Przeczytaj

Prezentacja pokazuje na przykładzie, jak podzielić wielomian $W (x)$ przez dwumian postaci $(x - a)$ za pomocą tzw. schematu Hornera.

RqG1meEs3zvOn

Na początku przedstawiony został przykład ilorazu dwóch wielomianów: $(5 x^{4} - 13 x^{2} + 2 x - 14) : (x - 2)$ pod przykładem tym jest napis: Wyznaczymy iloraz powyższych wielomianów, jeszcze niżej znajduje się tabela składająca się z dwóch wierszy i pięciu kolumn. Następnie pokazano sposób wykorzystania tabeli do wykonania obliczeń. Wpisujemy w tabelkę współczynniki przy kolejnych wyrazach dzielonego wielomianu, pamiętany również o wyrazach, przy których współczynnik wynosi zero. Przypomnijmy sobie nasz dzielony wielomian: $5 x^{4} - 13 x^{2} + 2 x - 14$ . Wszystkie współczynniki wielomianu zostały połączone strzałkami z odpowiednim miejscem w tabeli. Zatem w pierwszym wierszu, kolejno w każdej kolumnie znalazły się cyfry: 5, 0, minus 13, 2, minus czternaście. Kolejnym krokiem jest wpisanie współczynnik a z wielomianu postaci: $(x - a)$ ,przez który dzielimy. W naszym przykładzie wielomian, przez który dzielimy to: $(x - 2)$ . Na wysokości drugiego wiersza przed tabelą została zapisana cyfra dwa. Kolejno przepisujemy współczynnik przy najwyższej potędze do kolejnego wiersza, zatem w drugim wierszu w pierwszej kolumnie pojawiła się liczba pięć. Teraz przystępujemy do mnożenia. Mnożymy wpisany ostatnio współczynnik przez zapisaną przed tabelą liczbę i dodajemy do kolejnego współczynnika wielomianu. W drugim wierszu i drugiej kolumnie pojawiła się liczba 10, gdyż mnożymy dwójkę znajdującą się przed tabelą przez 5, które jest w pierwszej kolumnie drugiego wiersza i następnie dodajemy 0, które znajduje się w drugiej kolumnie pierwszego wiersza, zatem $2 5 + 0 = 10$ . Następnie powtarzamy algorytm do wypełnienia dolnego wiersza tabeli. został algorytm dla kolejnego elementu. W trzeciej kolumnie drugiego wiersza pojawiła się liczba 7, $2 10 - 13 = 7$ . Powtarzamy algorytm do wypełnienia dolnego wiersza tabeli. W czwartej kolumnie drugiego wiersza pojawiła się liczba 16, gdyż $2 \cdot 7 + 2 = 16$ . W piątej kolumnie drugiego wiersza jest liczba 18, gdyż $2 \cdot 16 - 14 = 18$ . Następnie w komórkach drugiego wiersza, poza ostatnią, otrzymaliśmy współczynniki wielomianu będącego ilorazem oraz w ostatniej komórce resztą z dzielenia tych wielomianów. Pod całkowicie uzupełnioną tabelą umieszczone zostało równanie: $5 x^{4} - 13 x^{2} + 2 x - 14 = (5 x^{3} + 10 x^{2} + 7 x + 16) (x - 2) + 18$ . Pamiętamy, że iloraz jest wielomianem stopnia o 1 mniejszego niż wyjściowy wielomian. Ostatecznie rozwiązanie działania: $(5 x^{4} - 13 x^{2} + 2 x - 14) : (x - 2)$ możemy przedstawić w następujący sposób: $5 x^{4} - 13 x^{2} + 2 x - 14 = (5 x^{3} + 10 x^{2} + 7 x + 16) (x - 2) + 18$

Wiemy już jak stosować schemat Hornera. Prześledźmy dowód tego algorytmu dla wielomianu czwartego stopnia.

Podzielimy wielomian

$W (x) = a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$

przez dwumian $(x - c)$ . Wiadomo, że wynikiem takiego dzielenia jest wielomian stopnia trzeciego

$Q (x) = b_{3} x^{3} + b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}$

oraz reszta $r$ . Mamy więc, że

$a_{4} x^{4} + a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = (b_{3} x^{3} + b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}) (x - c) + r =$

$= b_{3} x^{4} + b_{2} x^{3} + b_{1} x^{2} + b_{0} x - c b_{3} x^{3} - c b_{2} x^{2} - c b_{1} x - c b_{0} + r =$

$= b_{3} x^{4} + (b_{2} - c b_{3}) x^{3} + (b_{1} - c b_{2}) x^{2} + (b_{0} - c b_{1}) x + r - c b_{0}$ .

Z twierdzenia o równości wielomianów otrzymujemy układ pięciu równań z pięcioma niewiadomymi

$\{\begin{array}{l} a_{4} = b_{3} \\ a_{3} = b_{2} - c b_{3} \\ a_{2} = b_{1} - c b_{2} \\ a_{1} = b_{0} - c b_{1} \\ a_{0} = r - c b_{0} \end{array}$ .

