość kołowa drgańczęstość kołowa drgańCzęstość kołowa drgań ($\omega$) określa, ile pełnych drgań wykonuje ciało w ciągu 2$\pi$ jednostek czasu (np. 2$\pi$ sekund).

Zależność wychylenia od czasu w ruchu harmonicznym opisuje zależność:

gdzie A – amplituda drgań, $\omega$ - częstość kołowaczęstość kołowa drgańczęstość kołowa, $\omega t+\phi$ - faza drgań, a $\varphi$ - faza początkowa, czyli faza drgańfaza drgańfaza drgań dla t = 0.

Faza drgańfaza drgańFaza drgań to argument funkcji sinus, jest to kąt wyrażony w radianach. Gdy wartość fazy drgań zmienia się z upływem czasu, zmienia się też wartość funkcji sinus, a więc i wychylenie.

Faza początkowa określa wychylenie ciała w chwili t = 0 (Rys. 2.).

R1KNv3A7cV4Yq

Rys. 2. Rysunek przedstawia wychylenie punktu poruszającego się ruchem harmonicznym. Pozioma oś opisana małą literą x, narysowana jest w postaci czarnej strzałki skierowanej w prawo. Na osi zaznaczono położenie zero oraz położenie minus wielka litera A i plus wielka litera A. Wielka litera A oznacza amplitudę wychylenia. Nad osią widoczne są czarne punkty, które symbolizują położenie punktu, poruszającego się ruchem harmonicznym w chwili rozpoczęcia ruchu dla różnych faz początkowych. Dla fazy początkowej równej zero, punkt pokazano w położeniu zero na osi x. Punkt porusza się w prawą stronę. Dla fazy początkowej równej mała grecka litera pi, punkt pokazany jest w położeniu zero na osi x i porusza się w lewą stronę. Dla fazy początkowej równej mała grecka litera pi dzielona przez dwa, punkt pokazany jest w położeniu odpowiadającym amplitudzie, plus wielka litera A na osi x. Dla fazy początkowej równej trzy razy mała grecka litera pi dzielona przez dwa, punkt pokazany jest w położeniu odpowiadającym minus amplitudzie, minus wielka litera A na osi x.

Jeśli faza początkowa jest równa zeru, to w chwili początkowej ciało znajduje się w położeniu równowagi (x = 0) i porusza się w prawo, a gdy faza początkowa jest równa πpi/2 to w chwili t = 0 ciało jest maksymalnie oddalone z położenia równowagi (x = A).

RmlamUNjbDzwh

Rys. 3. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym widoczne są dwa wykresy, jeden po drugim, prezentujące wychylenie punktu w czasie ruchu harmonicznego, dla różnych faz początkowych. Na rysunkach widoczne są dwa, prostokątne układy współrzędnych, narysowane czarnymi strzałkami. Osie pionowe wykresów, skierowane są w górę i przedstawiają wychylenie wyrażone w metrach, mała litera x i w nawiasie małą litera m. Na osiach wychylenia zaznaczono wartości od minus piętnastu setnych do plus piętnastu setnych metra, co pięć setnych metra. Osie poziome układów skierowane są w prawo i  opisują czas, wyrażony w sekundach, mała litera t i w nawiasie mała litera s. Na osiach czasu zaznaczono wartości od zera do czterech sekund, co pięć dziesiątych sekundy. W układach widoczne są funkcje narysowane niebieską i ciągłą linią. Na górnym wykresie przedstawiono funkcję, dla której faza początkowa jest równa zero, mała grecka litera fi równa się zero. Funkcja jest sinusoidalna, o amplitudzie równej jeden metr i okresie równym dwie sekundy. Okres funkcji narysowano w postaci czerwonej, poziomej, dwustronnej strzałki, zakończonej grotami na obu końcach, która wskazuje odległość pomiędzy dwoma sąsiednimi minimami funkcji dal położeń dopowiadającym czasom jednej i pięciu dziesiątych sekundy oraz trzem i pięciu dziesiątym sekundy. Na dolnym wykresie widoczna jest funkcja, dla której faza początkowa jest równa mała grecka litera pi dzielona przez dwa. Funkcja jest kosinusoidalna. Amplituda funkcji jest równa jeden metr a okres funkcji wynosi dwie sekundy.

