Przeczytaj

Chcąc określić prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia losowego, określamy zespół warunków przy których to zdarzenie zachodzi.

W niektórych wypadkach nie wpisuje się wszystkich warunków, bo ich zachowanie jest przyjęte umownie (np. w rzucie kostką symetryczność tejże kostki). Jeżeli jednak istnieje warunek $B$ , który ma istotny wpływ na prawdopodobieństwo zajścia danego zdarzenia $A$ , to mówimy o prawdopodobieństwie zajścia zdarzenia $A$ pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ i prawdopodobieństwo to oznaczamy symbolem $P (A / B)$ .

Prawdopodobieństwo warunkowe

Definicja: Prawdopodobieństwo warunkowe

Niech $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ oraz niech $P (B) > 0$ . Prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A$ , pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ , nazywamy liczbę

P (A / B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Liczbę tę nazywamy prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A$ , pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ .

Przykład 1

Rzucamy dwukrotnie kostką do gry. Za pierwszym razem wypadły dwa oczka. Oblicz prawdopodobieństwo, że suma uzyskanych oczek jest liczbą pierwszą.

Niech $Ω$ będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu.

$|Ω| = 36$

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że suma wszystkich liczb uzyskanych oczek jest liczbą pierwszą,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że za pierwszym razem wypadły dwa oczka.

Zdarzenia możliwe $B$	Zdarzenia sprzyjające $A \cap B$
$(2, 1)$	$(2, 1)$
$(2, 2)$	$(2, 3)$
$(2, 3)$	$(2, 5)$
$(2, 4)$
$(2, 5)$
$(2, 6)$

$P (B) = \frac{6}{36}$

$P (A \cap B) = \frac{3}{36}$

Obliczamy prawdopodobieństwo warunkoweprawdopodobieństwo warunkoweprawdopodobieństwo warunkowe.

$P (A / B) = \frac{\frac{3}{36}}{\frac{6}{36}} = \frac{1}{2}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że suma uzyskanych oczek jest liczbą pierwszą jest równe $\frac{1}{2}$ .

Przykład 2

Z talii $52$ kart wyciągamy losowo jedną kartę. Obliczymy prawdopdobieństwo, że jest to dziewiątka, jeżeli wiadomo, że wylosowana karta jest pikiem.

R1EViV00WSdrB

Ilustracja przedstawia 9 pik z symbolami w kształcie czarnego serca z przylegającą strzałką od góry.

Losujemy jedną kartę z $52$ .

$|Ω| = 52$

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że wyciągnięta karta to $9$ ,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że wyciagnięta karta to pik.

Należy obliczyć $P (A / B)$ .

Zdarzeniu $B$ sprzyja $13$ zdarzeń elementarnych (w talii mamy $13$ pików).

$|B| = 13$ i $P (B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}$

$A \cap B$ – wylosowana karta to dziewiątka pik.

$|A \cap B| = 1$ – w talii jest jedna dziewiątka pik

$P (A \cap B) = \frac{1}{52}$

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

$P (A / B) = \frac{\frac{1}{52}}{\frac{1}{4}} = \frac{1}{13}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo, że wylosowana karta to dziewiątka pik jest równe $\frac{1}{13}$ .

Przykład 3

W pudle są trzy kule żółte i cztery zielone. Losujemy kolejno dwie kule bez zwracania. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że za drugim razem wylosujemy kulę żółtą, jeżeli za pierwszym razem też wylosowaliśmy kulę żółtą.

W opisanym doświadczeniu istotna jest kolejność losowania kul i kule nie mogą się powtarzać.

Zatem zdarzeniami elementarnymi są dwuelementowe wariacje bez powtórzeń zbioru siedmioelementowego.

$|Ω| = 7 \cdot 6 = 42$

Oznaczmy:
$A$ – zdarzenie polegające na tym, że za drugim razem wylosowano kulę żółtą,
$B$ – zdarzenie polegające na tym, że pierwszym razem wylosowano kulę żółtą,
$A \cap B$ – zdarzenie polegające na tym, że za pierwszym i drugim razem wylosowano kulę żółtą.

$|B| = 3 \cdot 6 = 18$

$P (B) = \frac{18}{42}$

Za pierwszym razem losujemy kulę żółtą z trzech znajdujących się w pudle, ale za drugim razem już tylko dwie kule żółte znajdują się w pudle.

$|A \cap B| = 3 \cdot 2 = 6$

$P (A \cap B) = \frac{6}{42}$

Korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

$P (A / B) = \frac{\frac{6}{42}}{\frac{18}{42}} = \frac{1}{3}$

Zauważmy, że szukane prawdopodobieństwo możemy wyznaczyć też w inny sposób.

Jeżeli przyjmiemy, że $B$ jest zdarzeniem pewnym, to

$|Ω| = 2 + 4 = 6$ i $|A| = 2$

Zatem

$P (A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że za drugim razem wylosujemy kulę żółtą, jeżeli za pierwszym razem też wylosowaliśmy kulę żółtą jest równe $\frac{1}{3}$ .

Przykład 4

W finale zawodów łuczniczych startuje czterech zawodników: Arek, Marek, Darek i Jarek. Prawdopodobieństwo wygrania zawodów przez każdego z nich jest równe odpowiednio: $\frac{3}{9}$ , $\frac{1}{9}$ , $\frac{3}{9}$ , $\frac{2}{9}$ . Niestety Arek i Marek wycofali się z zawodów z powodu kontuzji. Obliczymy prawdopodobieństwo tego, że teraz zawody wygra Darek.

Mamy obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wygra Darek pod warunkiem, że wygra Darek lub Jarek.

Oznaczmy:
$D$ – zdarzenie polegające na tym, że wygra Darek,
$J$ – zdarzenie polegające na tym, że wygra Jarek.

Niech $B = D \cup J$ .

Zauważmy, że

$D \subset D \cup J$ , zatem $D \cap (D \cup J) = D$

Zatem $P (B) = \frac{5}{9}$ , $P (D \cap B) = \frac{3}{9}$ .

Ze wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe wynika, że

$P (D / B) = \frac{3}{9} : \frac{5}{9} = \frac{3}{5}$

Zauważmy, że prawdopodobieństwo zajścia rozpatrywanego zdarzenia można obliczyć jako stosunek częstości zajścia zdarzenia $D$ do częstości zajścia zdarzenia $D \cup J$ .

Zdarzenie $D$ zachodzi w $3$ przypadkach na $9$ , a zdarzenie $D \cup J$ w $5$ przypadkach na $9$ . Stąd

$P (A / B) = \frac{3}{5}$

Odpowiedź:

Prawdopodobieństwo tego, że wygra Darek jest równe $\frac{3}{5}$ .

Jeśli w zadaniu nie podajemy specjalnych warunków, jakie mają spełniać dane zdarzenia losowe, to zakładamy, że należą do tego samego zbioru zdarzeń elementarnych.

Przykład 5

Wykażemy, że jeśli $P (A) = 0, 7$ i $P (B) = 0, 6$ to $P (A / B) \geq 0, 5$ .

Aby obliczyć prawdopodobieństwo warunkoweprawdopodobieństwo warunkoweprawdopodobieństwo warunkowe, musimy najpierw znaleźć $P (A \cap B)$ .

Skorzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego.

$P (A \cap B) = 1 - P [(A \cap B)'] = 1 - P (A' \cup B')$

Teraz korzystamy ze wzoru na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń.

$P (A \cap B) = 1 - [P (A') + P (B') - P (A' \cap B')]$

$P (A \cap B) = 1 - P (A') - P (B') + P (A' \cap B')$

$P (A \cap B) \geq 1 - P (A') - P (B') = P (A) - (1 - P (B))$

$P (A \cap B) \geq P (A) + P (B) - 1$

Przechodzimy do wzoru na prawdopodobieństwo warunkowe.

$P (A / B) \geq \frac{P (A) + P (B) - 1}{P (B)}$

$P (A / B) \geq \frac{0, 7 + 0, 6 - 1}{0, 6} = 0, 5$ .

Słownik

prawdopodobieństwo warunkowe

niech $A \subset Ω$ i $B \subset Ω$ oraz niech $P (B) > 0$ ; prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia $A$ , pod warunkiem, że zaszło zdarzenie $B$ , nazywamy liczbę

P (A / B) = \frac{P (A \cap B)}{P (B)}

Wprowadzenie

Galeria zdjęć interaktywnych

Słownik