Chcemy wyznaczyć współczynniki $b_{3}$ , $b_{2}$ , $b_{1}$ , $b_{0}$ oraz resztę $r$ . Dlatego przekształcamy powyższy układ

$\{\begin{array}{l} b_{3} = a_{4} \\ b_{2} = a_{3} + c b_{3} \\ b_{1} = a_{2} + c b_{2} \\ b_{0} = a_{1} + c b_{1} \\ r = a_{0} + c b_{0} \end{array}$ .

Tym samym od razu możemy wskazać wartość $b_{3}$ . Zauważmy, że w kolejnych wierszach pojawia się suma znanych nam współczynników $a_{n}$ i niewiadomej wyliczona w poprzednim wierszu pomnożonej przez $c$ . Na tej obserwacji bazuje algorytm działania w schemacie Hornera.

Przykład 1

Wykonajmy dzielenie wielomianudzielenie wielomianów z resztądzielenie wielomianu $3 x^{4} - 17 x^{3} + 5 x^{2} + 26 x - 5$ przez $(x - 5)$ za pomocą schematu Hornera.

R1Y6LnoCMcUAh

Grafika przedstawia przykład dzielenia wielomianu: nawias, trzy x indeks górny, cztery, minus, siedemnaście x indeks górny, trzy, plus, pięć x indeks górny, dwa, plus, dwadzieścia sześć x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu, podzielić na, nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu. Rozwiązanie znajduje się w tabeli składającej się z dwóch wierszy i pięciu kolumn. W pierwszym wierszu w kolejnych kolumnach znajdują się liczby, kolejno: 3, minus 17, 5, 26, minus pięć. Przed tabelą na wysokości drugiego wiersza zapisana została liczba pięć. W drugim wierszu, kolejno w każdej kolumnie znajdują się liczby: 3, minus 2, minus 5, 1 oraz 0. Przy czym liczba trzy zaznaczona została na kolor niebieski, liczba minus 2 na kolor różowy, liczba minus 5 na kolor zielony, a liczba 1 na kolor fioletowy. Pod tabelą znajduje się równanie będące rozwiązaniem zadania, ma ono postać: trzy x indeks górny, cztery, minus, siedemnaście x indeks górny, trzy, plus, pięć x indeks górny, dwa, plus, dwadzieścia sześć x, minus, pięć, równa się, nawias, trzy x indeks górny, trzy, minus, dwa x indeks górny, dwa, minus, pięć x, plus, jeden, zamknięcie nawiasu, nawias, x, minus, pięć, zamknięcie nawiasu. Przy czym trzy x indeks górny, trzy ma kolor niebieski, minus dwa x indeks górny, dwa ma kolor różowy, minus pięć x ma kolor zielony, a jeden ma kolor fioletowy.Ilustracja przedstawia żarówki ze święcącymi się cyframi.

Przykład 2

Wykonajmy dzielenie wielomianu $3 x^{4} - 5 x^{3} + 7 x^{2} - 9 x - 3$ przez $(x + \frac{1}{3})$ za pomocą schematu Hornera.

RmY1QUvU9GePE

Grafika przedstawia przykład dzielenia wielomianu: nawias, trzy x indeks górny, cztery, minus, pięć x indeks górny, trzy, plus, siedem x indeks górny, dwa, minus, dziewięć x, minus, trzy, zamknięcie nawiasu, podzielić na, nawias, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu. Rozwiązanie znajduje się w tabeli składającej się z dwóch wierszy i pięciu kolumn. W pierwszym wierszu w kolejnych kolumnach znajdują się liczby, kolejno: 3, minus 5, 7, minus 9, minus trzy. Przed tabelą na wysokości drugiego wiersza zapisana została liczba minus jedna trzecia. W drugim wierszu, kolejno w każdej kolumnie znajdują się liczby: 3, minus 6, 9, minus 12 oraz 1. Przy czym liczba trzy zaznaczona została na kolor niebieski, liczba minus 6 na kolor różowy, liczba 9 na kolor zielony, a liczba minus12 na kolor fioletowy. Pod tabelą znajduje się równanie będące rozwiązaniem zadania, ma ono postać: trzy x indeks górny, cztery, minus, pięć x indeks górny, trzy, plus, siedem x indeks górny, dwa, minus, dziewięć x, minus, cztery, równa się, nawias, trzy x indeks górny, trzy, minus, sześć x indeks górny, dwa, plus, dziewięć x, minus, dwanaście, zamknięcie nawiasu, nawias, x, plus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, zamknięcie nawiasu, plus, jeden. Przy czym trzy x indeks górny, trzy ma kolor niebieski, minus, sześć x indeks górny, dwa ma kolor różowy, dziewięć x ma kolor zielony, a minus, dwanaściema kolor fioletowy.

