Przeczytaj

Już wiesz

W układzie współrzędnych dany jest okrąg o promieniu $r$ oraz kąt środkowy $α$ .

Na ramieniu końcowym kąta $α$ zaznaczamy punkt $P = (x; y)$ .

Z własności trójkąta prostokątnego otrzymujemy, że $r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}$ .

R1aju6IFNapHH

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X oraz pionową osią Y. Osie są bez jednostek, początek układu oznaczono zerem. Na płaszczyźnie zaznaczono okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r. Na okręgu zaznaczono w pierwszej ćwiartce układu punkt P o współrzędnych x i y oraz zaznaczono rzuty współrzędnych tego punktu na osiach, odpowiednio: na osi X zaznaczono punkt o współrzędnych x;0 i na osi Y zaznaczono punkt o współrzędnych 0;y. Z początku układu współrzędnych wykreślono półprostą nachyloną pod kątem ostrym α do osi X. Półprosta ta przecina punkt P.

Sinusem kąta $α$ nazywamy stosunek rzędnej punktu $P$ do odległości tego punktu od początku układu współrzędnych.
Cosinusem kąta $α$ nazywamy stosunek odciętej punktu $P$ do odległości tego punktu od początku układu współrzędnych.
Tangensem kąta $α$ nazywamy stosunek rzędnej punktu $P$ do odciętej tego punktu.

Z powyższych definicji otrzymujemy, że:

$\sin α = \frac{y}{r}$ ,

$\cos α = \frac{x}{r}$ ,

$tg α = \frac{y}{x}$ .

Przykład 1

Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych sinus, cosinus i tangenstangens dowolnego kątatangens kąta $α$ , jeżeli na jego ramieniu końcowym leży punkt $P = (- 3; - 2)$ .

Rozwiązanie:

Z podanych wcześniej zależności otrzymujemy, że $x = - 3$ , $y = - 2$ .

Zatem $r = \sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 2)}^{2}} = \sqrt{9 + 4} = \sqrt{13}$ .

Z definicji funkcji trygonometrycznych dla dowolnego kąta otrzymujemy:

$\sin α = - \frac{2}{\sqrt{13}} = - \frac{2 \sqrt{13}}{13}$ ,

$\cos α = - \frac{3}{\sqrt{13}} = - \frac{3 \sqrt{13}}{13}$ ,

$tg α = \frac{2}{3}$ .

Ważne!

Jeżeli:

$α \in (0 °; 90 °)$ , to $\sin α > 0$ , $\cos α > 0$ oraz $tg α > 0$

$α \in (90 °; 180 °)$ , to $\sin α > 0$ , $\cos α < 0$ oraz $tg α < 0$ ,

$α \in (180 °; 270 °)$ , to $\sin α < 0$ , $\cos α < 0$ oraz $tg α > 0$ ,

$α \in (270 °; 360 °)$ , to $\sin α < 0$ , $\cos α > 0$ oraz $tg α < 0$ .

związki między funkcjami trygonometrycznymi dowolnego kąta

Twierdzenie: związki między funkcjami trygonometrycznymi dowolnego kąta

Dla dowolnego kąta $α$ zachodzą następujące zależności:

RIJb6De4EtJ8R

Rysunek przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią X i z pionową osią Y. Osie nie mają podziałek. Na płaszczyźnie narysowano kąt rozwarty α, którego wierzchołek znajduje się w początku układu współrzędnych, jedno ramię pokrywa się z dodatnią półosią OX, a drugie, ukośne ramię, znajduje się w drugiej ćwiartce układu. Na płaszczyźnie narysowano także okrąg o środku w początku układu współrzędnych i promieniu r. Okrąg ten przecina się z ramionami kąta α. W miejscu przecięcia okręgu z ukośnym ramieniem zaznaczono punkt P=x;y. Linią przerywaną poprowadzono rzuty współrzędnych punktów na osie: współrzędna y znajduje się na dodatniej półosi OY, a współrzędna x na ujemnej półosi OX.

a) $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ (jedynka trygonometrycznajedynka trygonometrycznajedynka trygonometryczna),

b) $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Dowód

a) Z rysunku możemy odczytać, że: $\sin α = \frac{y}{r}$ oraz $\cos α = \frac{x}{r}$ .

