Udowodnimy, że liczba ${\log }_{5}6$ jest niewymierna.

Przeprowadzimy dowód nie wprost. Zakładamy więc, że ${\log }_{5}6$ jest liczbą wymierną.

Istnieją zatem takie liczby całkowite, względnie pierwsze $p$ i $q$, $q\ne 0$, że ${\log }_{5}6=\frac{p}{q}$.

Z definicji logarytmu wynika, że $5^{\frac{p}{q}}=6$.

Podnosimy obie strony tej równości do potęgi $q$.

Stąd: $5^p=6^q$.

Lewa strona równości jest podzielna przez $5$, natomiast prawa nie.

Otrzymaliśmy sprzeczność. Zatem założenie, że liczba ${\log }_{5}6$ jest wymierna jest nieprawdziwe, co kończy dowód.

Korzystając z wykresu funkcji $y={\log }_{2}x$ odczytamy przybliżone wartości niektórych logarytmów.

RPbjCKXIMjnJT

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jednej drugiej do pięciu oraz pionową osią Y od minus jednej drugiej do trzech, przy czym liczby zaznaczone osiach są co jedną drugą. Na płaszczyźnie narysowany jest fragment wykresu funkcji Y równa się logarytm przy podstawie dwa z X oraz zaznaczone są współrzędne trzech punktów należących do wykresu: półtora, około sześć dziesiątych, następny o współrzędnych trzy i około jeden i sześć dziesiątych oraz cztery i pół i około dwa i dwie dziesiąte.

${\log }_2\mathrm{1,5}\approx \mathrm{0,6}$

${\log }_{2}3\approx \mathrm{1,6}$

${\log }_2\mathrm{4,5}\approx \mathrm{2,2}$

Korzystając z wykresu funkcji $y={\log }_{\frac{1}{2}}x$ odczytamy przybliżone wartości niektórych logarytmów.

R1QeR8SzY8xWp

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jednej drugiej do pięciu oraz pionową osią Y od minus dwóch do trzech drugich, przy czym liczby zaznaczone osiach są co jedną drugą. Na płaszczyźnie narysowany jest fragment wykresu funkcji Y równa się logarytm przy podstawie jedna druga z X oraz zaznaczone są współrzędne trzech punktów należących do wykresu: półtora i około minus sześć dziesiątych, następny o współrzędnych dwa i pół i około minus jeden i trzy dziesiąte oraz trzy i pół i około minus jeden i osiem dziesiątych.

${\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{1,5}\approx -\mathrm{0,6}$

${\log }_{\frac{1}{2}}\mathrm{2,5}\approx -\mathrm{1,3}$

${\log }_{\frac{1}{2}}3,5\approx -1,8$

Obliczymy przybliżoną wartość wyrażenia $W={\log }_{10}\mathrm{0,13}-5·{\log }_{10}\mathrm{0,52}$ z dokładnością do $0,01$.

Potrzebne dane odczytamy z tablic logarytmicznych.

R9K0eTwWbjdMi

W tabeli zamieszczone są kolejne wartości X oraz logarytm dziesiętny dla tychże wartości. Mamy tu dwanaście różnych wartości X, przy czym dwie z nich są wyróżnione. Dla X równego jedna dziesiąta logarytm dziesiętny z X wynosi minus jeden. Dla jedenastu setnych wynosi minus dziewięćset pięćdziesiąt dziewięć tysięcznych, dla dwunastu setnych minus dziewięćset dwadzieścia jeden tysięcznych, wyróżniona wartość: dla trzynastu setnych minus osiemset osiemdziesiąt sześć tysięcznych, dla dwudziestu sześciu setnych minus pięćset osiemdziesiąt pięć tysięcznych, dla dwudziestu siedmiu setnych minus pięćset sześćdziesiąt dziewięć tysięcznych, dla dwudziestu ośmiu setnych minus pięćset pięćdziesiąt trzy tysięczne, dla dwudziestu dziewięciu setnych minus pięćset trzydzieści osiem tysięcznych, dla pięćdziesięciu jeden setnych minus dwieście dziewięćdziesiąt dwie tysięczne, wyróżniona wartość: dla pięćdziesięciu dwóch setnych minus dwieście osiemdziesiąt cztery tysięczne, dla pięćdziesięciu trzech setnych minus dwieście siedemdziesiąt sześć tysięcznych oraz dla pięćdziesięciu czterech setnych minus dwieście sześćdziesiąt osiem tysięcznych.

${\log }_{10}\mathrm{0,13}\approx -\mathrm{0,886}$

${\log }_{10}\mathrm{0,52}\approx -\mathrm{0,284}$

$W\approx -\mathrm{0,886}+5·\left(-\mathrm{0,284}\right)\approx -\mathrm{0,89}-\mathrm{1,42}=-\mathrm{2,31}$

Przybliżona wartość wyrażenia jest równa $\left(-\mathrm{2,31}\right)$.

Korzystając z wykresu funkcji wykładniczej, wartości logarytmów odczytujemy na osi $X$.

RtE15JT5kH4u5

Na ilustracji przedstawiony jest układ współrzędnych z poziomą osią X od minus jeden do czterech oraz pionową osią Y od minus jeden do trzech. Na płaszczyźnie narysowany jest fragment wykresu funkcji wykładniczej Y równa się dwa do potęgi X oraz zaznaczone są współrzędne trzech punktów należących do wykresu: minus jeden jedna druga, zero jeden oraz ok. jeden i sześć dziesiątych trzy.

${\log }_{2}1=0$

${\log }_{2}3\approx \mathrm{1,6}$

${\log }_2\mathrm{0,5}=-1$

Rozwiążemy równanie $5^x=3$ i podamy wartość przybliżoną otrzymanego wyniku.

Z równości liczb dodatnich wynika równość ich potęg i logarytmów.

Równanie zapiszemy w postaci równoważnej, logarytmując obie strony równania. W tym celu wykorzystamy logarytmlogarytmlogarytm o podstawie $10$.

${\log }_{10}{5}^x={\log }_{10}3$

$x·{\log }_{10}5={\log }_{10}3$

$x=\frac{{\log }_{10}3}{{\log }_{10}5}$

Rozwiązaniem równania jest liczba niewymierna. Aby obliczyć wartość przybliżoną rozwiązania, odczytamy potrzebne liczby korzystając z kalkulatora.

${\log }_{10}5\approx \mathrm{0,70}$

${\log }_{10}3\approx \mathrm{0,48}$

$x\approx \frac{\mathrm{0,48}}{\mathrm{0,70}}\approx \mathrm{0,69}$

Rozwiązaniem równania jest liczba

$x=\frac{{\log }_{10}3}{{\log }_{10}5}\approx \mathrm{0,69}$

liczby dodatniej $b$ przy podstawie $a$ dodatniej i różnej od jedności, to wykładnik potęgi, do której należy podnieść $a$, aby otrzymać $b$