Poniżej przedstawiamy różne siatki tego samego graniastosłupa prostego trójkątnego, w którego podstawie znajduje się trójkąt prostokątny o bokach $3$, $4$, $5$, a wysokość graniastosłupa wynosi $3$.

Rh2HLPOOBYzrg

Ilustracja przedstawia siatkę graniastosłupa prostego trójkątnego. Zbudowana jest z kwadratu, dwóch prostokątów. Do pierwszego z nich dołożone są dwa takie same trójkąty.

RkYpY5oEupWtq

Ilustracja przedstawia siatkę graniastosłupa prostego trójkątnego. Zbudowana jest z kwadratu, dwóch prostokątów. Do kwadratu dołożono trójkąt prostokątny. A do drugiego prostokąta do dłuższej krawędzi dołożono trójkąt.

RVZ5yK0KSWYo1

Ilustracja przedstawia siatkę graniastosłupa prostego trójkątnego. Zbudowana jest z kwadratu, dwóch trójkątów przystających do kwadratu. Do jednej przeciwprostokątnej trójkąta dołożono prostokąt. A do przyprostokątnej tego samego trójkąta dołożono drugi prostokąt.

Ilustracja 1 przedstawia siatkę graniastosłupa prostego trójkątnego. Zbudowana jest z kwadratu, dwóch prostokątów. Do jednego z prostokątów dołożone są dwa przystające trójkąty prostokątne.

Ilustracja 2 przedstawia siatkę graniastosłupa prostego trójkątnego. Zbudowana jest z kwadratu oraz dwóch różnych prostokątów. Do kwadratu oraz większego prostokąta dołożono przystające trójkąty prostokątne.

Ilustracja 3 przedstawia siatkę graniastosłupa prostego trójkątnego. Zbudowana jest z kwadratu, dwóch trójkątów przystających dołożonych do kwadratu oraz dwóch prostokątów różnej wielkości. Do przeciwprostokątnej trójkąta dołożono jeden prostokąt, a do jednej z przyprostokątnych tego samego trójkąta dołożono drugi mniejszy prostokąt.

Poniżej dana jest siatka rombościanu (jedna kratka to jedna jednostka).

R1qSwkmkGPqNg

Ilustracja przedstawia siatkę graniastosłupa zbudowanego z sześciu rombów.

Obliczymy jego pole powierzchni.

Rozwiązanie

Zauważmy, że z pierwszego rombu od lewej możemy odczytać długości przekątnych ścian tego rombościanurombościanrombościanu. Mają one długość $6$ i $8$.

Czyli pole powierzchni wynosi $P_c=6·\frac{6·8}{2}=144$.

W graniastosłupie, którego siatkę przedstawiamy poniżej, tangens jednego z kątów pomiędzy sąsiednimi ścianami bocznymi wynosi $\frac{1}{2}$. Obliczymy objętość tego graniastosłupa.

R5qJU9bI781zP

Ilustracja przedstawia siatkę graniastosłupa trójkątnego. Siatka zbudowana jest z dwóch przystających trójkątów prostokątnych o przyprostokątnych długości a i b i przeciwprostokątnej długości 10, dwóch przystających prostokątów o wymiarach a na a plus b oraz prostokąta o wymiarach b na a plus b. Do jednego z trójkątów dołożone są do każdego boku prostokąty, do jednego z prostokątów dołożony jest drugi trójkąt.

Rozwiązanie:

Jest to graniastosłup prosty, więc kąty liniowe kątów pomiędzy ścianami bocznymi są kątami w podstawie graniastosłupa.

Trójkąt w podstawie jest prostokątny, mamy więc $\frac{b}{a}=\frac{1}{2}$. A zatem $a=2b$.

Korzystając z twierdzenia Pitagorasa dla trójkąta w podstawie graniastosłupa mamy: ${\left(2b\right)}^2+b^2={10}^2$.

A stąd $b=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$. Czyli przyprostokątne trójkąta w podstawie mają długość $2\sqrt{5}$ i $4\sqrt{5}$, a wysokość $6\sqrt{5}$.

