Przeczytaj

Przypomnijmy twierdzenie o arytmetyce granic ciągówgranica ciągugranic ciągów.

Arytmetyka granic

Twierdzenie: Arytmetyka granic

Jeżeli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ są zbieżne oraz

lim_{n \to + \infty} a_{n} = a lim_{n \to + \infty} b_{n} = b,

lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b

lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b

lim_{n \to + \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b

lim_{n \to + \infty} (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}, b_{n} \neq 0, b \neq 0

Korzystając z powyższego twierdzenia pokażemy jak obliczać granice pewnych typów ciągów. Przyjrzyjmy się poniższym przykładom.

Przykład 1

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

lim_{n \to + \infty} \frac{3 n^{2} - n + 1}{2 n^{2} + 3 n - 1} .

Na początek wyłączamy najwyższą potęgę licznika i mianownika, czyli $n^{2}$ , przed nawias.

\frac{3 n^{2} - n + 1}{2 n^{2} + 3 n - 1} = \frac{n^{2} (3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}})} = \frac{3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}}}

Ponieważ

lim_{n \to + \infty} (3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}) = 3 - 0 + 0 = 3

lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}}) = 2 + 0 - 0 = 2

więc

lim_{n \to + \infty} \frac{3 n^{2} - n + 1}{2 n^{2} + 3 n - 1} = \frac{3}{2}

Zauważmy, że w powyższym przykładzie granicą ciągu jest iloraz współczynników stojących przy najwyższych potęgach $n$ licznika i mianownika. Okazuje się, że nie jest to przypadek. Zachodzi bowiem następująca własność.

Granica ilorazu wielomianów (1)

Własność: Granica ilorazu wielomianów (1)

Niech dany będzie ciąg o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{W_{k} (n)}{P_{k} (n)},

gdzie $W_{k} (n), P_{k} (n)$ są dwoma wielomianami stopnia $k$ , tzn.

W_{k} (n) = a_{k} n^{k} + a_{k - 1} n^{k - 1} + \dots + a_{2} n^{2} + a_{1} n + a_{0}

P_{k} (n) = b_{k} n^{k} + b_{k - 1} n^{k - 1} + \dots + b_{2} n^{2} + b_{1} n + b_{0}

Wówczas

lim_{n \to + \infty} \frac{W_{k} (n)}{P_{k} (n)} = \frac{a_{k}}{b_{k}} .

Dowód.

W celu obliczenia granicy danego ciągu wyłączamy w liczniku oraz w mianowniku najwyższą potęgę, czyli $n^k$ . Otrzymamy wówczas

$\frac{W_k(n)}{P_k(n)}=\frac{n^k\left( a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{a_0}{n^k}\right)}{n^k\left( b_k+\frac{b_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{b_0}{n^k}\right)}=\frac{ a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{a_0}{n^k}}{ b_k+\frac{b_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{b_0}{n^k}}$

Ponieważ

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{k-1}}{n}=\ldots =\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{0}}{n^k}=0$

oraz

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{b_{k-1}}{n}=\ldots =\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{b_{0}}{n^k}=0$

więc

lim_{n \to + \infty} \frac{W_{k} (n)}{P_{k} (n)} = \frac{a_{k}}{b_{k}} .

Co kończy dowód.

Przykład 2

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n - 3}{3 n + 1} - \frac{n^{3} - 2 n + 3}{5 n^{3} + n^{2} + n + 1} .

Korzystając z powyższej własności mamy, że

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n - 3}{3 n + 1} = \frac{2}{3},

lim_{n \to + \infty} \frac{n^{3} - 2 n + 3}{5 n^{3} + n^{2} + n + 1} = \frac{1}{5} .

Zatem

lim_{n \to + \infty} (\frac{2 n - 3}{3 n + 1} - \frac{n^{3} - 2 n + 3}{5 n^{3} + n^{2} + n + 1}) = \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{7}{15} .

Przykład 3

Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{4} + 3 n^{3} - 2 n^{2}}

W celu obliczenia jego granicy wyłączamy w mianowniku najwyższą potęgę $n$ przed nawias.

\frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{4} + 3 n^{3} - 2 n^{2}} = \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} (n^{2} + 3 n - 2)} = \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} + 3 n - 2}

Z wcześniejszej własności wiemy, że

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} + 3 n - 2} = 2 .

