Przeczytaj

Przypomnijmy twierdzenie o arytmetyce granic ciągówgranica ciągugranic ciągów.

Arytmetyka granic

Twierdzenie: Arytmetyka granic

Jeżeli ciągi $(a_{n})$ i $(b_{n})$ są zbieżne oraz

lim_{n \to + \infty} a_{n} = a lim_{n \to + \infty} b_{n} = b,

lim_{n \to + \infty} (a_{n} + b_{n}) = a + b

lim_{n \to + \infty} (a_{n} - b_{n}) = a - b

lim_{n \to + \infty} (a_{n} \cdot b_{n}) = a \cdot b

lim_{n \to + \infty} (\frac{a_{n}}{b_{n}}) = \frac{a}{b}, b_{n} \neq 0, b \neq 0

Korzystając z powyższego twierdzenia pokażemy jak obliczać granice pewnych typów ciągów. Przyjrzyjmy się poniższym przykładom.

Przykład 1

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

lim_{n \to + \infty} \frac{3 n^{2} - n + 1}{2 n^{2} + 3 n - 1} .

Na początek wyłączamy najwyższą potęgę licznika i mianownika, czyli $n^{2}$ , przed nawias.

\frac{3 n^{2} - n + 1}{2 n^{2} + 3 n - 1} = \frac{n^{2} (3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}})}{n^{2} (2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}})} = \frac{3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}}{2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}}}

Ponieważ

lim_{n \to + \infty} (3 - \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{2}}) = 3 - 0 + 0 = 3

lim_{n \to + \infty} (2 + \frac{3}{n} - \frac{1}{n^{2}}) = 2 + 0 - 0 = 2

więc

lim_{n \to + \infty} \frac{3 n^{2} - n + 1}{2 n^{2} + 3 n - 1} = \frac{3}{2}

Zauważmy, że w powyższym przykładzie granicą ciągu jest iloraz współczynników stojących przy najwyższych potęgach $n$ licznika i mianownika. Okazuje się, że nie jest to przypadek. Zachodzi bowiem następująca własność.

Granica ilorazu wielomianów (1)

Własność: Granica ilorazu wielomianów (1)

Niech dany będzie ciąg o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{W_{k} (n)}{P_{k} (n)},

gdzie $W_{k} (n), P_{k} (n)$ są dwoma wielomianami stopnia $k$ , tzn.

W_{k} (n) = a_{k} n^{k} + a_{k - 1} n^{k - 1} + \dots + a_{2} n^{2} + a_{1} n + a_{0}

P_{k} (n) = b_{k} n^{k} + b_{k - 1} n^{k - 1} + \dots + b_{2} n^{2} + b_{1} n + b_{0}

Wówczas

lim_{n \to + \infty} \frac{W_{k} (n)}{P_{k} (n)} = \frac{a_{k}}{b_{k}} .

Dowód.

W celu obliczenia granicy danego ciągu wyłączamy w liczniku oraz w mianowniku najwyższą potęgę, czyli $n^k$ . Otrzymamy wówczas

$\frac{W_k(n)}{P_k(n)}=\frac{n^k\left( a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{a_0}{n^k}\right)}{n^k\left( b_k+\frac{b_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{b_0}{n^k}\right)}=\frac{ a_k+\frac{a_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{a_0}{n^k}}{ b_k+\frac{b_{k-1}}{n}+\ldots +\frac{b_0}{n^k}}$

Ponieważ

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{k-1}}{n}=\ldots =\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{a_{0}}{n^k}=0$

oraz

$\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{b_{k-1}}{n}=\ldots =\lim\limits_{n\to +\infty}\frac{b_{0}}{n^k}=0$

więc

lim_{n \to + \infty} \frac{W_{k} (n)}{P_{k} (n)} = \frac{a_{k}}{b_{k}} .

Co kończy dowód.

Przykład 2

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n - 3}{3 n + 1} - \frac{n^{3} - 2 n + 3}{5 n^{3} + n^{2} + n + 1} .

Korzystając z powyższej własności mamy, że

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n - 3}{3 n + 1} = \frac{2}{3},

lim_{n \to + \infty} \frac{n^{3} - 2 n + 3}{5 n^{3} + n^{2} + n + 1} = \frac{1}{5} .

Zatem

lim_{n \to + \infty} (\frac{2 n - 3}{3 n + 1} - \frac{n^{3} - 2 n + 3}{5 n^{3} + n^{2} + n + 1}) = \frac{2}{3} - \frac{1}{5} = \frac{7}{15} .

Przykład 3

Rozważmy ciąg o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{4} + 3 n^{3} - 2 n^{2}}

W celu obliczenia jego granicy wyłączamy w mianowniku najwyższą potęgę $n$ przed nawias.

\frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{4} + 3 n^{3} - 2 n^{2}} = \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} (n^{2} + 3 n - 2)} = \frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} + 3 n - 2}

Z wcześniejszej własności wiemy, że

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} + 3 n - 2} = 2 .

Wiemy również, że $lim_{n \to + \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$ . Stąd

lim_{n \to + \infty} \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{4} + 3 n^{3} - 2 n^{2}} = lim_{n \to + \infty} (\frac{1}{n^{2}} \cdot \frac{2 n^{2} + n - 3}{n^{2} + 3 n - 2}) = 0 \cdot 2 = 0 .

Zauważmy, że w powyższym przykładzie wyraz ogólny ciągu jest ułamkiem, który w mianowniku ma wielomian stopnia wyższego niż wielomian w liczniku. W takiej sytuacji granica ciągu jest zawsze równa zero. Można to zapisać w postaci własności.

Granica ilorazu wielomianów (2)

Własność: Granica ilorazu wielomianów (2)

Niech dany będzie ciąg o wyrazie ogólnym

a_{n} = \frac{W_{k} (n)}{P_{l} (n)},

gdzie $W_{k} (n), P_{l} (n)$ są dwoma wielomianami stopni $k$ oraz $l$ . Jeśli stopień wielomianu w liczniku jest mniejszy od stopnia wielomianu w mianowniku, tzn. $k < l$ , to

lim_{n \to + \infty} \frac{W_{k} (n)}{P_{l} (n)} = 0 .

Przypomnijmy sobie, że $lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{a_{n}} = 1$ o ile $lim_{n \to + \infty} a_{n} = a > 0 .$ Spójrzmy na kolejny przykład.

Przykład 4

Obliczymy granicę ciągu o wyrazie ogólnym

a_{n} = \sqrt[n]{5^{n + 1} - 3^{n} + 3 \cdot 2^{n}}

Na początek przekształcimy wyraz ogólny ciągu wyłączając przed nawias pod pierwiastkiem wyrażenie $5^{n}$

\sqrt[n]{5^{n + 1} - 3^{n} + 3 \cdot 2^{n}} = \sqrt[n]{5^{n} \cdot [5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}]} .

Następnie zapisujemy pierwiastek iloczynu w postaci iloczynu pierwiastków

\sqrt[n]{5^{n} \cdot [5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}]} = \sqrt[n]{5^{n}} \cdot \sqrt[n]{5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}} .

Ciągi $b_{n} = {(\frac{3}{5})}^{n}$ oraz $c_{n} = {(\frac{2}{5})}^{n}$ są ciągami geometrycznymi o ilorazie mniejszym od $1$ a zatem są zbieżne do zera. Stąd $lim_{n \to + \infty} (5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}) = 5$ a zatem

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}} = 1 .

Ponieważ $\sqrt[n]{5^{n}} = 5$ więc granica wyjściowego ciągu jest równa

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{5^{n + 1} - 3^{n} + 3 \cdot 2^{n}} = lim_{n \to + \infty} (\sqrt[n]{5^{n}} \cdot \sqrt[n]{5 - {(\frac{3}{5})}^{n} + 3 \cdot {(\frac{2}{5})}^{n}}) = 5 \cdot 1 = 5 .

Przykład 5

Zapoznaj się z poniższą infografiką, na której przedstawiono sposób na obliczenie granicy pewnego typu ciągu. Wyraz ogólny tego ciągu, to pierwiastek $n$ -tego stopnia z wielomianu.

RctRGuffLpGGj

Ilustracja interaktywna przedstawia kolejne etapy obliczania granicy.

\lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n^{3} + 2 n^{2} - 1} =

1. Wyciągamy pod pierwiastkiem

n^{3}

przed nawias.

= \lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n^{3} (1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{3}})} =

, 2. Zapisujemy iloczyn pod pierwiastkiem w postaci iloczynu pierwiastków.

= \lim_{n \to + \infty} (\sqrt[n]{n^{3}} \cdot \sqrt[n]{(1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{3}})}) =

, 3. Korzystamy z twierdzenia o iloczynie ciągów zbieżnych.

= \lim_{n \to + \infty} {(\sqrt[n]{n})}^{3} \cdot \lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{(1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{3}})} =

, 4. Ponieważ

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{n} = 1

, więc

lim_{n \to + \infty} {(\sqrt[n]{n})}^{3} = 1

., 5. Ponieważ

lim_{n \to + \infty} (1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{3}}) = 1

, więc

lim_{n \to + \infty} \sqrt[n]{1 + \frac{2}{n} - \frac{1}{n^{3}}} = 1

. Ostatecznie mamy, że to dalej

= 1 \cdot 1 = 1

Słownik

granica ciągu

liczba rzeczywista $g$ taka, że dla dowolnej liczby dodatniej $ε$ istnieje liczba naturalna $N$ taka, że dla każdej liczby naturalnej $n > N$ zachodzi $| a_{n} - g | < ε$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik