Przeczytaj

W tym materiale bliżej przyjrzymy się związkowi logarytmowania z potęgowaniem.

Na początek przypomnijmy definicję logarytmu.

Logarytm

Definicja: Logarytm

Logarytmem liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ) nazywamy wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$ .

\log_{a} b = x \Leftrightarrow a^{x} = b

Każda liczba dodatnia ma dokładnie jeden logarytm przy danej podstawie dodatniej i różnej od $1$ . Liczby ujemne i zero, nie mają logarytmów, gdyż $a^{x}$ dla żadnej wartości $x$ nie jest ani liczbą ujemną, ani zerem.

Przykład 1

Obliczymy wartości kilku logarytmów o tej samej podstawie, korzystając bezpośrednio z definicji logarytmu.

$\log_{2} 32 = 5$ , gdyż $2^{5} = 32$

$\log_{2} 1 = 0$ , gdyż $2^{0} = 1$

$\log_{2} \frac{1}{8} = - 3$ , gdyż $2^{- 3} = \frac{1}{8}$

Wniosek:

LogarytmlogarytmLogarytm liczby dodatniej może być liczbą dodatnią, ujemną lub zerem.

Przykład 2

Przyjrzyjmy się wartościom logarytmów kolejnych naturalnych potęg liczby $a$ przy podstawie $a$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ).

$\log_{a} a^{1} = \log_{a} a = 1$ , bo $a^{1} = a$

$\log_{a} a^{2} = 2$ , bo $a^{2} = a^{2}$

$\log_{a} a^{3} = 3$ , bo $a^{3} = a^{3}$

$\log_{a} a^{4} = 4$ , bo $a^{4} = a^{4}$

$\log_{a} a^{5} = 5$ , bo $a^{5} = a^{5}$

Na podstawie powyższych przykładów, możemy zauważyć, że logarytm przy podstawie $a$ potęgi naturalnej liczby $a$ jest równy wykładnikowi tej potęgi.

Własność tę można uogólnić na potęgę o dowolnym wykładniku.

Wniosek:

Jeśli $a > 0$ i $a \neq 1$ , $y \in ℝ$ to:

\log_{a} a = 1

\log_{a} a^{y} = y

Przykład 3

Korzystając z powyższego wniosku obliczymy wartości logarytmów.

$\log_{5} 625 = \log_{5} 5^{4} = 4$

$\log_{49} 7 = \log_{49} \sqrt{49} = \frac{1}{2}$

$\log_{9} \frac{1}{9} = \log_{9} 9^{- 1} = - 1$

$\log_{\sqrt{2}} \sqrt{2} = 1$

Bezpośrednio z definicji logarytmulogarytmlogarytmu wynika jeszcze jedna ważna własność, pokazująca kolejny związek logarytmowania z potęgowaniem.

$a^{\log_{a} b} = b$ , gdy $a > 0$ , $a \neq 1$ i $b > 0$

Zależność ta jest bardzo pomocna w zapisywaniu w prostszej postaci wyrażeń zawierających logarytmy.

Przykład 4

Zapiszemy każdą z liczb bez użycia logarytmu.

$2^{\log_{2} 7} = 7$

$3^{\log_{3} 19} = 19$

$- 5^{\log_{5} 6} = - 6$

${(0, 25)}^{\log_{0, 25} 5} = 5$

Przykład 5

Obliczymy wartość wyrażenia $W = 49^{1 - \log_{7} 2} + 2 \cdot 5^{- \log_{5} 8}$ .

Rozwiązanie:

Zapiszemy najpierw w prostszej postaci każdy ze składników, korzystając z własności działań na potęgach.

$49^{1 - \log_{7} 2} = 49 : 49^{\log_{7} 2} = 49 : 7^{2 \cdot \log_{7} 2} = 49 : {(7^{\log_{7} 2})}^{2} = 49 : 2^{2} = \frac{49}{4}$

$2 \cdot 5^{- \log_{5} 8} = 2 \cdot {(5^{\log_{5} 8})}^{- 1} = 2 \cdot 8^{- 1} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$

Możemy teraz obliczyć wartość wyrażenia $W$ .

$W = \frac{49}{4} + \frac{1}{4} = \frac{50}{4} = 12 \frac{1}{2}$

Odpowiedź:

Wartość wyrażenia $W$ jest równa $12 \frac{1}{2}$ .

Przykład 6

Wykażemy, że każda z liczb $\log_{8} 4096^{0, 25}$ , $\log_{\frac{4}{81}} \sqrt{0, (2)}$ , $3^{0, 5 \cdot \log_{3} 36}$ jest wymierna.

$\log_{8} 4096^{0, 25} = \log_{8} 64^{2 \cdot 0, 25} = \log_{8} 64^{0, 5} = \log_{8} 8 = 1 = \frac{1}{1}$

$\log_{\frac{4}{81}} \sqrt{0, (2)} = \log_{\frac{4}{81}} \sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{1}{2} \cdot \log_{\frac{4}{81}} \frac{2}{9} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$

$3^{0, 5 \cdot \log_{3} 36} = 3^{\log_{3} \sqrt{36}} = 3^{\log_{3} 6} = 6 = \frac{6}{1}$

Każdą z rozpatrywanych liczb zapisaliśmy za pomocą ułamka $\frac{p}{q}$ , gdzie $p$ , $q$ to liczby całkowite. Oznacza to, że każda z rozpatrywanych liczb jest liczbą wymierną.

Słownik

logarytm

liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ ( $a > 0$ , $a \neq 1$ ) to wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$ , aby otrzymać $b$

Wprowadzenie

Animacja

Słownik