Wielomiany $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami równymi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in \mathrm{ℝ}$ spełniony jest warunek:

Równość wielomianów $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ można równoważnie sformułować następująco:

• Wielomiany $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są tego samego stopnia.

• Wielomiany $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ mają po uporządkowaniu równe współczynniki przy odpowiednich potęgach niewiadomej $x$.

Dane są wielomianywielomianwielomiany $W\left(x\right)=2x^3+a{x}^2+bx+30$ oraz $Q\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(x+3\right)\left(cx+d\right)$. Dla jakich wartości parametrów $a$, $b$, $c$ i $d$ są to wielomiany równe?

• Przedstawmy wielomian $Q\left(x\right)$ w postaci sumy:

• $Q\left(x\right)=\left(x^2+x-6\right)\left(cx+d\right)=$
  $=c{x}^3+c{x}^2-6cx+d{x}^2+dx-6d=$
  $=c{x}^3+\left(c+d\right)x^2+\left(d-6c\right)x-6d$

• Z porównania współczynników przy $x^3$ wiemy, że $c=2$.

• Z porównania wyrazów wolnychwyraz wolny wielomianuwyrazów wolnych wiemy, że $-6d=30$, więc $d=-5$.

• Z porównania współczynników przy $x^2$ mamy $a=c+d=-3$.

• Z porównania współczynników przy $x$ uzyskujemy $b=d-6c=-17$.

Dla jakich wartości parametru $m$ wielomiany $F\left(x\right)=\left(2m^2-2m-12\right)x^5-m{x}^3+\left(3m^2+15m+18\right)x$ 
i $G\left(x\right)=\left(3m^2-3m-18\right)x^5-m{x}^3+\left(4m^2+9m+2\right)x$ 
są wielomianami równymi? Jakiego stopnia wielomian wtedy uzyskamy?

• Porównajmy współczynniki przy $x^5$:

• $2m^2-2m-12=3m^2-3m-18$.

• Po uproszczeniu uzyskujemy równanie kwadratowe $-m^2+m+6=0$, które ma dwa rozwiązania: $m=-2 \vee m=3$ – tylko dla tych dwóch wartości $m$ współczynniki przy $x^5$ będą równe.

• Współczynniki przy $x^3$ w obu wielomianach są jednakowe.

• Pozostało jeszcze przeanalizowanie współczynników przy $x$. Można je porównać (podobnie jak współczynniki przy $x^5$) albo po prostu podstawić $m=-2 \vee m=3$ – co może być szybsze.

• Dla $m=-2$ mamy $3m^2+15m+18=0$ i $4m^2+9m+2=0$ – czyli wielomiany będą równe.

• Dla $m=3$ mamy $3m^2+15m+18=90$ oraz $4m^2+9m+2=65$, czyli wielomiany nie są równe.

• Podsumowując: $F\left(x\right)$ i $G\left(x\right)$ są wielomianami równymi dla $m=-2$.

• Wtedy współczynnik przy $x^5$ wynosi $0$ i $F\left(x\right)=G\left(x\right)=2x^3$ jest wielomianem trzeciego stopnia.

wielomiany $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są wielomianami równymi wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego $x\in \mathrm{ℝ}$ spełniony jest warunek:

równość wielomianów $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ można równoważnie sformułować następująco:

• wielomiany $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ są tego samego stopnia;

• wielomiany $W\left(x\right)$ i $P\left(x\right)$ mają po uporządkowaniu równe współczynniki przy odpowiednich potęgach niewiadomej $x$

wyrażenie, które jest sumą jednomianów (lub jednomianem);
wielomian można zapisać w postaci

składnik wielomianu, w którym nie występuje niewiadoma