Przeczytaj

Przypomnijmy najpierw definicję układu równań liniowych z dwiema niewiadomymi.

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Definicja: Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

Układem równań liniowych z dwiema niewiadomymi nazywamy koniunkcję dwóch równań pierwszego stopnia z dwiema niewiadomymi.

Układ taki przyjmuje postać:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

gdzie:
$x$ oraz $y$ – oznaczają niewiadome,
$a_{1}$ , $a_{2}$ , $b_{1}$ oraz $b_{2}$ – współczynniki przy niewiadomych $x$ oraz $y$ ,
$c_{1}$ i $c_{2}$ – nazywamy wyrazami wolnymi.

Zbiór rozwiązań układu równań liniowych

Definicja: Zbiór rozwiązań układu równań liniowych

Zbiorem rozwiązań układu równań jest zbiór wszystkich par liczb spełniających dany układ równań. Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymiUkład równań liniowych z dwiema niewiadomymi może mieć dokładnie jedno rozwiązanie, może posiadać nieskończenie wiele rozwiązań, może też nie mieć rozwiązań.

Układ równań oznaczony

Definicja: Układ równań oznaczony

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb, nazywamy układem oznaczonym.

Układ równań nieoznaczony

Definicja: Układ równań nieoznaczony

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb, nazywamy układem nieoznaczonym.

Układ równań sprzeczny

Definicja: Układ równań sprzeczny

Układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie posiada rozwiązań, nazywamy układem sprzecznym.

Aby rozwiązać układ równań

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

metodą wyznacznikową, musimy obliczyć trzy liczby:

wyznacznik główny $W$ – utworzony ze współczynników znajdujących się przy niewiadomych $x$ i $y$ .
$W = |\begin{matrix} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{matrix}| = a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}$

wyznacznik niewidomej $x$ oznaczany $W_{x}$ – utworzony poprzez zastąpienie w wyznaczniku głównym kolumny współczynników przy niewiadomej $x$ , kolumną wyrazów wolnych.
$W_{x} = |\begin{matrix} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{matrix}| = c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1}$

wyznacznik niewidomej $y$ oznaczany $W_{y}$ – utworzony poprzez zastąpienie w wyznaczniku głównym kolumny współczynników przy niewiadomej $y$ , kolumną wyrazów wolnych.
$W_{y} = |\begin{matrix} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{matrix}| = a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1}$

Jeśli wyznacznik główny $W \neq 0$ , to taki układ równań nazywamy układem Cramera.

Układ ten ma dokładnie jedno rozwiązanie (jest oznaczonyukład równań oznaczonyoznaczony), które możemy wyznaczyć za pomocą wzorów Cramera:

x = \frac{W_{x}}{W}

y = \frac{W_{y}}{W}

Jeśli wyznacznik główny $W = 0$ i $W_{x} = 0$ i $W_{y} = 0$ , to układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań (jest nieoznaczonyukład równań nieoznaczonynieoznaczony).

Jeśli wyznacznik główny $W = 0$ i ( $W_{x} \neq 0$ lub $W_{y} \neq 0$ ), to układ równań nie ma rozwiązań (jest sprzecznyukład równań sprzecznysprzeczny).

Przykład 1

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} - 2 x + 4 y = 3 \\ 5 x - 3 y = 7 \end{cases}$ metodą wyznacznikową.

Zapisujemy i obliczamy wyznacznik główny.

Wypisujemy w odpowiednich kolumnach współczynniki znajdujące się przy niewiadomych $x$ oraz $y$ .

$W = |\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 5 & - 3 \end{matrix}|$

Następnie mnożymy liczby umieszczone na przekątnych i odejmujemy odpowiednie iloczyny.

$W = |\begin{matrix} - 2 & 4 \\ 5 & - 3 \end{matrix}| = - 2 \cdot (- 3) - 5 \cdot 4 = 6 - 20 = - 14$

Wyznacznik główny jest liczbą różną od zera, wiemy już więc, że jest to oznaczony układ równań.

Zapisujemy teraz i obliczamy wyznacznikwyznacznik wyznacznik niewiadomej $x$ .

