Zacznijmy od przypomnienia definicji funkcji okresowej.

Rozważmy kąt o mierze $\alpha$ umieszczony w położeniu standardowym w układzie współrzędnych. Na drugim ramieniu tego kąta wybieramy punkt $M\left(x_M,y_M\right)$ o promieniu wodzącym równym $1$. Wówczas:

R1HiqGEZWB9fu

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie O, o współrzędnych $\left(0;0\right)$ i promieniu równym jeden. W pierwszej ćwiartce, narysowano półprostą, wychodzącą ze środka układu współrzędnych. Półprosta nachylona jest do osi x pod kątem alfa. Kąt alfa jest kątem ostrym. Półprosta przecina okrąg w punkcie M, o współrzędnych $\left(x_M;y_M\right)$. Literą N z indeksem górnym prim, oznaczono punkt przecięcia okręgu z osią X.

Pierwsza obserwacja jest taka, że po obrocie drugiego ramienia o kąt $\alpha$ oraz o kąt $\alpha +2\pi$ ramię to znajduje się w tym samym miejscu, zatem w każdym z tych przypadków do zdefiniowania funkcji trygonometrycznych tych kątów możemy na drugich ramionach tych kątów wybrać dokładnie te same punkty (o takich samych współrzędnych). Czyli dla dowolnego kąta $\alpha$ zachodzą równości $\sin \left(2\pi +\alpha \right)=\sin \alpha$, $\cos \left(2\pi +\alpha \right)=\cos \alpha$, $tg\left(2\pi +\alpha \right)=tg\alpha$. Stąd możemy wyciągnąć wniosek, że funkcje sinus, cosinus oraz tangens są okresowe - ich okresem jest na pewno liczba $2\pi$.

Miejsca zerowe funkcji trygonometrycznych

Zauważmy, że funkcja $\sin \left(x\right)$ przyjmuje wartość zero dokładnie wtedy, gdy druga współrzędna wybranego punktu $M$ jest równa $0$, co ma miejsce dla $x\in \left\{\dots ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots \right\}$. Ostatni warunek można zapisać w postaci $x=k·\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Funkcja $\cos \left(x\right)$ przyjmuje wartość zero dokładnie wtedy, gdy pierwsza współrzędna wybranego punktu $M$ jest równa $0$, co ma miejsce dla $x\in \left\{\dots ,-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2},\frac{5\pi }{2},\dots \right\}$. Ostatni warunek można zapisać w postaci $x=\frac{\pi }{2}+k·\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Funkcja $\mathrm{tg}\left(x\right)$ przyjmuje wartość zero dokładnie wtedy, gdy druga współrzędna wybranego punktu $M$ jest równa $0$, co ma miejsce dla $x\in \left\{\dots ,-\pi ,0,\pi ,2\pi ,3\pi ,\dots \right\}$. Ostatni warunek można zapisać w postaci $x=k·\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Okres zasadniczy funkcji trygonometrycznych

Wykażemy teraz, że liczba $2\pi$ jest okresem zasadniczym funkcji sinus, zaś liczba $\pi$ jest okresem zasadniczym funkcji tangens.

Dowód faktu, że okresem zasadniczymokres podstawowy/zasadniczy funkcjiokresem zasadniczym funkcji cosinus jest liczba $2\pi$ pozostawiamy jako ćwiczenie.

Monotoniczność funkcji trygonometrycznych

Rozważmy najpierw kąty o miarach z przedziału $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$. Na drugim ramieniu kąta wybierzmy dodatkowo taki punkt $N$, którego pierwsza współrzędna jest równa $1$. Na rysunku poniżej zaznaczone są odcinki, których długości są równe $\sin \alpha$, $\cos \alpha$ oraz $tg\alpha$.

Zwróć uwagę, że wraz ze wzrostem rozwartości kąta $\alpha$ rosną długości odcinków $M{M}^{\text{'}}$ oraz $N{N}^{\text{'}}$, jednocześnie odcinek $O{M}^{\text{'}}$ się skraca. Oznacza to, że w przedziale $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ funkcje sinus i tangens rosną, zaś funkcja cosinus maleje.

