Kątem wewnętrznym wielokątawielokąt (wielobok, n‑kąt, n‑bok)wielokąta (kątem wielokąta) nazywamy kątkątkąt, którego ramiona zawierają dwa sąsiednie boki wielokąta i dla którego istnieje otoczenie wierzchołka takie, że wszystkie punkty kąta zawarte w tym otoczeniu są punktami wielokąta.

Rozważmy pięciokąt wypukły $ABCDE$, taki jak na rysunku.

R1CFuLejnDVzB

Ilustracja przedstawia wielokąt o pięciu wierzchołkach oznaczonych: A, B, C, D i E. Każdy z katów wewnętrznych wielokąta jest oznaczony wewnętrznym łukiem. Żaden z kątów wewnętrznych nie jest większy niż 180 stopni.

Zauważmy, że w każdym z kątów wielokąta $ABCDE$ zawiera się cały ten wielokąt. Własność zawierania się danego wielokąta w każdym z jego kątów wewnętrznych jest charakterystyczna dla wielokątów wypukłych. Rozważmy teraz pięciokąt $ABCDE$, który nie jest figurą wypukłą, taki jak na rysunku.

RRCjUjSRUz5x4

Ilustracja przedstawia wielokąt o pięciu bokach i wierzchołkach. Wierzchołki oznaczone są jako A, B, C D, i E. Kąty wewnętrzne: Cztery z kątów wewnętrznych wielokąta, to kąty niewiększe niż 180 stopni. Jeden z kątów wewnętrznych wielokąta, oznaczony literą C, jest kątem większym niż 180 stopni, co powoduje, że wielokąt jest wielokątem wklęsłym

Zauważmy, że np. w kącie wewnętrznym $EAB$ zawiera się cały ten wielokąt, ale już kąt wewnętrzny $ABC$ zawiera tylko część danego wielokąta.

Kątem zewnętrznym wielokąta wypukłego nazywamy każdy kąt przyległy do jego kąta wewnętrznego.

Suma miar kątów wewnętrznych wielokąta jest równa $180°·(n-2)$, gdzie $n$ oznacza liczbę boków wielokąta $(n\in N, n>2)$.

Wielokątem foremnym nazywamy taki wielokąt, którego wszystkie boki mają taką samą długość i kąty wewnętrzne są przystające (mają równe miary).

Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego jest równa ${180}^{°}-\frac{{360}^{°}}{n}$, gdzie $n$ jest liczbą jego boków (wierzchołków).

Rozwiążemy zadanie, w którym do zbudowania modelu prowadzącego do wyznaczenia szukanej liczby boków, wykorzystamy powyższe twierdzenie.

Zadanie

Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego jest o $4°$ mniejsza od miary kąta wewnętrznego $(n+3)$ - kąta foremnego. Oblicz $n$.

Rozwiązanie.

Miara kąta wewnętrznego $n$ - kąta foremnego jest równa ${180}^{°}-\frac{360°}{n}$, zatem  miara kąta wewnętrznego $(n+3)$ - kąta foremnego jest równa ${180}^{°}-\frac{360°}{n+3}$. Stąd i z treści zadania otrzymujemy równanie:

Przekształcając dane równanie w sposób równoważny otrzymujemy kolejno

Pierwiastkami otrzymanego równania są liczby $n_1=15$, $n_2=-18$. Ale rozwiązanie musi być liczbą naturalną, więc $n=15$.

część płaszczyzny ograniczona dwiema półprostymi o wspólnym początku; proste te nazywamy ramionami kąta, a ich początek nosi nazwę wierzchołka

płaska figura geometryczna ograniczona łamaną zwyczajną zamkniętą, wraz z tą łamaną