W pierwszej kolumnie wyznacznika głównego zastępujemy współczynniki znajdujące się przy niewiadomej $x$ , kolumną wyrazów wolnych.

$W_{x} = |\begin{matrix} 3 & 4 \\ 7 & - 3 \end{matrix}|$

Następnie mnożymy liczby umieszczone na przekątnych i odejmujemy odpowiednie iloczyny.

$W_{x} = |\begin{matrix} 3 & 4 \\ 7 & - 3 \end{matrix}| = - 9 - 28 = - 37$

Zapisujemy i obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

W drugiej kolumnie wyznacznika głównego zastępujemy współczynniki znajdujące się przy niewiadomej $y$ , kolumną wyrazów wolnych.

$W_{y} = |\begin{matrix} - 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{matrix}|$

Następnie mnożymy liczby umieszczone na przekątnych i odejmujemy odpowiednie iloczyny.

$W_{y} = |\begin{matrix} - 2 & 3 \\ 5 & 7 \end{matrix}| = - 14 - 15 = - 29$

Ponieważ wyznacznik główny jest różny od zera, więc możemy wykorzystać wzory Cramera do wyznaczenia rozwiązania tego układu.

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{- 37}{- 14} = 2 \frac{9}{14}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{- 29}{- 14} = 2 \frac{1}{14}$

A zatem rozwiązaniem tego układu równań jest para liczb $\{\begin{cases} x = 2 \frac{9}{14} \\ y = 2 \frac{1}{14} \end{cases}$ .

Przykład 2

Rozwiążemy układ równań $\{\begin{cases} 1, 5 x - 2 y = 2, 5 \\ - 9 x + 12 y = - 15 \end{cases}$ metodą wyznacznikową.

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} 1, 5 & - 2 \\ - 9 & 12 \end{matrix}| = 18 - 18 = 0$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} 2, 5 & - 2 \\ - 15 & 12 \end{matrix}| = 30 - 30 = 0$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} 1, 5 & 2, 5 \\ - 9 & - 15 \end{matrix}| = - 22, 5 + 22, 5 = 0$

$W = 0$ i $W_{x} = 0$ i $W_{y} = 0$

A zatem jest to układ równań nieoznaczonyukład równań nieoznaczonynieoznaczony.

Układ ten posiada nieskończenie wiele rozwiązań postaci $\{\begin{cases} x \in ℝ \\ y = \frac{3}{4} x - \frac{5}{4} \end{cases}$ .

Przykład 3

Rozwiąż układ równań $\{\begin{cases} 6 x - 4 y = 5 \\ 3 x - 2 y = 4 \end{cases}$ metodą wyznacznikową.

Obliczamy wyznacznik główny.

$W = |\begin{matrix} 6 & - 4 \\ 3 & - 2 \end{matrix}| = - 12 + 12 = 0$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $x$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} 5 & - 4 \\ 4 & - 2 \end{matrix}| = - 10 + 16 = 6$

Obliczamy wyznacznik niewiadomej $y$ .

$W_{y} = |\begin{matrix} 6 & 5 \\ 3 & 4 \end{matrix}| = 24 - 15 = 9$

$W = 0$ i ( $W_{x} \neq 0$ oraz $W_{y} \neq 0$ )

A zatem ten układ równań jest sprzeczny i nie posiada rozwiązania.

Wygodnie jest korzystać z metody wyznacznikowej, gdy w układzie równań pojawiają się parametry. Pozwala ona łatwo ustalić liczbę rozwiązań układu równań w zależności od wartości parametrów.

Przykład 4

Określimy, dla jakiego parametru $m$ , układ równań ${\begin{cases} m x + 4 y = m + 1 \\ x + m y = m + 2 \end{cases}$ jest układem oznaczonym.

Obliczamy wyznacznik główny

$W = |\begin{matrix} m & 4 \\ 1 & m \end{matrix}| = m^{2} - 4$

Aby układ był oznaczony, jego wyznacznik główny musi być liczbą różną od zera.

Wyznaczmy więc takie wartości parametru $m$ , dla których zachodzi taki warunek.