Obliczmy zatem objętość tego graniastosłupa: $V=\frac{2\sqrt{5}·4\sqrt{5}}{2}·6\sqrt{5}=120\sqrt{5}$.

Dana jest siatka graniastosłupa czworokątnego (jedna kratka to jedna jednostka).

RnoDx47YvxYnp

Ilustracja przedstawia siatkę graniastosłupa czworokątnego składającego się z dwóch prostokątów o wymiarach 1 na trzy oraz dwa na trzy. Prostokąty są ze sobą połączone dłuższym bokiem. Siatka składa się również z dwóch kwadratów połączonych ze sobą o wymiarach trzy na trzy. Górna i dolna cześć siatki to dwa trapezy prostokątne. Górna postawa trapezu ma długość 1, dolna podstawa ma długość 3 i jest dołożona do boku kwadratu. Wysokość tego trapezu ma długość dwa. Na siatce zaznaczono punkty A oraz B. Punkt A leży na wspólnym wierzchołku kwadratu i trapezu, punkt B leży na górnej podstawie drugiego trapezu. Odległość punktu A od punktu B to pięć kratek w dół i jedna w prawo.

Obliczymy długość przekątnej $AB$ tego graniastosłupa.

Rozwiązanie:

Odcinek $AB$ jest krótszą przekątną tego graniastosłupa.

Wysokość graniastosłupa wynosi $3$. Korzystając z twierdzenia Pitagorasa otrzymujemy, że długość krótszej przekątnej podstawy wynosi $\sqrt{5}$.

Narysujemy model trójwymiarowy tego graniastosłupa:

R4Ay6ZrGbB624

Ilustracja przedstawia graniastosłup czworokątny o podstawie trapezu. Przekątna podstawy z punktu A wynosi pierwiastek z pięciu. Krawędź boczna graniastosłupa opuszczona z wierzchołka B ma długość trzy. Połączono ze sobą punkty A i B tworząc przekątna graniastosłupa AB.

Obliczamy długość odcinka $AB$ z twierdzenia Pitagorasa: $3^2+{\left(\sqrt{5}\right)}^2={\left|AB\right|}^2$. A zatem $\left|AB\right|=\sqrt{14}$.

Mamy daną siatkę graniastosłupa prostego jak na rysunku (jedna kratka to jedna jednostka).

R1ZdIM3Rrkstj

Ilustracja przedstawia siatkę graniastosłupa zbudowaną z czterech prostokątów oraz dwóch równoległoboków. Do prostokąta o wymiarach dwa na cztery dołożono dwa równoległoboki. Jeden bok równoległoboku ma długość cztery i jest dołożony do prostokąta a drugi ma długość przekątnej trzech kratek położonych w jednej linii. Do opisanego prostokąta do boku o długości dwa dołożono drugi prostokąt o bokach długości dwa i drugi bok ma długość taką samą jak drugi bok równoległoboku. Do tego prostokąta dołożono następny prostokąt, który ma wymiary jak poprzedni, a do następnego dołożono taki sam prostokąt jak ten.

Obliczymy miarę kąta nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że krótsza przekątna podstawy ma długość $3\sqrt{2}$ (wynika to z twierdzenia Pitagorasa). Wysokość graniastosłupa wynosi $2$. Narysujmy model trójwymiarowy tego graniastosłupa:

Ryi6Uk4HwQFmo

Ilustracja przedstawia graniastosłup o podstawie równoległoboku. Zaznaczono przekątną podstawy wynoszącą trzy pierwiastki z dwóch oraz krawędź boczną graniastosłupa wynoszącą dwa. Kąt pomiędzy przekątną graniastosłupa a przekątną podstawy wynosi alfa.

Zaznaczony kąt $\alpha$ jest kątem nachylenia krótszej przekątnej graniastosłupa do płaszczyzny podstawy. Mamy więc $\mathrm{tg}\alpha =\frac{2}{3\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{3}\approx 0,4714$. A stąd $\alpha \approx 25°$.