RfowxjhFRrvPP

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie O, o współrzędnych $\left(0;0\right)$ i promieniu równym jeden. W pierwszej ćwiartce, narysowano półprostą, wychodzącą ze środka układu współrzędnych. Półprosta nachylona jest do osi x pod kątem alfa. Kąt alfa jest kątem ostrym, mniejszym niż $45°$. Półprosta przecina okrąg w punkcie M, o współrzędnych $\left(x_M;y_M\right)$. Literą N z indeksem górnym prim, oznaczono punkt przecięcia okręgu z osią X. Z punktu M poprowadzono prostą do punktu $M\text{'}$, znajdującego się na osi X. Z punktu N z indeksem górnym prim, poprowadzono prostą do punktu $N=\left(1;y_N\right)$, znajdującego się na półprostej. Odcinki $MM\text{'}$ oraz $NN\text{'}$ są względem siebie równoległe oraz prostopadłe do osi X. Odcinek $OM\text{'}$ podpisano $\cos \left(\alpha \right)$. Odcinek $MM\text{'}$ podpisano $\sin \left(\alpha \right)$. Odcinek $NN\text{'}$ podpisano $\tan \left(\alpha \right)$.

R1U6th1vGr1Uu

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie O, o współrzędnych $\left(0;0\right)$ i promieniu równym jeden. W pierwszej ćwiartce, narysowano półprostą, wychodzącą ze środka układu współrzędnych. Półprosta nachylona jest do osi x pod kątem alfa. Kąt alfa jest kątem ostrym, większym niż $45°$. Półprosta przecina okrąg w punkcie M, o współrzędnych $\left(x_M;y_M\right)$. Literą N z indeksem górnym prim, oznaczono punkt przecięcia okręgu z osią X. Z punktu M poprowadzono prostą do punktu $M\text{'}$, znajdującego się na osi X. Z punktu N z indeksem górnym prim, poprowadzono prostą do punktu $N=\left(1;y_N\right)$, znajdującego się na półprostej. Odcinki $MM\text{'}$ oraz $NN\text{'}$ są względem siebie równoległe oraz prostopadłe do osi X. Odcinek $OM\text{'}$ podpisano $\cos \left(\alpha \right)$. Odcinek $MM\text{'}$ podpisano $\sin \left(\alpha \right)$. Odcinek $NN\text{'}$ podpisano $\tan \left(\alpha \right)$.

Dla kątów o miarach z przedziału $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ długości odcinków $M{M}^{\text{'}}$, $N{N}^{\text{'}}$ oraz $O{M}^{\text{'}}$ nie zawsze są równe wartościom funkcji trygonometrycznych - czasami mają długości równe ich wartościom bezwzględnym.

Jeśli kąt ma miarę z przedziału $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, to sytuacja wygląda jak na rysunkach poniżej.

R1aypw3ZxsDQI

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie O, o współrzędnych nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i promieniu równym jeden. W drugiej ćwiartce, narysowano półprostą, wychodzącą ze środka układu współrzędnych. Pomiędzy osią x, a półprostą, zaznaczono kąt alfa. Kąt alfa jest kątem rozwartym o mierze około 120stopni. Półprosta przecina okrąg w punkcie M, o współrzędnych $M=\left(x_M;y_M\right)=\left(\cos \alpha \sin \alpha \right)$. Literą N z indeksem górnym prim, oznaczono punkt przecięcia okręgu z osią X. Z punktu M poprowadzono prostą do punktu M prim, znajdującego się na osi X. Z punktu N z indeksem górnym prim, poprowadzono prostą do punktu N $\left(-1;y_N\right)=\left(-1;\tan \alpha \right)$. Punkt N znajduje się na półprostej. Odcinki M M prim oraz N N prim są względem siebie równoległe oraz prostopadłe do osi X. Odcinek O M prim podpisano $\left|\cos \alpha \right|=-\cos \alpha$. Odcinek M M prim podpisano sinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu. Odcinek N N prim podpisano $\left|\tan \alpha \right|=-\tan \alpha$.