Przykład 3

Wiadomo, że wielomian $W (x) = x^{4} + 4 x^{3} - 7 x^{2} - 22 x + 24$ jest podzielnypodzielność wielomianówpodzielny przez dwumiany $(x + 3)$ oraz $(x - 2)$ . Zapiszmy wielomian $W (x)$ w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnychwielomian nierozkładalnywielomianów nierozkładalnych.

Użyjmy dwukrotnie schematu Hornera obliczając iloraz wielomianu $W (x)$ przez $(x + 3)$ , a następnie iloraz uzyskanego wyniku przez $(x - 2)$ .

R18At05JJPz2K

Grafika przedstawia tabelę składającą się z trzech wierszy i pięciu kolumn. W pierwszym wierszu kolejno w każdej kolumnie zapisane są liczb: 1, 4 minus 7, minus 22 i dwadzieścia cztery. Przed drugim wierszem znajduje się liczba minus 3, a w kolejnych kolumnach drugiego wiersza znajdują się następujące liczby: 1, 1, minus 10, 8 i zero. Przed trzecim wierszem znajduje się liczba 2, natomiast w kolejnych kolumnach trzeciego wiersza są liczby: 1, 3, minus 4, i 0, w ostatniej kolumnie trzeciego wiersza zapisany został myślnik. Liczby z ostatniego wiersza zostały zaznaczone kolorami w następujący sposób: 1 zaznaczono kolorem niebieskim, trzy kolorem różowym, minus cztery kolorem zielonym, zero kolorem fioletowym a myślnik ma kolor pomarańczowy. Pod tabelą jest równanie: x indeks górny, cztery, plus, cztery x indeks górny, trzy, minus, siedem x indeks górny, dwa, minus, dwadzieścia dwa x, plus, dwadzieścia cztery, równa się, nawias x indeks górny, dwa, plus, trzy x, minus, cztery zamknięcie nawiasu nawias x, plus, trzy zamknięcie nawiasu nawias x, minus, dwa zamknięcie nawiasu macierz, przy czym x indeks górny, dwa zaznaczono na kolor niebieski, trzy x na kolor różowy, a minus, cztery na kolor zielony.

Wielomian drugiego stopnia $x^{2} + 3 x - 4$ możemy sprowadzić do postaci iloczynowej posługując się wiadomościami z zakresu funkcji kwadratowej: $Δ = 25$ , $x_{1} = - 4$ , $x_{2} = 1$ , więc $x^{2} + 3 x - 4 = (x + 4) (x - 1)$ .

Zatem $W (x) = (x - 2) (x - 1) (x + 3) (x + 4)$ .

Przykład 4

Wielomian $W (x) = 6 x^{4} + 36 x^{3} + 55 x^{2} + 6 x + 9$ jest podzielny przez wielomian $P (x) = x^{2} + 6 x + 9$ . Zapiszmy wielomian $W (x)$ w postaci iloczynu wielomianów nierozkładalnych.

Zauważmy, że $P (x) = {(x + 3)}^{2}$ . Możemy więc zastosować dwukrotne dzielenie schematem Hornera przez dwumian $(x + 3)$ .

R1TvEwyJyIB7y

Grafika przedstawia przykład dzielenia wielomianu. Rozwiązanie znajduje się w tabeli składającej się z trzech wierszy i pięciu kolumn. W pierwszym wierszu w kolejnych kolumnach znajdują się liczby, kolejno: 6, 36, 55, 6, dziewięć. Przed tabelą na wysokości drugiego wiersza zapisana została liczba minus 3. W drugim wierszu, kolejno w każdej kolumnie znajdują się liczby: 6, 18, 1, 3 oraz 0. Przed tabelą na wysokości trzeciego wiersza również zapisana została liczba minus 3. W trzecim wierszu, kolejno w każdej kolumnie znajdują się liczby: 6, 0, 1, 0 oraz pauza. Pod tabelą znajduje się równanie będące rozwiązaniem zadania, ma ono postać: 6x4+36x3+55x2+6x+9=x+326x2+1.

Uzyskany wielomian jest nierozkładalny.

Zatem $W (x) = {(x + 3)}^{2} (6 x^{2} + 1)$ .

Słownik

dzielenie wielomianów z resztą

dla każdego wielomianu $W (x)$ i niezerowego wielomianu $P (x)$ istnieją wielomiany $Q (x)$ i $R (x)$ takie, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x) + R (x)$ , przy czym wielomian $R (x)$ nazywany resztą z dzielenia jest stopnia mniejszego niż stopień wielomianu $P (x)$ lub jest wielomianem zerowym

podzielność wielomianów

wielomian $W (x)$ jest podzielny przez niezerowy wielomian $P (x)$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje wielomian $Q (x)$ taki, że $W (x) = P (x) \cdot Q (x)$

wielomian nierozkładalny

wielomian stopnia dodatniego, którego nie można przedstawić w postaci iloczynu co najmniej dwóch wielomianów stopnia dodatniego

Wprowadzenie

Animacja

Słownik