Wiemy również, że $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$ . Stąd

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{4} + 3 n^{3} - 2 n^{2}} = lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} + 3 n - 2}) = 0 \cdot 2 = 0 .

Zauważmy, że w powyższym przykładzie wyraz ogólny ciągu jest ułamkiem, który w mianowniku ma wielomian stopnia wyższego niż wielomian w liczniku. W takiej sytuacji granica ciągu jest zawsze równa zero. Można to zapisać w postaci własności.

Granica ilorazu wielomianów (2)

Własność: Granica ilorazu wielomianów (2)

Niech dany będzie ciąg o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{W_{k} (n)}{P_{l} (n)},

gdzie $W_{k} (n), P_{l} (n)$ są dwoma wielomianami stopni $k$ oraz $l$ . Jeśli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku, tzn. $k < l$ , to

lim_{n \to + \infty} \frac{W_{k} (n)}{P_{l} (n)} = 0 .

Przypomnijmy sobie, że $lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = 1$ o ile $lim_{n \to + \infty} a_{n} = a > 0 .$ Spójrzmy na kolejny przykład.

Przykład 4

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{5^{n + 1} - 3^{n} + 3 \cdot 2^{n}}

Na początek przekształcimy wyraz ogólny ciągu wyłączając przed nawias pod pierwiastkiem wyrażenie $5^{n}$

\sqrt[n]{5^{n + 1} - 3^{n} + 3 \cdot 2^{n}} = \sqrt[n]{5^{n} \cdot [5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}]} .

Następnie zapisujemy pierwiastek iloczynu w postaci iloczynu pierwiastków

\sqrt[n]{5^{n} \cdot [5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}]} = \sqrt[n]{5^{n}} \cdot \sqrt[n]{5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}} .

Ciągi $b_{n} = {(\frac{3}{5})}^{n}$ oraz $c_{n} = {(\frac{2}{5})}^{n}$ są ciągami geometrycznymi o ilorazie mniejszym od $1$ a zatem są zbieżne do zera. Stąd $lim_{n \to + \infty} (5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}) = 5$ a zatem

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}} = 1 .

Ponieważ $\sqrt[n]{5^{n}} = 5$ więc granica wyjściowego ciągu jest równa

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{5^{n + 1} - 3^{n} + 3 \cdot 2^{n}} = lim_{n \to + \infty} (\sqrt[n]{5^{n}} \cdot \sqrt[n]{5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}}) = 5 \cdot 1 = 5 .

Przykład 5

Zapoznaj się z poniższą infografiką, na której przedstawiono sposób na obliczenie granicy pewnego typu ciągu. Wyraz ogólny tego ciągu, to pierwiastek $n$ -tego stopnia z wielomianu.

RctRGuffLpGGj

Ilustracja interaktywna przedstawia kolejne etapy obliczania granicy. limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, pierwiastek stopnia n z n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, plus, dwa n indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, jeden koniec pierwiastka, równa się 1. Wyciągamy pod pierwiastkiem n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego przed nawias. równa się, limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, pierwiastek stopnia n z n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, nawias, jeden, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu koniec pierwiastka, równa się, 2. Zapisujemy iloczyn pod pierwiastkiem w postaci iloczynu pierwiastków. równa się, limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, nawias, pierwiastek stopnia n z n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec pierwiastka, razy, pierwiastek stopnia n z nawias, jeden, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, równa się, 3. Korzystamy z twierdzenia o iloczynie ciągów zbieżnych. równa się, limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, nawias, pierwiastek stopnia n z n koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, razy, limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, pierwiastek stopnia n z nawias, jeden, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, koniec pierwiastka, równa się, 4. Ponieważ limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, pierwiastek stopnia n z n koniec pierwiastka, równa się, jeden, więc limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, nawias, pierwiastek stopnia n z n koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, równa się, jeden., 5. Ponieważ limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, nawias, jeden, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, równa się, jeden, więc limes, n, strzałka w prawo, plus, nieskończoność, pierwiastek stopnia n z jeden, plus, początek ułamka, dwa, mianownik, n, koniec ułamka, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, n indeks górny, trzy, koniec indeksu górnego, koniec ułamka koniec pierwiastka, równa się, jeden. Ostatecznie mamy, że to dalej równa się, jeden, razy, jeden, równa się, jeden.

Słownik

granica ciągu

liczba rzeczywista $g$ taka, że dla dowolnej liczby dodatniej $ε$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi $| a_{n} - g | < ε$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik