Znajdźmy parę liczb $\left(x, y\right)$, dla których wyrażenie $3x+y$ przyjmuje wartość $5$.

Jeśli w miejsce $x$ wstawimy $1$, w miejsce $y$ wstawimy $2$, to wyrażenie $3x+y$ przyjmie wartość $5$.

Sprawdźmy:

$3x+y=3·1+2=5$.

Zastanów się, czy jest to jedyna para liczb, dla której spełniony jest powyższy warunek.

Sprawdzimy, jaką wartość przyjmie prawa, a jaką lewa strona równania

$3x+5y=x+y+2$

dla $x=-1$ i $y=1$.

Do prawej i lewej strony równania w miejsce niewiadomych $x$ i $y$ podstawimy odpowiednio liczby $-1$ oraz $1$.

Po podstawieniu liczb $-1$ oraz $1$ do wyrażenia znajdującego się po lewej stronie równania, otrzymujemy:

$L=3x+5y=3·\left(-1\right)+5·1=-3+5=2$

Po podstawieniu liczb $-1$ oraz $1$ do wyrażenia znajdującego się po prawej stronie równania, otrzymujemy:

$P=x+y+2=-1+1+2=2$

Lewa i prawa strona równania przyjmują dla $x$ równego $-1$ oraz $y$ równego $1$ taką samą wartość.

$L=P$

Zatem para liczb $\left(-\mathrm{1,} 1\right)$ spełnia to równanie.

Para liczb $\left(x, y\right)$ spełnia równanie $ax+by+c=0$ wtedy i tylko wtedy, gdy po podstawieniu tych liczb w miejsca niewiadomych, otrzymamy równość  prawdziwą.

Sprawdźmy, czy równanie

$3x+5y=x+y+2$

jest spełnione przez parę liczb $\left(\mathrm{3,} 2\right)$.

W tym celu do obu stron równania podstawimy liczbę $3$ w miejsce niewiadomej $x$ oraz liczbę $2$ w miejsce niewiadomej $y$.

Następnie sprawdzimy czy otrzymaliśmy równość prawdziwą czy fałszywą.

Po podstawieniu liczb $3$ oraz $2$ do wyrażenia znajdującego się po lewej stronie równania, otrzymujemy:

$L=3x+5y=3·3+5·2=9+10=19$

Po podstawieniu liczb $3$ oraz $2$ do wyrażenia znajdującego się po prawej stronie równania, otrzymujemy:

$P=x+y+2=3+2+2=7$

Dla $x=3$ i $y=2$ wyrażenia po lewej i prawej stronie równania przyjmują różne wartości, a zatem $L\ne P$.

Oznacza to, że para liczb $\left(\mathrm{3,} 2\right)$ nie spełnia tego równania.

Wiemy już, że para liczbpara liczb spełniająca równanie pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymipara liczb $\left(-\mathrm{1,} 1\right)$ spełnia równanie $3x+5y=x+y+2$.

Zastanówmy się, czy istnieje tylko jedna taka para liczb.

Sprawdźmy, czy pary liczb $\left(\mathrm{1,} 0\right)$ oraz $\left(5, -2\right)$ spełniają dane równanie.

Sprawdzamy parę $\left(\mathrm{1,} 0\right)$.

Do obu stron równania podstawimy liczbę $1$ w miejsce niewiadomej $x$ oraz liczbę $0$ w miejsce niewiadomej $y$.

$L=3x+5y=3·1+5·0=3$

$P=x+y+2=1+0+2=3$

Zatem $L=P$, a więc para liczb $\left(\mathrm{1,} 0\right)$ spełnia to równanie.

Sprawdzamy parę $\left(5, -2\right)$.

Do obu stron równania podstawimy liczbę $5$ w miejsce niewiadomej $x$ oraz liczbę $-2$ w miejsce niewiadomej $y$.

$L=3x+5y=3·5+5·\left(-2\right)=5$

$P=x+y+2=5+\left(-2\right)+2=5$

Zatem $L=P$, a więc para liczb $\left(5, -2\right)$ spełnia to równanie.

Każda z par liczb: $\left(-\mathrm{1,} 1\right)$, $\left(\mathrm{1,} 0\right)$ oraz $\left(5, -2\right)$ spełnia równanie $3x+5y=x+y+2$.

Każdą parę liczb, która spełnia równanie $ax+by+c=0$ nazywamy rozwiązaniem równania pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

para liczb, po podstawieniu której do równania w miejsce niewiadomych, otrzymamy równość prawdziwą

para liczb, która spełnia to równanie