Przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego nazywamy odcinek łączący dwa jego wierzchołki, który nie jest zawarty w żadnej ścianie graniastosłupa.

R1MTrTZ4URA3D

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędzie podstawy podpisano litrą a, a krawędź boczną podpisano literą b. W graniastosłupie zaznaczono odcinek łączący wierzchołek górnej i dolnej podstawy, odcinek ten nie leży w płaszczyźnie żadnej ze ścian. Odcinek ten nazywamy przekątną graniastosłupa.

Przekątną ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego nazywamy odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki ściany bocznej. Jej długość wynika z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ trójkąt utworzony przez krawędź podstawy, krawędź boczną i przekątną jest prostokątny. Długość przekątnej ściany bocznej wynosi $\sqrt{a^2+b^2}$.

R1Kwe0ljcyx8M

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędzie podstawy podpisano litrą a, a krawędź boczną podpisano literą b. W graniastosłupie zaznaczono odcinek łączący wierzchołek górnej i dolnej podstawy, leżący w płaszczyźnie ściany bocznej, ale nie będący jej krawędzią. Odcinek ten nazywamy przekątną ściany bocznej.

Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki podstawy. Jej długość wynika z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ trójkąt utworzony przez krawędzie podstawy i jej przekątną jest prostokątny. Długość przekątnej podstawy wynosi $a\sqrt{2}$.

R1cwGi4fA5bOo

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędzie podstawy podpisano litrą a, a krawędź boczną podpisano literą b. W graniastosłupie zaznaczono dwa odcinki, jeden łączący wierzchołki górnej podstawy a drugi łączący wierzchołki dolnej podstawy, odcinki te nie są krawędziami podstaw. Odcinki te nazywamy przekątnymi podstawy.

Krawędż podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnegograniastosłup prawidłowy czworokątnygraniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość $a$, zaś krawędź boczna jest długości $b$. Wykażemy, że przekątna tego graniastosłupa ma długość $d=\sqrt{b^2+2a^2}$.

Rozwiązanie:

R1dQ0uW4mQsVi

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędzie podstawy podpisano litrą a, a krawędź boczną podpisano literą b. W graniastosłupie zaznaczono jego przekątną d oraz przekątną jego podstawy $d_p$. Przekątne mają wspólny wierzchołek. Przekątna $d_p$ jest pod kątem prostym do krawędzi bocznej graniastosłupa.

Niech $d$ oznacza długość przekątnej graniastosłupa, $d_p$ będzie długością przekątnej podstawy.

Wówczas $d_p=a\sqrt{2}$.

Stosując twierdzenie Pitagorasatwierdzenie Pitagorasatwierdzenie Pitagorasa, otrzymujemy: $d^2={d_p}^2+b^2$, następnie po podstawieniu za $d_p=a\sqrt{2}$ otrzymujemy $d^2=2a^2+b^2$, zatem $d=\sqrt{b^2+2a^2}$.

Obliczymy długość wysokości graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości $6$, jeśli sinus kąta między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy jest równy $\frac{3\sqrt{13}}{13}$.

Rozwiązanie:

Przyjmimy oznaczenia jak na rysunku:

R1RrKgSjq1W6P

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, którego krawędzie podstawy podpisano litrą a, przy czym $a=6$ z kolei krawędź boczną podpisano literą b. W graniastosłupie zaznaczono przekątną ściany bocznej $d_s$. Kąt pomiędzy tą przekątną a krawędzią podstawy podpisano literą alfa.

Skoro $\sin \alpha =\frac{3\sqrt{13}}{13}$, to: $\frac{b}{d_s}=\frac{3\sqrt{13}}{13}$, co daje: $d_s=\frac{b\sqrt{13}}{3}$.

Z twierdzenia Pitagorasa:

$6^2+b^2={\left(\frac{b\sqrt{13}}{3}\right)}^2$.

$36+b^2=\frac{13b^2}{9}$

$\frac{4b^2}{9}=36$

$b^2=81$, a stąd: $b=9$

Przekątna $d$ graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o długości $5$ tworzy z krawędzią podstawy kąt, dla którego $\mathrm{tg}\alpha =\frac{4}{3}$. Obliczymy długość wysokości tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny przedstawiony na rysunku.

R1W8kdaEo3tRQ

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C D, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$ $D\text{'}$. B Krawędzie podstawy mają długość a. Krawędzie ścian bocznych mają długość h. W graniastosłupie zaznaczono jego przekątną d, kąt pomiędzy tą wysokością a krawędzią podstawy podpisano literą alfa. W graniastosłupie zaznaczono również przekątną ściany bocznej B$B\text{'}$ $C\text{'}$C, podpisano ją literą c. Kąt AB$C\text{'}$ to kąt prosty.

Trójkąt $ABC\text{'}$ jest prostokątny, zatem mamy $\mathrm{tg}\alpha =\frac{c}{a}=\frac{4}{3}$, stąd $a=\frac{3}{4}c$.

Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy $d^2=a^2+c^2$, a podstawiając zależność $a=\frac{3}{4}c$ otrzymujemy $d=\frac{5}{4}c$, zatem $c=4$, $a=3$.

Możemy obliczyć długość wysokości. Mamy $h=\sqrt{c^2-a^2}$.

Podstawiając wyliczone wcześniej wartości otrzymujemy $h=\sqrt{16-9}=\sqrt{7}$.

Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę $30°$. Wyznaczymy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, jeśli przekątna ściany bocznej ma długość $8$.

Rozwiązanie:

Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny przedstawiony na rysunku.

RYzOUXF7pCKRr

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C D, wierzchołki górnej podstawy to $A_1$ $B_1$ $C_1$ $D_1$. B Krawędzie podstawy mają długość a. Krawędzie ścian bocznych mają długość b. W graniastosłupie zaznaczono przekątne jego dwóch ścian bocznych są to A$D_1$ oraz C$D_1$. W graniastosłupie zaznaczono również przekątną podstawy, podpisano ją $d_{\mathrm{p}}$. Przekątne ścian bocznych mają długość 8 centymetrów. Kąty $D_1$AC oraz $D_1$CA mają miarę 75 stopni. Kąt C$D_1$A ma miarę 30 stopni.

Trójkąt ${ACD}_1$ jest równoramienny (ramiona ${AD}_1$ i ${CD}_1$ są przekątnymi ścian bocznych), zatem miary kątów $\sphericalangle D_{1}AC$ i $\sphericalangle D_{1}CA$ wynoszą $75°$.

Wyznaczymy długość przekątnej podstawy tego graniastosłupa. Z twierdzenia sinusów:

$\frac{8}{\sin 75°}=\frac{d_p}{\sin 30°}$

$d_p·\sin 75°=8·\frac{1}{2}$

Obliczymy wartość $\sin 75°$ korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów:

$\sin 75°=\sin \left(30°+45°\right)=\sin 30°·\cos 45°+\sin 45°·\cos 30°=\frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}$

Zatem:

$d_p=\frac{4}{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}}}=\frac{16}{\sqrt{2}+\sqrt{6}}=\frac{16\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{4}=4\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)$

Oczywiście: $d_p=a\sqrt{2}$, stąd:

$a=\frac{4\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)}{\sqrt{2}}=4\left(\sqrt{3}-1\right)$

Obliczymy cosinus kąta ostrego, jaki tworzą przekątne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, jeśli stosunek długości krawędzi bocznej do krawędzi podstawy wynosi $3 : 2$.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunkach:

R1enEIFLMNEdd

Ilustracja przedstawia graniastosłup prawidłowy czworokątny, wierzchołki dolnej podstawy to A B C D, wierzchołki górnej podstawy to $A\text{'}$ $B\text{'}$ $C\text{'}$ $D\text{'}$. B Krawędzie podstawy mają długość $2x$. Krawędzie ścian bocznych mają długość $3x$. W graniastosłupie zaznaczono jego przekątne C $A\text{'}$ oraz B $D\text{'}$ Przekątne te przecinają się w jednym punkcie kąty ostre pomiędzy przekątnymi podpisano literą alfa. Obok znajduje się prostokąt B C $A\text{'}$ $D\text{'}$, bok B$A\text{'}$ podpisano $d_p$, a bok BC $2x$. W prostokącie zaznaczono jego obie przekątne, punkt przecięcia przekątnych podpisano literą S. Kąt B$A\text{'}$C ma miarę $\frac{\alpha }{2}$, a kąt BSC ma miarę alfa.

Wyznaczymy długość przekątnej ściany bocznej:

${\left(d_p\right)}^2={\left(2x\right)}^2+{\left(3x\right)}^2$,

zatem: $d_p=x\sqrt{13}$.

Wyznaczymy teraz długość odcinka $A\text{'}C$:

$\left|A\text{'}C\right|=\sqrt{13x^2+4x^2}=x\sqrt{17}$

Z twierdzenia cosinusów w trójkącie $A\text{'}SD\text{'}$:

${\left(2x\right)}^2=2·{\left(\frac{x\sqrt{17}}{2}\right)}^2-2·{\left(\frac{x\sqrt{17}}{2}\right)}^2·\cos \alpha$

$\frac{17}{2}{x}^2·\cos \alpha =\frac{17}{2}{x}^2-4x^2$

$\frac{17}{2}{x}^2·\cos \alpha =\frac{9}{2}{x}^2$

$\cos \alpha =\frac{9}{17}$

graniastosłup prosty, którego podstawą jest kwadrat

w dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta