Przeczytaj

Układ równań

Definicja: Układ równań

Układem równań nazywamy koniunkcję co najmniej dwóch równań.

Aby rozwiązać układ równań należy znaleźć wszystkie układy liczb spełniające wszystkie równania składowe danego układu równań lub wykazać, że układ nie ma rozwiązania.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych odpowiednio $x$ oraz $y$ , przy czym przynajmniej jedna liczba z pary liczb $a_{1}$ i $a_{2}$ oraz $b_{1}$ i $b_{2}$ jest różna od zera,
$c_{1}$ i $c_{1}$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Rozwiązanie układu równań

Definicja: Rozwiązanie układu równań

Rozwiązaniem takiego układu równań jest każda para liczb spełniających jednocześnie każde równanie danego układu równań.

Przy czym taki układ równań może mieć jedno rozwiązanie, nieskończenie wiele rozwiązań lub nie mieć rozwiązania.

Przykład 1

Rozwiążemy graficznie układy równań:

$\{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$ oraz $\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 8 \\ - 2 x + 4 y = 0 \end{cases}$

Dla każdego z układów równań, rysujemy wykresy każdego równania w układzie współrzędnych, a następnie odczytujemy rozwiązanie.

Pierwszy układ równań:

$\{\begin{cases} 2 x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}$

$2 x + y = 5$ i $x - y = 1$

$y = - 2 x + 5$ i $y = x - 1$

R18h5ZFann33T

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięć i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono dwie ukośne proste. Pierwsza z nich o równaniu: y=x−1 przecina oś y w punkcie nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu oraz oś x w punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu. Druga prosta, mająca równanie y=−2x+5, przecina oś y w punkcie nawias zero średnik pięć zamknięcie nawiasu i przechodzi przez punkt nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Proste przecinają się w punkcie A o współrzędnych nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu.

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ .

Drugi układ równań:

$\{\begin{cases} 3 x + 2 y = 8 \\ - 2 x + 4 y = 0 \end{cases}$

$3 x + 2 y = 8$ i $- 2 x + 4 y = 0$

$y = - 1, 5 x + 4$ i $y = 0, 5 x$

RA7oD39FvEGR5

Rozwiązaniem układu równań jest para liczb

$\{\begin{cases} x = 2 \\ y = 1 \end{cases}$ .

Para liczb $(2, 1)$ jest jedynym rozwiązaniem każdego z tych układów równań. Takie układy równań nazywamy układami równoważnymi.

Równoważne układy równań

Definicja: Równoważne układy równań

Dwa układy równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy równoważnymi, gdy mają ten sam zbiór rozwiązań.

Zauważmy, że takie układy równań mają takie same niewiadome i takie same dziedziny.

Przykład 2

Sprawdzimy, czy układ, którego ilustracja geometryczna jest przedstawiona na rysunku jest równoważny układowi

$\{\begin{cases} (x - 2) (y + 3) = (x + 4) (y - 1) \\ {(y - 4)}^{2} = y^{2} - 12 x + 12 \end{cases}$ .

R1TAYaS3EZxx2

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięć i pionową osią y od minus 4 do trzy. W układzie zaznaczono dwie ukośne proste. Pierwsza z nich przechodzi przez punkty: nawias minus pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu oraz nawias trzy średnik minus cztery zamknięcie nawiasu. Druga prosta przechodzi przez punkty: nawias minus cztery średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i nawias dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu. Proste przecinają się w punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Z wykresu możemy odczytać rozwiązanie przedstawionego na nim układu – $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 1 \end{cases}$ .

Wystarczy teraz sprawdzić, czy ta para liczb spełnia układ równańukład równańukład równań

$\{\begin{cases} (x - 2) (y + 3) = (x + 4) (y - 1) \\ {(y - 4)}^{2} = y^{2} - 12 x + 12 \end{cases}$ .

Obliczmy wartości liczbowe lewych i prawych stron równań składowych, powstałe po podstawieniu $x = - 1$ i $y = - 1$ .

$L_{1} = (x - 2) (y + 3) = - 3 \cdot 2 = - 6$

$P_{1} = (x + 4) (y - 1) = 3 \cdot (- 2) = - 6 \Rightarrow L_{1} = P_{1}$

$L_{2} = {(y - 4)}^{2} = {(- 1 - 4)}^{2} = 25$

$P_{2} = y^{2} - 12 x + 12 = {(- 1)}^{2} - 12 \cdot (- 1) + 12 = 25 \Rightarrow L_{2} = P_{2}$

Zatem para liczb $\{\begin{cases} x = - 1 \\ y = - 1 \end{cases}$ jest również jedynym rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} (x - 2) (y + 3) = (x + 4) (y - 1) \\ {(y - 4)}^{2} = y^{2} - 12 x + 12 \end{cases}$ , a więc układy te są równoważne.

Przykład 3

Dany jest układ równańukład równańukład równań

$\{\begin{cases} \frac{x + y}{2} - \frac{5 x + y}{5} = 3 \\ 3 \cdot (x + y) + 2 \cdot (3 - y) = 2 \end{cases}$ .

Utwórzmy układ do niego równoważny.

Doprowadzamy równania składowe do najprostszej postaci.

