Przeczytaj
Przypomnijmy twierdzenie o arytmetyce granic ciągówgranic ciągów.
Jeżeli ciągi i są zbieżne oraz
to
Korzystając z powyższego twierdzenia pokażemy jak obliczać granice pewnych typów ciągów. Przyjrzyjmy się poniższym przykładom.
Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym
Na początek wyłączamy najwyższą potęgę licznika i mianownika, czyli , przed nawias.
Ponieważ
więc
Zauważmy, że w powyższym przykładzie granicą ciągu jest iloraz współczynników stojących przy najwyższych potęgach licznika i mianownika. Okazuje się, że nie jest to przypadek. Zachodzi bowiem następująca własność.
Niech dany będzie ciąg o wyrazie ogólnym
gdzie są dwoma wielomianami stopnia , tzn.
Wówczas
Dowód.
W celu obliczenia granicy danego ciągu wyłączamy w liczniku oraz w mianowniku najwyższą potęgę, czyli . Otrzymamy wówczas
Ponieważ
oraz
więc
Co kończy dowód.
Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym
Korzystając z powyższej własności mamy, że
Zatem
Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym
W celu obliczenia jego granicy wyłączamy w mianowniku najwyższą potęgę przed nawias.
Z wcześniejszej własności wiemy, że
Wiemy również, że . Stąd
Zauważmy, że w powyższym przykładzie wyraz ogólny ciągu jest ułamkiem, który w mianowniku ma wielomian stopnia wyższego niż wielomian w liczniku. W takiej sytuacji granica ciągu jest zawsze równa zero. Można to zapisać w postaci własności.
Niech dany będzie ciąg o wyrazie ogólnym
gdzie są dwoma wielomianami stopni oraz . Jeśli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku, tzn. , to
Przypomnijmy sobie, że o ile Spójrzmy na kolejny przykład.
Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym
Na początek przekształcimy wyraz ogólny ciągu wyłączając przed nawias pod pierwiastkiem wyrażenie
Następnie zapisujemy pierwiastek iloczynu w postaci iloczynu pierwiastków
Ciągi oraz są ciągami geometrycznymi o ilorazie mniejszym od a zatem są zbieżne do zera. Stąd a zatem
Ponieważ więc granica wyjściowego ciągu jest równa
Zapoznaj się z poniższą infografiką, na której przedstawiono sposób na obliczenie granicy pewnego typu ciągu. Wyraz ogólny tego ciągu, to pierwiastek -tego stopnia z wielomianu.
Słownik
liczba rzeczywista taka, że dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba naturalna taka, że dla każdej liczby naturalnej zachodzi