Przeczytaj
Przekątną graniastosłupa prawidłowego czworokątnego nazywamy odcinek łączący dwa jego wierzchołki, który nie jest zawarty w żadnej ścianie graniastosłupa.
Przekątną ściany bocznej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego nazywamy odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki ściany bocznej. Jej długość wynika z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ trójkąt utworzony przez krawędź podstawy, krawędź boczną i przekątną jest prostokątny. Długość przekątnej ściany bocznej wynosi .
Przekątna podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego to odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki podstawy. Jej długość wynika z twierdzenia Pitagorasa, ponieważ trójkąt utworzony przez krawędzie podstawy i jej przekątną jest prostokątny. Długość przekątnej podstawy wynosi .
Krawędż podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnegograniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość , zaś krawędź boczna jest długości . Wykażemy, że przekątna tego graniastosłupa ma długość .
Rozwiązanie:
Niech oznacza długość przekątnej graniastosłupa, będzie długością przekątnej podstawy.
Wówczas .
Stosując twierdzenie Pitagorasatwierdzenie Pitagorasa, otrzymujemy: , następnie po podstawieniu za otrzymujemy , zatem .
Obliczymy długość wysokości graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości , jeśli sinus kąta między przekątną ściany bocznej a krawędzią podstawy jest równy .
Rozwiązanie:
Przyjmimy oznaczenia jak na rysunku:
Skoro , to: , co daje: .
Z twierdzenia Pitagorasa:
.
, a stąd:
Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego o długości tworzy z krawędzią podstawy kąt, dla którego . Obliczymy długość wysokości tego graniastosłupa.
Rozwiązanie:
Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny przedstawiony na rysunku.
Trójkąt jest prostokątny, zatem mamy , stąd .
Stosując twierdzenie Pitagorasa otrzymujemy , a podstawiając zależność otrzymujemy , zatem , .
Możemy obliczyć długość wysokości. Mamy .
Podstawiając wyliczone wcześniej wartości otrzymujemy .
Kąt między przekątnymi sąsiednich ścian bocznych graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma miarę . Wyznaczymy długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, jeśli przekątna ściany bocznej ma długość .
Rozwiązanie:
Rozważmy graniastosłup prawidłowy czworokątny przedstawiony na rysunku.
Trójkąt jest równoramienny (ramiona i są przekątnymi ścian bocznych), zatem miary kątów i wynoszą .
Wyznaczymy długość przekątnej podstawy tego graniastosłupa. Z twierdzenia sinusów:
Obliczymy wartość korzystając ze wzoru na sinus sumy kątów:
Zatem:
Oczywiście: , stąd:
Obliczymy cosinus kąta ostrego, jaki tworzą przekątne graniastosłupa prawidłowego czworokątnego, jeśli stosunek długości krawędzi bocznej do krawędzi podstawy wynosi .
Rozwiązanie:
Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunkach:
Wyznaczymy długość przekątnej ściany bocznej:
,
zatem: .
Wyznaczymy teraz długość odcinka :
Z twierdzenia cosinusów w trójkącie :
Słownik
graniastosłup prosty, którego podstawą jest kwadrat
w dowolnym trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej tego trójkąta