$\frac{x + y}{2} - \frac{5 x + y}{5} = 3 | \cdot 10$ i $3 \cdot (x + y) + 2 \cdot (3 - y) = 2$

$5 \cdot (x + y) - 2 \cdot (5 x + y) = 30$ i $3 x + 3 y + 6 - 2 y = 2$

$5 x + 5 y - 10 x - 2 y = 30$ i $y = - 3 x - 4$

$3 y = 5 x + 30 | : 3$

$y = \frac{5}{3} x + 10$

Możemy teraz narysować wykresy tych równań i odczytać rozwiązanie układu.

RR3qH0Ev6vWLk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do trzy i pionową osią y od minus 1 do siedem. W układzie zaznaczono dwie ukośne proste. Pierwsza z nich o równaniu: y=53x+10 przecina oś x w punkcie nawias minus sześć średnik zero zamknięcie nawiasu oraz przechodzi przez punkt nawias minus trzy średnik pięć zamknięcie nawiasu. Druga prosta, mająca równanie y=−3x−4, przechodzi przez punkty: nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu i punkt nawias minus dwa średnik dwa zamknięcie nawiasu. Proste przecinają się w punkcie o współrzędnych nawias minus trzy średnik pięć zamknięcie nawiasu.

Wykresy przecinają się w punkcie o współrzędnych $(- 3, 5)$ , a zatem jedynym rozwiązaniem układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = - 3 \\ y = 5 \end{cases}$ .

Możemy też obliczyć jakie liczby spełniają układ, porównując np. wyznaczone z obu równań wartości $y$ .

Otrzymaliśmy $y = \frac{5}{3} x + 10$ oraz $y = - 3 x - 4$ , a zatem:

$\frac{5}{3} x + 10 = - 3 x - 4$

$\frac{14}{3} x = - 14 | : \frac{14}{3}$

$x = - 3$

Stąd $y = - 3 x - 4 = - 3 \cdot (- 3) - 4 = 5$

I ostatecznie $\{\begin{cases} x = - 3 \\ y = 5 \end{cases}$ .

Aby utworzyć układ równoważnyrównoważne układy równańukład równoważny, wystarczy zdefiniować dowolną zależność między $x$ oraz $y$ prawdziwą dla obliczonych wartości, np.:

$\{\begin{cases} x + y = 2 \\ x - y = - 8 \end{cases}$ , ponieważ $\{\begin{cases} x + y = - 3 + 5 = 2 \\ x - y = - 3 - 5 = - 8 \end{cases}$
$\{\begin{cases} 2 x + y = - 1 \\ - 5 x + 2 y = 25 \end{cases}$ , ponieważ $\{\begin{cases} 2 x + y = 2 \cdot (- 3) + 5 = - 1 \\ - 5 x + 2 y = - 5 \cdot (- 3) + 2 \cdot 5 = 25 \end{cases}$

Przykład 4

Znajdziemy wartości parametrów $m$ oraz $n$ , takie aby podane układy równań były równoważne.

$\{\begin{cases} 5 - \frac{x - 2 y}{5} = 4 \\ \frac{x + y}{2} + 3 = 4 \end{cases}$ oraz $\{\begin{cases} m^{2} x - y = 10 \\ - 3 x - (2 n + 1) y = 5 \end{cases}$

Doprowadzamy równania składowe do najprostszej postaci, a następnie wyznaczamy parę liczb, która jest rozwiązaniem układu równań.

$5 - \frac{x - 2 y}{5} = 4 | \cdot 5$ i $\frac{x + y}{2} + 3 = 4 | \cdot 2$

$25 - (x - 2 y) = 20$ i $x + y + 6 = 8$

$25 - x + 2 y = 20$ i $y = - x + 2$

$2 y = x - 5$

$y = 0, 5 x - 2, 5$

Obliczamy:

$0, 5 x - 2, 5 = - x + 2$

$1, 5 x = 4, 5 | : 1, 5$

$x = 3$

$y = - x + 2 = - 3 + 2 = - 1$

$\{\begin{cases} x = 3 \\ y = - 1 \end{cases}$

Możemy też odczytać rozwiązanie z wykresu:

R1KUmfbIeTrDz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do pięć i pionową osią y od minus 4 do cztery. W układzie zaznaczono dwie ukośne proste. Pierwsza z nich o równaniu: y=−x+2 przecina oś y w punkcie nawias zero średnik dwa zamknięcie nawiasu oraz oś x w punkcie nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu. Druga prosta, mająca równanie y=0,5x−2,5, przechodzi przez punkty: nawias minus jeden średnik minus trzy zamknięcie nawiasu i punkt nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu. Proste przecinają się w punkcie o współrzędnych nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu.

Podstawiamy teraz otrzymane wartości $x$ oraz $y$ do równań drugiego układu.

$m^{2} x - y = 10$ i $- 3 x - (2 n + 1) y = 5$

$m^{2} \cdot 3 - (- 1) = 10$ i $(- 3) \cdot 3 - (2 n + 1) \cdot (- 1) = 5$

$3 m^{2} = 9 | : 3$ i $(- 9) + 2 n + 1 = 5$

$m^{2} = 3$ i $2 n = 13 | : 2$

$m = - \sqrt{3} \lor m = \sqrt{3}$ i $n = 6, 5$

A zatem układy równań są równoważne dla $\{\begin{cases} m = - \sqrt{3} \\ n = 6, 5 \end{cases}$ lub dla $\{\begin{cases} m = \sqrt{3} \\ n = 6, 5 \end{cases}$ .

Słownik

układ równań

koniunkcja co najmniej dwóch równań

równoważne układy równań

układy równań, które mają ten sam zbiór rozwiązań

Wprowadzenie

Infografika

Słownik