Rk7ibfb7uCu1E

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie O, o współrzędnych nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i promieniu równym jeden. W drugiej ćwiartce, narysowano półprostą, wychodzącą ze środka układu współrzędnych. Pomiędzy osią x, a półprostą, zaznaczono kąt alfa. Kąt alfa jest kątem rozwartym o mierze około 150stopni. Półprosta przecina okrąg w punkcie M, o współrzędnych $M=\left(x_M;y_M\right)=\left(\cos \alpha \sin \alpha \right)$. Literą N z indeksem górnym prim, oznaczono punkt przecięcia okręgu z osią X. Z punktu M poprowadzono prostą do punktu M prim, znajdującego się na osi X. Z punktu N z indeksem górnym prim, poprowadzono prostą do punktu N $\left(-1;y_N\right)=\left(-1;\tan \alpha \right)$. Punkt N znajduje się na półprostej. Odcinki M M prim oraz N N prim są względem siebie równoległe oraz prostopadłe do osi X. Odcinek O M prim podpisano $\left|\cos \alpha \right|=-\cos \alpha$. Odcinek M M prim podpisano sinus nawias, alfa, zamknięcie nawiasu. Odcinek N N prim podpisano $\left|\tan \alpha \right|=-\tan \alpha$.

Można zauważyć, że dla kątów o miarach z przedziału $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ zachodzą następujące zależności:

• odcinek $O{M}^{\text{'}}$ ma długość $\left|\cos \alpha \right|=-\cos \alpha$ (bo $\cos \alpha <0$)

• im większa miara kąta $\alpha$, tym dłuższy jest odcinek $OM\text{'}$

• im dłuższy odcinek $OM\text{'}$, tym większa wartość liczby $-\cos \alpha$

• im większa wartość liczby $-\cos \alpha$, tym mniejsza wartość liczby $\cos \alpha$.

Z powyższego wynika, że im większa miara kąta $\alpha$, tym mniejsza wartość liczby $\cos \alpha$, co oznacza, że funkcja $\cos \alpha$ jest malejąca na przedziale $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$.

Analogicznie:

• odcinek $M{M}^{\text{'}}$ ma długość $\left|\sin \alpha \right|=\sin \alpha$ (bo $\sin \alpha >0$)

• im większa miara kąta $\alpha$, tym krótszy jest odcinek $M{M}^{\text{'}}$

• im krótszy odcinek $M{M}^{\text{'}}$, tym mniejsza wartość liczby $\sin \alpha$.

Z powyższego wynika, że im większa miara kąta $\alpha$, tym mniejsza wartość liczby $\sin \alpha$, co oznacza, że funkcja $\sin \alpha$ jest malejąca na przedziale $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$.

Ponadto:

• odcinek $N{N}^{\text{'}}$ ma długość $\left|\mathrm{tg}\alpha \right|=-\mathrm{tg}\alpha$ (bo $tg\alpha <0$)

• im większa miara kąta $\alpha$, tym krótszy jest odcinek $NN\text{'}$

• im krótszy odcinek $NN\text{'}$, tym mniejsza wartość liczby $-tg\alpha$

• im mniejsza wartość liczby $-tg\alpha$, tym większa wartość liczby $tga$.

Z powyższego wynika, że im większa miara kąta $\alpha$, tym większa wartość liczby $tg\alpha$, co oznacza, że funkcja $\mathrm{tg}\alpha$ jest rosnąca na przedziale $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$.

Jeśli kąt ma miarę z przedziału $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$, to sytuacja wygląda jak na rysunkach poniżej.

RUBGCZu4GZwnf

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie O, o współrzędnych nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i promieniu równym jeden. W trzeciej ćwiartce, narysowano półprostą, wychodzącą ze środka układu współrzędnych. Pomiędzy osią x, a półprostą, zaznaczono kąt alfa. Kąt alfa jest kątem wklęsłym o mierze około 220stopni. Półprosta przecina okrąg w punkcie M, o współrzędnych M, równa się, nawias, x indeks dolny, M, koniec indeksu dolnego, średnik, y indeks dolny, M, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, kosinus alfa sinus alfa, zamknięcie nawiasu. Literą N z indeksem górnym prim, oznaczono punkt przecięcia okręgu z osią X. Z punktu M poprowadzono prostą do punktu M prim, znajdującego się na osi X. Z punktu N z indeksem górnym prim, poprowadzono prostą do punktu N $N=\left(-1;y_N\right)=\left(-1;-\tan \alpha \right)$. Punkt N znajduje się na półprostej. Odcinki M M prim oraz N N prim są względem siebie równoległe oraz prostopadłe do osi X. Odcinek O M prim podpisano wartość bezwzględna z, kosinus alfa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, minus, kosinus alfa. Odcinek M M prim podpisano $\left|\sin \alpha \right|=-\sin \alpha$. Odcinek N N prim podpisano $\tan \alpha$.