Przesunięcie fazowe dwóch drgań o tej samej częstości to różnica faz tych drgań w danej chwili czasu (Rys. 4.).

RvgdAKNAnXfB7

Rys. 4. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym zaprezentowano dwa wahadła. Rysunek podzielony jest na dwie części, prawą oraz lewą. W obu częściach widoczne jest wahadło, narysowane w postaci niebieskiej kulki, zawieszonej na niebieskiej nitce, której górny koniec przymocowano do prostokątnego, szarego elementu. Czarnymi i przerywanymi liniami zaznaczono w postaci łuku wygiętego w dół tor, po którym porusza się ciężarek, oraz Graniczne położenia nici. Na lewym rysunku widoczny jest ciężarek, w położeniu równowagi, w którym znajduje się on w położeniu dokładnie pod punktem zaczepienia. Na rysunku po prawej stronie widoczny jest ciężarek wychylony maksymalnie w prawą stronę. Różnica fazy obu wahadeł wynosi mała recka litera pi dzielona przez dwa radianów.

Brak przesunięcia fazowego oznacza, że drgania są zgodne w fazie, a przesunięcie o $\pi$ rad, że są one przeciwne w fazie (Rys. 5.).

Przykład 1.

Zapisz z pomocą wzorów i narysuj wykresy funkcji x (t) dwóch drgań harmonicznych o amplitudach: AIndeks dolny 1₁ = 0,2 m i  AIndeks dolny 2₂ = 0,15 m oraz częstotliwości f = 1 Hz, przesuniętych w fazie o $\pi$. Faza początkowa drgania o amplitudzie AIndeks dolny 1₁ jest równa zeru.

Częstość kołowaczęstość kołowa drgańCzęstość kołowa wynosi $\omega =2\pi f=2\pi rad/s$

Okres drgań $T=\frac{1}{f}=1s$

$x_1\left(t\right)=0,2msin(2\pi t\frac{1}{s})$

$x_2\left(t\right)=0,15msin(2\pi t\frac{1}{s}+\pi )$

R1UVlGyzPFrSO

Rys. 5. Ilustracja przedstawia wykresy dwóch drgań harmonicznych, narysowanych w jednym układzie współrzędnych. Na ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych, w postaci czarnych strzałek. Oś pionowa układu skierowana jest w górę i opisuje wychylenie wyrażone w metrach, mała litera x i w nawiasie kwadratowym mała litera m. Os pozioma układu skierowana jest w prawo i przedstawia czas wyrażony w sekundach, mała litera t i w nawiasie kwadratowym małą litera s. Na osi położenia, zaznaczono wartości od minus dwudziestu pięciu setnych do plus dwudziestu pięciu setnych metra, co pięć setnych metra. Na osi czasu widoczne są pionowe linie, co dwie dziesiąte sekundy. W układzie widoczne są dwie funkcje, narysowane ciągłymi liniami. Jedna z funkcji jest niebieska i jest funkcją sinusoidalną. Amplituda tej funkcji jest równa dwie dziesiąte metra a okres równy jednej sekundzie. Druga funkcja narysowana jest czerwonym kolorem i przedstawia funkcję minus sinus. Amplituda czerwonej funkcji to piętnaście setnych metra a okres jest równy jednej sekundzie. Niebieska i czerwona funkcja są przesunięte w fazie o mała litera pi radianów. Niebieską funkcje podpisano, jako mała litera x z indeksem dolnym jeden i w nawiasie małą litera t. Czerwona funkcje podpisano, jako mała litera x z indeksem dolnym dwa i w nawiasie małą litera t.

Przykład 2. Ruch jednostajny po okręgu a ruch harmoniczny.

Rozważmy ruch punktu P, który porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu r (Rys. 6.).

R1SKHYGcVpX0Z

Rys. 6. Ilustracja przedstawia rysunek, na którym przedstawiono punkt poruszający się po okręgu. Na ilustracji widoczny jest prostokątny układ współrzędnych, narysowany czarnymi strzałkami. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i opisana wielką literą Y. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i opisana wielką literą X. Początek układu opisano cyfrą zero. Początek układu współrzędnych stanowi środek okręgu o promieniu mała litera r, Okrąg narysowano czarną i ciągłą linią a promień widoczny w postaci czarnego odcinka skierowany jest w prawo i w górę. Promień okręgu łączy jego środek z czerwonym punktem, wielka litera P widocznym na obwodzie okręgu, w prawej i górnej części układu. Promień okręgu nachylony jest pod kątem mała grecka litera alfa do osi poziomej.

