Przeczytaj
Poznamy teraz bardzo ważny wzór, który pozwoli na zmianę podstawy logarytmu.
Jeżeli , , , i , to .
Wzór na zmianę podstawy logarytmuWzór na zmianę podstawy logarytmu (zwany też wzorem na zamianę podstawy logarytmu) znacznie ułatwia obliczenia wartości wyrażeń zawierających logarytmy.
Obliczymy .
Zarówno , jak i to wielokrotności liczby . Nasuwa się więc wniosek, że warto zapisać za pomocą logarytmów o podstawie .
Znajdziemy liczbę spełniającą warunek .
Sprowadzimy wszystkie logarytmy do tej samej podstawy. Mamy podobną sytuację jak w Przykładzie 1 – podstawy logarytmów są potęgami liczby . Zatem zmieniamy podstawy logarytmów tak, aby w każdym logarytmie podstawa była równa .
Obliczamy wartości logarytmów.
Korzystamy z definicji logarytmu.
Liczba jest dodatnia, zatem spełnia warunki zadania.
Odpowiedź: szukana liczba jest równa .
Pokażemy teraz przykład zadania, w którym z treści wynika bezpośrednio do jakiej podstawy należy sprowadzić dany logarytm.
Wyznaczymy wiedząc, że .
Dążymy do tego, aby zapisać dany logarytm za pomocą pewnej liczby wymiernej i . Najwygodniej będzie więc zmienić podstawę logarytmu od razu na podstawę .
W liczniku otrzymanego ułamka zastosujemy wzór na logarytm iloczynu.
Podstawiamy .
Wykażemy, że wartość wyrażenia jest liczbą naturalną.
W rozpatrywanym wyrażeniu każdy z logarytmów ma inną podstawę. Co więcej podstawy są liczbami parzystymi, jak również nieparzystymi. Dla podstaw nieparzystych trudno jest ustalić wspólną podstawę. Za to dla podstaw parzystych dogodną podstawą jest zwykle . Zatem zmieniamy podstawy logarytmów na .
Po skróceniu otrzymujemy , .
Co należało wykazać.
W następnych przykładach, przekształcając wyrażenia skorzystamy nie tylko ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu, ale również z innych wzorów, ułatwiających obliczenia.
Znajdziemy liczbę spełniającą warunek .
Z definicji logarytmu wynika, że poszukiwana liczba musi być dodatnia. Zapisujemy każdy z logarytmów za pomocą logarytmów o podstawie .
Obliczamy wartości logarytmów zapisanych w mianownikach.
Mnożymy obie strony równości przez .
Przenosimy na prawą stronę i wyłączamy przed nawias wspólny czynnik.
Korzystamy ze wzoru na logarytm iloczynu, a następnie ze wzoru na logarytm potęgi.
Z różnowartościowości funkcji logarytmicznej wynika, że .
Liczba jest dodatnia, zatem spełnia warunki zadania.
Odpowiedź: liczbą spełniającą warunek określony w treści zadania jest .
Znajdziemy liczbę spełniającą warunek .
Tym razem będziemy poszukiwać liczby znajdującej się w podstawie logarytmu, zatem dodatniej i różnej od .
Oczywistym jest, że drugi z logarytmów zapiszemy za pomocą logarytmów o podstawie .
Mnożymy obie strony równości przez i wykonujemy wskazane działania.
Z definicji logarytmu wynika, że
, bo .
Znaleziona liczba jest dodatnia i różna od , spełnia więc warunki zadania.
W ostatnim przykładzie pokażemy, jak korzystając z tablic logarytmicznych znaleźć przybliżoną wartość logarytmu o innej podstawie niż . Obecnie ta umiejętność nie jest już tak przydatna jak kiedyś, gdyż dysponujemy innymi narzędziami niż tablice logarytmiczne, ale warto ją poznać.
Obliczymy przybliżoną wartość liczby .
Zapisujemy dany logarytm za pomocą logarytmów o podstawie .
Z tablic logarytmicznych odczytujemy: i .
Zatem .
Słownik
, , , i , to