RNX4Hw6rQIqM4

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie O, o współrzędnych nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i promieniu równym jeden. W trzeciej ćwiartce, narysowano półprostą, wychodzącą ze środka układu współrzędnych. Pomiędzy osią x, a półprostą, zaznaczono kąt alfa. Kąt alfa jest kątem wklęsłym o mierze około 240stopni. Półprosta przecina okrąg w punkcie M, o współrzędnych M, równa się, nawias, x indeks dolny, M, koniec indeksu dolnego, średnik, y indeks dolny, M, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, kosinus alfa sinus alfa, zamknięcie nawiasu. Literą N z indeksem górnym prim, oznaczono punkt przecięcia okręgu z osią X. Z punktu M poprowadzono prostą do punktu M prim, znajdującego się na osi X. Z punktu N z indeksem górnym prim, poprowadzono prostą do punktu N $N=\left(-1;y_N\right)=\left(-1;-\tan \alpha \right)$. Punkt N znajduje się na półprostej. Odcinki M M prim oraz N N prim są względem siebie równoległe oraz prostopadłe do osi X. Odcinek O M prim podpisano wartość bezwzględna z, kosinus alfa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, minus, kosinus alfa. Odcinek M M prim podpisano $\left|\sin \alpha \right|=-\sin \alpha$. Odcinek N N prim podpisano $\tan \alpha$.

Można zauważyć, że dla kątów o miarach z przedziału $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ zachodzą następujące zależności:

• odcinek $O{M}^{\text{'}}$ ma długość $\left|\cos \alpha \right|=-\cos \alpha$ (bo $\cos \alpha <0$)

• im większa miara kąta $\alpha$, tym krótszy jest odcinek $O{M}^{\text{'}}$

• im krótszy odcinek $O{M}^{\text{'}}$, tym mniejsza wartość liczby $-\cos \alpha$

• im mniejsza wartość liczby $-\cos \alpha$, tym większa wartość liczby $\cos \alpha$.

Z powyższego wynika, że im większa miara kąta $\alpha$, tym większa wartość liczby $\cos \alpha$, co oznacza, że funkcja $\cos \alpha$ jest rosnąca na przedziale $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$.

Analogicznie:

• odcinek $M{M}^{\text{'}}$ ma długość $\left|\sin \alpha \right|=-\sin \alpha$ (bo $\sin \alpha <0$),

• im większa miara kąta $\alpha$, tym dłuższy jest odcinek $M{M}^{\text{'}}$,

• im dłuższy odcinek $M{M}^{\text{'}}$, tym większa wartość liczby $-\sin \alpha$,

• im większa wartość liczby $-\sin \alpha$, tym mniejsza wartość liczby $\sin \alpha$.

Z powyższego wynika, że im większa miara kąta $\alpha$, tym mniejsza wartość liczby $\sin \alpha$, co oznacza, że funkcja $\sin \alpha$ jest malejąca na przedziale $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$.

Ponadto:

• odcinek $N{N}^{\text{'}}$ ma długość $\left|\mathrm{tg}\alpha \right|=tg\alpha$ (bo $tg\alpha >0$),

• im większa miara kąta $\alpha$, tym dłuższy jest odcinek $N{N}^{\text{'}}$,

• im dłuższy odcinek $N{N}^{\text{'}}$, tym większa wartość liczby $tg\alpha$.

Z powyższego wynika, że im większa miara kąta $\alpha$, tym większa wartość liczby $tg\alpha$, co oznacza, że funkcja $tg\alpha$ jest rosnąca na przedziale $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$.

Jeśli kąt ma miarę z przedziału $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$, to sytuacja wygląda jak na rysunkach poniżej.

