Do szklanki w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $4\mathrm{cm}$ i wysokości $15\mathrm{cm}$ wlano $200 \mathrm{ml}$ wody. Obliczymy, do jakiej wysokości (w przybliżeniu do $0,1 \mathrm{cm}$) sięgnie woda.

Rozwiązanie

Objętość wody wynosi $200 \mathrm{ml}=200 {\mathrm{cm}}^3$. Mamy więc $6·\frac{16\sqrt{3}}{4}H=200$, a stąd $H=\frac{200}{24\sqrt{3}}=\frac{25\sqrt{3}}{3}\approx 14,4 \left(\mathrm{cm}\right)$.

W foremce do ciastek o wysokości $4 \mathrm{cm}$ zmieści się około $166 {\mathrm{cm}}^3$. Sprawdzimy, czy z kawałka ciasta w kształcie koła o średnicy $9 \mathrm{cm}$ można wyciąć ciastko korzystając z tej foremki?

R13abIUc7uOmb

Grafika przedstawia ściany boczne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Wysokość tych ścian jest równa 4. Pomiędzy krawędzią boczną graniastosłupa a jego krawędzią podstawy jest zaznaczony kąt prosty.

Rozwiązanie

Promień kawałka ciasta musi być co najmniej równy promieniowi okręgu opisanego na podstawie foremki. Oznaczmy przez a krawędź podstawy foremki.
Wówczas $166=6·\frac{a^2\sqrt{3}}{4}·4$, a stąd $a^2=\frac{166}{6\sqrt{3}}\approx 16$.
Czyli $a\approx 4$ (przy czym jest to przybliżenie z nadmiarem).

Ponieważ promień okręgu opisanego na sześciokącie foremny ma długość taką, jak jego bok, to promień kawałka ciasta musi spełniać nierówność $r\ge 4$, a średnica musi być równa co najmniej $8$. Czyli z kawałka o średnicy $9 \mathrm{cm}$ możemy wyciąć ciastko za pomocą tej foremki.

Stolarz wykonuje komplet półek ściennych (wraz z tylną ścianą) w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędziach $29 \mathrm{cm}$, $30 \mathrm{cm}$, $35 \mathrm{cm}$ i wysokości $10 \mathrm{cm}$. Obliczymy, jaką powierzchnię ma deska (wynik przybliż do $0,01 {\mathrm{m}}^2$) zużyta na budowę takiego kompletu.

RKoNaM7Yh5Kbo

Grafika przedstawia trzy półki ścienne w kształcie graniastosłupów. Półki składają się ze ścian bocznych oraz jednej podstawy. Wysokość ściany bocznej wynosi 10 cm. Długość krawędzi podstawy pierwszej półki jest równa 29 cm. Długość krawędzi podstawy drugiej półki jest równa 30 cm. Długość krawędzi podstawy trzeciej półki jest równa 35 cm. Pomiędzy krawędzią boczną graniastosłupa a jego krawędzią podstawy jest zaznaczony kąt prosty.

Rozwiązanie

Obliczmy sumę pól powierzchni bocznych tych półek: $P=6·29·10+6·30·10+6·35·10=5640 \left({\mathrm{cm}}^2\right)=0,564 \left({\mathrm{m}}^2\right)$.

Obliczamy sumę pól podstaw:
$P_{\text{podstaw }}=6·\left(\frac{{29}^2\sqrt{3}}{4}+\frac{{30}^2\sqrt{3}}{4}+\frac{{35}^2\sqrt{3}}{4}\right)\approx 7705,9 \left({\mathrm{cm}}^2\right)=0,77059 \left({\mathrm{m}}^2\right)$.

A zatem łącznie zużyjemy:
$P_{\text{półek }}\approx 0,564+0,77059=1,33459\approx 1,33 \left({\mathrm{m}}^2\right)$.

Obliczymy, jaką powierzchnię (w przybliżeniu do $0,1 {\mathrm{m}}^2$) ma szkło potrzebne na zbudowanie $100$ zamykanych szkatułek na obrączki w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego o krawędzi podstawy $10\mathrm{cm}$ i wysokości $6\mathrm{cm}$.

R1BSVGjFDBrli

Grafika przedstawia szklaną szkatułkę w formie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. Dno i wieko szkatułki są podstawami graniastosłupa, a boki jego ścianami bocznymi. Wysokość graniastosłupa ma 6 cm. Długosć krawędzi podstawy ma 10 cm.

Rozwiązanie

Obliczmy pole powierzchni takiego graniastosłupa: $P_c=3·100\sqrt{3}+6·10·6\approx 879,62 \left({\mathrm{cm}}^2\right)$.

Dla $100$ szkatułek będzie to: $87962 \left({\mathrm{cm}}^2\right)\approx 8,8 \left({\mathrm{m}}^2\right)$.

Pani Danuta ma prostokątny kawałek juty o wymiarach $0,2 \mathrm{m}\times 1 \mathrm{m}$. Chce z niego wykonać abażur w kształcie graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego. W magazynie wnętrzarskim znalazła model abażuru, którego stosunek krawędzi podstawy do wysokości wynosi $3:2$, a powierzchnia zużytego materiału $900 {\mathrm{cm}}^2$. Sprawdzimy, czy Pani Danuta może wykonać taki abażur tak, aby był on wycięty w jednym kawałku.

R1CGpZHDpeFl2

Grafika przedstawia lampę, której abażur stanowi ściany boczne graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego.

Rozwiązanie

Mamy $6aH=900$ i $a=\frac{3}{2}H$. Czyli $6·\frac{3}{2}H·H=900$, a stąd $9H^2=900$.
Ostatecznie $H=10 \left(\mathrm{cm}\right)$. A zatem $a=\frac{3}{2}·10=15 \left(\mathrm{cm}\right)$.
Powierzchnia boczna tego graniastosłupa po wycięciu w jednym kawałku będzie prostokątem o wymiarach $0,1 \mathrm{m}\times 0,9 \mathrm{m}$. Czyli kawałek, który posiada Pani Danuta, jest wystarczający, aby wykonać taki abażur.

graniastosłup, którego podstawy są sześciokątami foremnymi, a ściany boczne przystającymi prostokątami

najkrótszy odcinek łączący punkty leżące w płaszczyznach dwóch przeciwległych podstaw graniastosłupa