Wyznaczymy wzór na objętość rombościanu o krawędzi długości $a$ i kącie ostrym ściany o mierze $\alpha$.

Rozwiązanie

Przyjmujemy oznaczenia jak na rysunku

RBpoiFJovOBxl

Przedstawione są dwie ilustracje. Pierwsza z nich to rombościan o krawędzi długości a. Lewy dolny wierzchołek oznaczono literą A a nad nim wierzchołek oznaczono literą B. Z wierzchołka B opuszczono wysokość graniastosłupa wielkie H, spodek wysokości leży na dłuższej przekątnej podstawy i oznaczono go literą C. Z wierzchołka B opuszczono także wysokość ściany bocznej małe h. Spodek tej wysokości zawiera się w krawędzi podstawy i oznaczono go literą D. Odcinek AC oznaczono literą y, odcinek AD oznaczono literą x. Na drugiej ilustracji przedstawiono ścianę boczną tego graniastosłupa. Kąt BAD oznaczono alfa. Przekątna ściany wychodząca z wierzchołka A przechodzi przez punkt C i dzieli kąt alfa na dwie części.

Zauważmy, że $\left|\sphericalangle CAD\right|=\frac{\alpha }{2}$, zatem:

W trójkącie $ADB$: $x=a\cos \alpha$.

W trójkącie $ADC$: $y=\frac{x}{\cos \frac{\alpha }{2}}$.

W trójkącie $ACB$: $H^2+y^2=a^2$.

Zatem:

$H^2=a^2-{\left(\frac{x}{\cos \frac{\alpha }{2}}\right)}^2$

$H=\sqrt{a^2-{\left(\frac{x}{\cos \frac{\alpha }{2}}\right)}^2}$

$H=\sqrt{a^2-{\left(\frac{a\cos \alpha }{\cos \frac{\alpha }{2}}\right)}^2}$

$H=\frac{a}{\cos \frac{\alpha }{2}}\sqrt{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\cos }^2\alpha }$

$V=P_p·H$

$V=a^2\sin \alpha ·\frac{a}{\cos \frac{\alpha }{2}}\sqrt{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\cos }^2\alpha }$.

Korzystamy ze wzoru na sinus podwojonego kąta: $\sin \alpha =2·\sin \frac{\alpha }{2}·\cos \frac{\alpha }{2}$ i mamy:

$V=2a^3\sin \frac{\alpha }{2}·\sqrt{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\cos }^2\alpha }$.

Wzór ten możemy przekształcić, korzystając ze wzoru na różnicę kwadratów dwóch dowolnych wyrażeń oraz na sumę i różnicę cosinusów dwóch kątów:

${\cos }^2\frac{\alpha }{2}-{\cos }^2\alpha =\left(\cos \frac{\alpha }{2}-\cos \alpha \right)\left(\cos \frac{\alpha }{2}+\cos \alpha \right)=$

$=2\sin \frac{\frac{3\alpha }{2}}{2}\sin \frac{\frac{\alpha }{2}}{2}·2\cos \frac{\frac{3\alpha }{2}}{2}\cos \frac{\frac{\alpha }{2}}{2}=$

$=2\sin \frac{3\alpha }{4}\sin \frac{\alpha }{4}·2\cos \frac{3\alpha }{4}\cos \frac{\alpha }{4}=2\sin \frac{3\alpha }{4}\cos \frac{3\alpha }{4}·2\sin \frac{\alpha }{4}\cos \frac{\alpha }{4}=$

$=\sin \frac{3\alpha }{2}\sin \frac{\alpha }{2}$

co daje ostatecznie:

$V=2a^3\sin \frac{\alpha }{2}·\sqrt{\sin \frac{3\alpha }{2}·\sin \frac{\alpha }{2}}$

przedstawienie wszystkich ścian graniastosłupa na płaszczyźnie w taki sposób, aby można było wyciąć z nich wielokąt, z którego po zgięciu wzdłuż krawędzi ścian powstanie ten graniastosłup

graniastosłup, którego wszystkie ściany są przystającymi rombami