R16zGFaisbnhg

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie O, o współrzędnych nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i promieniu równym jeden. W czwartej ćwiartce, narysowano półprostą, wychodzącą ze środka układu współrzędnych. Pomiędzy osią x, a półprostą, zaznaczono kąt alfa. Kąt alfa jest kątem wklęsłym o mierze około 300stopni. Półprosta przecina okrąg w punkcie M, o współrzędnych M, równa się, nawias, x indeks dolny, M, koniec indeksu dolnego, średnik, y indeks dolny, M, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, kosinus alfa sinus alfa, zamknięcie nawiasu. Literą N z indeksem górnym prim, oznaczono punkt przecięcia okręgu z osią X. Z punktu M poprowadzono prostą do punktu M prim, znajdującego się na osi X. Z punktu N z indeksem górnym prim, poprowadzono prostą do punktu $N=\left(1;y_N\right)=\left(1;\tan \alpha \right)$. Punkt N znajduje się na półprostej. Odcinki M M prim oraz N N prim są względem siebie równoległe oraz prostopadłe do osi X. Odcinek O M prim podpisano $\cos \alpha$. Odcinek M M prim podpisano wartość bezwzględna z, sinus alfa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, minus, sinus alfa. Odcinek N N prim podpisano $\left|\tan \alpha \right|=-\tan \alpha$.

Rx1Pp6GXBTYHH

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do jeden, oraz z pionową osią Y od minus jeden do jeden. Na płaszczyźnie narysowano okrąg o środku w punkcie O, o współrzędnych nawias, zero, średnik, zero, zamknięcie nawiasu i promieniu równym jeden. W czwartej ćwiartce, narysowano półprostą, wychodzącą ze środka układu współrzędnych. Pomiędzy osią x, a półprostą, zaznaczono kąt alfa. Kąt alfa jest kątem wklęsłym o mierze około 320stopni. Półprosta przecina okrąg w punkcie M, o współrzędnych M, równa się, nawias, x indeks dolny, M, koniec indeksu dolnego, średnik, y indeks dolny, M, koniec indeksu dolnego, zamknięcie nawiasu, równa się, nawias, kosinus alfa sinus alfa, zamknięcie nawiasu. Literą N z indeksem górnym prim, oznaczono punkt przecięcia okręgu z osią X. Z punktu M poprowadzono prostą do punktu M prim, znajdującego się na osi X. Z punktu N z indeksem górnym prim, poprowadzono prostą do punktu $N=\left(1;y_N\right)=\left(1;\tan \alpha \right)$. Punkt N znajduje się na półprostej. Odcinki M M prim oraz N N prim są względem siebie równoległe oraz prostopadłe do osi X. Odcinek O M prim podpisano $\cos \alpha$. Odcinek M M prim podpisano wartość bezwzględna z, sinus alfa, koniec wartości bezwzględnej, równa się, minus, sinus alfa. Odcinek N N prim podpisano $\left|\tan \alpha \right|=-\tan \alpha$.

Można zauważyć, że dla kątów o miarach z przedziału $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$ zachodzą następujące zależności:

• odcinek $O{M}^{\text{'}}$ ma długość $\left|\cos \alpha \right|=\cos \alpha$ (bo $\cos \alpha >0$),

• im większa miara kąta $\alpha$, tym dłuższy jest odcinek $O{M}^{\text{'}}$,

• im dłuższy odcinek $O{M}^{\text{'}}$, tym większa wartość liczby $\cos \alpha$.

Z powyższego wynika, że im większa miara kąta $\alpha$, tym większa wartość liczby $\cos \alpha$, co oznacza, że funkcja $\cos \alpha$ jest rosnąca na przedziale $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$.

Analogicznie:

• odcinek $M{M}^{\text{'}}$ ma długość $\left|\sin \alpha \right|=-\sin \alpha$ (bo $\sin \alpha <0$),

• im większa miara kąta $\alpha$, tym krótszy jest odcinek $M{M}^{\text{'}}$,

• im krótszy odcinek $M{M}^{\text{'}}$, tym mniejsza wartość liczby $-\sin \alpha$,

• im mniejsza wartość liczby $-\sin \alpha$, tym większa wartość liczby $\sin \alpha$.

Z powyższego wynika, że im większa miara kąta $\alpha$, tym większa wartość liczby $\sin \alpha$, co oznacza, że funkcja $\sin \alpha$ jest rosnąca na przedziale $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$.

Ponadto:

• odcinek $N{N}^{\text{'}}$ ma długość $\left|tg\alpha \right|=-tg\alpha$ (bo $tg\alpha <0$),

• im większa miara kąta $\alpha$, tym krótszy jest odcinek $N{N}^{\text{'}}$,

• im krótszy odcinek $N{N}^{\text{'}}$, tym mniejsza wartość liczby $-tg\alpha$,

• im mniejsza wartość liczby $-tg\alpha$, tym większa wartość liczby $tg\alpha$.