$W \neq 0 \Leftrightarrow m^{2} - 4 \neq 0 \Leftrightarrow m \neq - 2 \land m \neq 2$

Możemy wyznaczyć postać liczb będących jego rozwiązaniem.

Obliczmy wyznaczniki niewiadomych $x$ oraz $y$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} m + 1 & 4 \\ m + 2 & m \end{matrix}| = m^{2} + m - 4 m - 8 = m^{2} - 3 m - 8$

$W_{y} = |\begin{matrix} m & m + 1 \\ 1 & m + 2 \end{matrix}| = m^{2} + 2 m - m - 1 = m^{2} + m - 1$

A następnie podajemy postać niewiadomych $x$ i $y$ .

$\{\begin{cases} x = \frac{W_{x}}{W} \\ y = \frac{W_{y}}{W} \end{cases}$

$\{\begin{cases} x = \frac{m^{2} - 3 m - 8}{m^{2} - 4} \\ y = \frac{m^{2} + m - 1}{m^{2} - 4} \end{cases}$

A zatem ten układ równań jest oznaczony dla $m \in ℝ ∖ \{- 2, 2\}$ i posiada wtedy rozwiązania postaci

$\{\begin{cases} x = \frac{m^{2} - 3 m - 8}{m^{2} - 4} \\ y = \frac{m^{2} + m - 1}{m^{2} - 4} \end{cases}$ .

Przykład 5

Określimy liczbę rozwiązań układu równań liniowych

$\{\begin{cases} - 2 x + p y = p \\ 2 p x - y = - p \end{cases}$

w zależności od parametru $p$ .

Wyznaczymy wyznacznik główny oraz wyznaczniki niewiadomych $W_{x}$ i $W_{y}$ .

$W = |\begin{matrix} - 2 & p \\ 2 p & - 1 \end{matrix}| = 2 - 2 p^{2}$

$W_{x} = |\begin{matrix} p & p \\ - p & - 1 \end{matrix}| = - p + p^{2}$

$W_{y} = |\begin{matrix} - 2 & p \\ 2 p & - p \end{matrix}| = 2 p - 2 p^{2}$

Obliczamy, dla jakich wartości parametru $p$ , wyznacznik główny jest równy zero.

$W = 0 \Leftrightarrow 2 - 2 p^{2} = 0 \Leftrightarrow 2 (1 + p) (1 - p) = 0 \Leftrightarrow p = - 1 \lor p = 1$

Obliczamy wartości wyznaczników $W_{x}$ i $W_{y}$ dla parametrów $p \in \{- 1, 1\}$ .

Dla $p = - 1$ otrzymujemy:

$W_{x} = - p + p^{2} = 1 + 1 = 2$

$W_{y} = 2 p - 2 p^{2} = - 2 - 2 = - 4$

A zatem dla $p = - 1$ układ jest sprzecznyukład równań sprzecznysprzeczny.

Dla $p = 1$ otrzymujemy:

$W_{x} = - p + p^{2} = - 1 + 1 = 0$

$W_{y} = 2 p - 2 p^{2} = 2 - 2 = 0$

Więc dla $p = 1$ układ jest nieoznaczony.

Dla $p \neq - 1$ i $p \neq 1$ układ jest oznaczonyukład równań oznaczonyoznaczony. Wyznaczmy niewiadome $x$ i $y$ .

Korzystamy z poznanych wzorów i doprowadzamy wyrażenia do najprostszej postaci.

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{- p + p^{2}}{2 - 2 p^{2}} = \frac{- p (1 - p)}{2 (1 - p) (1 + p)} = \frac{- p}{2 (1 + p)} = - \frac{p}{2 + 2 p}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{2 p - 2 p^{2}}{2 - 2 p^{2}} = \frac{2 p (1 - p)}{2 (1 - p) (1 + p)} = \frac{p}{1 + p}$

Podsumujmy nasze rozważania.

Układ równań $\{\begin{cases} - 2 x + p y = p \\ 2 p y - y = - p \end{cases}$ :

dla $p \in ℝ ∖ \{- 1, 1\}$ jest oznaczony i posiada wtedy dokładnie jedno rozwiązanie postaci:
$\{\begin{cases} x = - \frac{p}{2 + 2 p} \\ y = \frac{p}{1 + p} \end{cases}$ ,
dla $p = - 1$ jest sprzeczny,
dla $p = 1$ jest nieoznaczony.

Przykład 6

Wyznacz, dla jakich parametrów $k \in ℝ$ , rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} (k - 1) x + 3 y = 3 \\ (k + 3) x - 5 y = 8 \end{cases}$ jest para liczb rzeczywistych, których suma jest niedodatnia.

Obliczamy wyznacznik główny $W$ .

$W = |\begin{matrix} k - 1 & 3 \\ k + 3 & - 5 \end{matrix}| = - 5 k + 5 - 3 k - 9 = - 8 k - 4$

Aby układ posiadał jedno rozwiązanie, wyznacznikwyznacznik wyznacznik musi być różny od zera.

Ten układ jest oznaczony dla $- 8 k - 4 \neq 0$ , czyli $k \neq - \frac{1}{2}$ .

Obliczmy wyznaczniki niewiadomych $x$ oraz $y$ .

$W_{x} = |\begin{matrix} 3 & 3 \\ 8 & - 5 \end{matrix}| = - 15 - 24 = - 39$

$W_{y} = |\begin{matrix} k - 1 & 3 \\ k + 3 & 8 \end{matrix}| = 8 k - 8 - 3 k - 9 = 5 k - 17$

Wtedy

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{- 39}{- 8 k - 4}$

$y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{5 k - 17}{- 8 k - 4}$

Wyznaczmy sumę liczb $x$ i $y$ .

$x + y = \frac{- 39}{- 8 k - 4} + \frac{5 k - 17}{- 8 k - 4} = \frac{- 39 + 5 k - 17}{- 8 k - 4} = \frac{5 k - 56}{- 8 k - 4} = \frac{56 - 5 k}{8 k + 4}$

Otrzymane wyrażenie będzie przyjmować wartości niedodatnie dla $k$ spełniającego warunki:

$\{\begin{cases} 56 - 5 k \geq 0 \\ 8 k + 4 < 0 \end{cases}$ lub $\{\begin{cases} 56 - 5 k \leq 0 \\ 8 k + 4 > 0 \end{cases}$ .

Wyznaczamy rozwiązanie pierwszego układu nierówności.

$\{\begin{cases} 56 - 5 k \geq 0 \\ 8 k + 4 < 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 5 k \geq - 56 | : (- 5) \\ 8 k < - 4 | : 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} k \leq 11, 2 \\ k < - 0, 5 \end{cases}$

Rozwiązaniem układu nierówności są liczby z przedziału $k \in (- \infty; - 0, 5)$ .

Wyznaczamy rozwiązanie drugiego układu nierówności.

$\{\begin{cases} 56 - 5 k \leq 0 \\ 8 k + 4 > 0 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 5 k \leq - 56 | : (- 5) \\ 8 k > - 4 | : 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} k \geq 11, 2 \\ k > - 0, 5 \end{cases}$

Rozwiązaniem układuzbiór rozwiązań układu równańRozwiązaniem układu są liczby z przedziału $k \in ⟨11, 2; \infty)$ .

A zatem suma liczb będących rozwiązaniem układu równań $\{\begin{cases} (k - 1) x + 3 y = 3 \\ (k + 3) x - 5 y = 8 \end{cases}$ jest niedodatnia dla $k \in (- \infty; - 0, 5) \cup ⟨11, 2; \infty)$ .

Słownik

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układ równań postaci

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

zbiór rozwiązań układu równań

zbiór wszystkich par liczb spełniających dany układ równań

układ równań oznaczony

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest dokładnie jedna para liczb

układ równań nieoznaczony

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, którego rozwiązaniem jest nieskończenie wiele par liczb

układ równań sprzeczny

układ równań liniowych z dwiema niewiadomymi, który nie posiada rozwiązań

wyznacznik

liczba postaci $|\begin{matrix} a & c \\ b & d \end{matrix}| = a d - b c$

Wprowadzenie

Schemat interaktywny

Słownik