Załóżmy, że w czasie t zostaje zakreślony kąt $\alpha$ . Prędkość kątowa w ruchu jednostajnym to stosunek kąta do czasu, w którym został on zakreślony,

Jednostką kąta w układzie SI jest radianradianradian, a jednostką prędkości kątowej - radianradianradian na sekundę.

Rzutujemy kolejne położenia punktu P, który porusza się ruchem jednostajnym po okręgu z prędkością kątową $\omega$, na oś Y’ równoległą do osi Y (Rys. 7.). Punkt P’ porusza się ruchem drgającym wokół punktu O’ z amplitudą równą promieniowi okręgu (O’A’ = O’B’ = r).

RJNA7KJtM6oXP

Rys. 7. Ilustracja prezentuje punkt poruszający się po okręgu. Przedstawiono prostokątny układ współrzędnych. Oś pionowa układu, skierowana jest w górę i opisana wielką literą Y. Oś pozioma układu, skierowana jest w prawo i opisana wielką literą X. Początek układu opisano cyfrą zero. Początek układu współrzędnych stanowi środek okręgu o promieniu mała litera r. Okrąg narysowano czarną i ciągłą linią a promień widoczny w postaci czarnego odcinka skierowany jest w prawo i w górę. Promień okręgu łączy jego środek z czerwonym punktem, wielka litera P widocznym na obwodzie okręgu, w prawej i górnej części układu. Promień okręgu nachylony jest pod kątem mała grecka litera alfa do osi poziomej. Na osi wielka litera Y zaznaczono dodatkowo punkt wielka litera A stanowiący najwyższy punkt okręgu i weilka litera B stanowiący najniższy punkt okręgu. Rzut punktu wielka litera P na oś wielka litera X, oznaczono jako punkt wielka litera K. Odległość punktu wielka litera K od początku układu współrzędnych, wzdłuż osi wielka litera X oznaczono małą literą x. Pomiędzy punktem weilka litera P i weilka litera K, poprowadzono niebieski, pionowy odcinek, którego długość opisano małą literą y. Po prawej stronie okręgu widoczna jest druga oś pionowa, narysowana w postaci czarnej strzałki. Oś ta skierowana jest w górę i opisana wielką literą Y ze znakiem prim. Przedstawiono rzut kilku punktów na tą oś, rzut wyrażony jest linią przerywaną poprowadzoną z danego punktu do punktu z indeksem prim. Rzut punktu wielka litera A na oś wielka litera Y ze znakiem prim opisano wielką literą A ze znakiem prim. Rzut punktu wielka litera P na oś wielka litera Y ze znakiem prim opisano wielką literą P ze znakiem prim. Rzut punktu wielka litera O, stanowiącego początek układu współrzędnych, na oś wielka litera Y ze znakiem prim opisano wielką literą O ze znakiem prim. Rzut punktu wielka litera B na oś wielka litera Y ze znakiem prim opisano wielką literą B ze znakiem prim.

Wychylenie y punktu P’ z położenia równowagi O’ wyznaczamy z trójkąta OPK.

Równanie to przedstawia zależność wychylenia od czasu w ruchu harmonicznym o częstości kołowej ωomega, amplitudzie równej promieniowi okręgu r i fazie początkowej równej zero.

Z trójkąta OPK wyznaczamy współrzędną x punktu P:

Uwzględniając, że dla dowolnej chwili czasu $cos\left(\mathrm{\text{ωt}}\right)=sin(\omega t+\frac{\pi }{2})$ otrzymujemy

czyli opis drgań harmonicznych wzdłuż osi X, przesuniętych w fazie do drgań w kierunku Y o $\frac{\pi }{2}$ .

Zauważmy, że

czyli - korzystając z „jedynki trygonometrycznej” - możemy opuścić przy współrzędnych ich zależność od czasu i napisać

Jest to - jak należało przypuszczać - równanie okręgu o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r.

Zatem ruch jednostajny po okręgu możemy przedstawić jako złożenie dwóch ruchów harmonicznych o kierunkach wzajemnie prostopadłych, tej samej częstości kołowej i amplitudzie, przesuniętych w fazie o $\frac{\pi }{2}$.

Słowniczek