Z powyższego wynika, że im większa miara kąta $\alpha$, tym większa wartość liczby $tg\alpha$, co oznacza, że funkcja $tg\alpha$ jest rosnąca na przedziale $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$.

Podsumujmy powyższe rozważania:

1. Funkcja sinus jest rosnąca na przedziale $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ oraz na przedziale $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Jest też malejąca na każdym z przedziałów $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ oraz $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$. Ponieważ funkcja sinus jest ciągła na zbiorze liczb rzeczywistych, to jej monotoniczność możemy opisać następująco: sinus rośnie na przedziale $⟨-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}⟩$, maleje zaś na przedziale $⟨\frac{\pi }{2},\frac{3\pi }{2}⟩$. Ponieważ funkcja sinus jest okresowa o okresie zasadniczymokres podstawowy/zasadniczy funkcjiokresie zasadniczym $2\pi$, to możemy powiedzieć, że rośnie na każdym z przedziałów postaci $⟨-\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{\pi }{2}+2k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, oraz maleje na każdym z przedziałów postaci $⟨\frac{\pi }{2}+2k\pi ,\frac{3\pi }{2}+2k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

2. Funkcja cosinus jest rosnąca na przedziale $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$ oraz na przedziale $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Jest też malejąca na każdym z przedziałów $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$ oraz $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$ Ponieważ funkcja cosinus jest ciągła na zbiorze liczb rzeczywistych, to jej monotoniczność możemy opisać następująco: cosinus rośnie na przedziale $⟨\pi ,2\pi ⟩$, maleje zaś na przedziale $⟨0,\pi ⟩$. Ponieważ funkcja cosinus jest okresowafunkcja okresowaokresowa o okresie zasadniczym $2\pi$, to możemy powiedzieć, że rośnie na każdym z przedziałów postaci $⟨\pi +2k\pi ,2\pi +2k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, oraz maleje na każdym z przedziałów postaci $⟨0+2k\pi ,\pi +2k\pi ⟩=⟨2k\pi ,\pi +2k\pi ⟩$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

3. Funkcja tangens jest rosnąca na każdym z przedziałów $\left(0,\frac{\pi }{2}\right)$, $\left(\frac{\pi }{2},\pi \right)$, $\left(\pi ,\frac{3\pi }{2}\right)$, $\left(\frac{3\pi }{2},2\pi \right)$. Jest nieokreślona dla liczby $\frac{\pi }{2}$ oraz wszystkich liczb postaci $\frac{\pi }{2}+k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ i ciągła dla liczb postaci $k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$ (miejsca zerowe funkcji tangens). Ponieważ funkcja tangens jest ciągła na każdym z przedziałów postaci $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, to jej monotoniczność możemy opisać następująco: tangens rośnie na przedziale $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$. Ponieważ funkcja tangens jest okresowaokresowość funkcji trygonometrycznychokresowa o okresie zasadniczym $\pi$, to możemy powiedzieć, że rośnie na każdym z przedziałów postaci $\left(-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \right)$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$.

Wartości największe i wartości najmniejsze funkcji trygonometrycznych

Analizując przedziały monotoniczności funkcji trygonometrycznych, możemy zauważyć, że funkcja sinus przyjmuje wartość największą (skądinąd wiadomo, że jest ona równa $1$, dla argumentów postaci $x=\frac{\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, oraz wartość najmniejszą dla argumentów postaci $x=\frac{3\pi }{2}+2k\pi$, gdzie $k\in Z$ (która skądinąd jest równa $\left(-1\right)$). Funkcja cosinus przyjmuje wartość największą (równą $1$) dla argumentów postaci $x=2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$, oraz wartość najmniejszą (równą $\left(-1\right)$) dla argumentów postaci $x=\pi +2k\pi$, gdzie $k\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Funkcja tangens jest rosnąca na każdym z przedziałów, na którym jest określona. Ponadto przedziały określoności funkcji tangens są obustronnie otwarte, zatem funkcja tangens nie przyjmuje ani wartości najmniejszej, ani wartości największej.

Słownik