Dany jest wielomian $W\left(x\right)=3x^5-2x^4-7x^3+5x+4$. Obliczymy iloczyn wielomianu $W\left(x\right)$ przez liczbę $\left(-\frac{2}{3}\right)$.

Rozwiązanie

$W\left(x\right)·\left(-\frac{2}{3}\right)=-\frac{2}{3}W\left(x\right)=$

$=-\frac{2}{3}\left(3x^5-2x^4-7x^3+5x+4\right)=$

$=-\frac{2}{3}·3x^5+\frac{2}{3}·2x^4+\frac{2}{3}·7x^3-\frac{2}{3}·5x-\frac{2}{3}·4=$

$=-2x^5+\frac{4}{3}{x}^4+\frac{14}{3}{x}^3-\frac{10}{3}x-\frac{8}{3}$

• Iloczyn wielomianu stopniastopień wielomianu jednej zmiennejstopnia $n$ i jednomianujednomian zmiennej $x$jednomianu stopnia $k$ jest wielomianem stopnia $n+k$.

• Iloczyn wielomianu stopnia $n$ i wielomianu zerowegowielomian zerowywielomianu zerowego jest wielomianem zerowym.

Dany jest wielomian $4$ stopnia $W\left(x\right)=-7x^4+11x^3-4x^2-9x+12$. 
Jaki wielomian uzyskamy obliczając iloczyn wielomianu $W\left(x\right)$ i jednomianu $5x^{11}$?

Rozwiązanie

$W\left(x\right)·5x^{11}=5x^{11}\left(-7x^4+11x^3-4x^2-9x+12\right)=$

$=-35x^{15}+55x^{14}-20x^{13}-45x^{12}+60x^{11}$,   

czyli uzyskamy wielomian stopnia $15$.

Dane są wielomiany $W\left(x\right)=2x^5-5x^4-11x^3+4x^2-2x-13$ oraz $P\left(x\right)=-7x^9+12x^5+5x^2$.

Wyznaczymy wielomianwielomianwielomian $F\left(x\right)=12x^6·W\left(x\right)-5x^2·P\left(x\right)$.

Rozwiązanie

Dane są wielomiany $P\left(x\right)=5x^3-7x^2+4x+9$ oraz $Q\left(x\right)=12x^4-3x^3-9x^2-5$. Niech $W\left(x\right)=a·P\left(x\right)+b·Q\left(x\right)$.

a) Wyznaczymy wzór wielomianu $W\left(x\right)$ w postaci uporządkowanej.

b) Dobierzemy wartości parametrów $a$ i $b$ tak, by $W\left(2\right)=-11$ i $W\left(-1\right)=-29$.

Rozwiązanie

a) $W\left(x\right)=a\left(5x^3-7x^2+4x+9\right)+b\left(12x^4-3x^3-9x^2-5\right)=$

$=5a{x}^3-7a{x}^2+4ax+9a+12b{x}^4-3b{x}^3-9b{x}^2-5b=$

$=12b{x}^4+\left(5a-3b\right)x^3+\left(-7a-9b\right)x^2+4ax+\left(9a-5b\right)$

b) $W\left(2\right)=a·P\left(2\right)+b·Q\left(2\right)$

$P\left(2\right)=5·8-7·4+4·2+9=40-28+8+9=29$

$Q\left(2\right)=12·16-3·8-9·4-5=192-24-36-5=127$

Zatem $29a+127b=-11$.

$W\left(-1\right)=a·P\left(-1\right)+b·Q\left(-1\right)$

$P\left(-1\right)=-5-7-4+9=-7$

$Q\left(-1\right)=12+3-9-5=1$

Więc $-7a+b=-29$.

Pozostaje rozwiązać układ równań

$\left\{\begin{array}{l}29a+127b=-11\\ -7a+b=-29\end{array}\right.$.

Warunki zadania są spełnione dla

$\left\{\begin{array}{l}a=4\\ b=-1\end{array}\right.$.

iloczyn stałej (liczby) i zmiennej $x$ podniesionej do potęgi o wykładniku naturalnym

dla wielomianu $W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\dots +a_{1}x+a_0$ (przy założeniu, że $a_n\ne 0$) to liczba $n$ odpowiadająca najwyższemu wykładnikowi potęgi wielomianu; jeśli wielomian jest stałą niezerową, to jego stopień wynosi $0$; wielomian zerowy nie ma określonego stopnia. Symbol stopnia wielomianu $W\left(x\right)$: $\text{st}\left(W\left(x\right)\right)$ lub $\text{deg}\left(W\left(x\right)\right)$

wyrażenie, które jest sumą jednomianów; wielomian można zapisać w postaci

$W\left(x\right)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+a_{n-2}{x}^{n-2}+\dots +a_2{x}^2+a_{1}x+a_0$

wielomian określony wzorem $W\left(x\right)=0$ (czyli funkcja stała przyjmująca wartość $0$ dla każdej liczby rzeczywistej); wielomian ten nie ma określonego stopnia