Po podstawieniu otrzymujemy:

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = {(\frac{y}{r})}^{2} + {(\frac{x}{r})}^{2} = \frac{y^{2}}{r^{2}} + \frac{x^{2}}{r^{2}} = \frac{x^{2} + y^{2}}{r^{2}} = \frac{r^{2}}{r^{2}} = 1$ .

b) Z rysunku odczytujemy, że $tg α = \frac{y}{x}$ .

Z definicji sinusa oraz cosinusa kąta $α$ otrzymujemy:

$tg α = \frac{y}{x} = \frac{\frac{y}{r}}{\frac{x}{r}} = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Ważne!

Z twierdzenia wynika zależność: $\frac{1}{tg α} = \frac{\cos α}{\sin α}$ .

Przykład 2

Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $α$ , jeżeli wiadomo, że $\cos α = \frac{2}{3}$ oraz $α \in (270 °; 360 °)$ .

Rozwiązanie:

Po podstawieniu do jedynki trygonometrycznej otrzymujemy, że $\sin^{2} α + {(\frac{2}{3})}^{2} = 1$ .

Rozwiązując równanie otrzymujemy, że $\sin^{2} α = \frac{5}{9}$ , zatem $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{3}$ lub $\sin α = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

Ponieważ $α \in (270 °; 360 °)$ , więc $\sin α = - \frac{\sqrt{5}}{3}$ .

W związku z tym, $tg α = \frac{\sin α}{\cos α} = \frac{- \frac{\sqrt{5}}{3}}{\frac{2}{3}} = - \frac{\sqrt{5}}{2}$ .

Przykład 3

Wyznaczymy wartości funkcji trygonometrycznych kąta $α$ , jeżeli $tg α = 2$ oraz $α \in (180 °; 270 °)$ .

Rozwiązanie:

Korzystając ze wzoru $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ , otrzymujemy, że $2 = \frac{\sin α}{\cos α}$ , więc $\sin α = 2 \cdot \cos α$ .

Otrzymaną zależność podstawiamy do jedynki trygonometrycznej. Otrzymujemy równanie:

${(2 \cdot \cos α)}^{2} + \cos^{2} α = 1$

Zatem $5 \cdot \cos^{2} α = 1$ , więc $\cos α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ lub $\cos α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ .

Ponieważ $α \in (180 °; 270 °)$ , więc $\cos α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ oraz $\sin α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ .

Przykład 4

Uprościmy wyrażenie $\frac{\sin^{2} α \cdot \cos α + \cos^{3} α}{\sin α}$ .

Rozwiązanie:

Stosując zależności pomiędzy funkcjami trygonometrycznymi otrzymujemy:

$\frac{\sin^{2} α \cdot \cos α + \cos^{3} α}{\sin α} = \frac{\cos α \cdot (\sin^{2} α + \cos^{2} α)}{\sin α} = \frac{\cos α}{\sin α} = \frac{1}{tg α}$ .

Przykład 5

Wyznaczymy wartość wyrażenia $\cos α \cdot tg α$ , jeżeli $\cos α = - \frac{1}{5}$ oraz $α \in (180 °; 270 °)$ .

Rozwiązanie:

Po przekształceniu wyrażenie $\cos α \cdot tg α$ jest postaci $\cos α \cdot tg α = \cos α \cdot \frac{\sin α}{\cos α} = \sin α$ .

Wartość $\sin α$ wyznaczymy z wykorzystaniem jedynki trygonometrycznej.

Otrzymujemy: $\sin^{2} α + {(- \frac{1}{5})}^{2} = 1$

Z równania wynika, że $\sin^{2} α = \frac{24}{25}$ , więc $\sin α = \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ lub $\sin α = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

Ponieważ $α \in (180 °; 270 °)$ , zatem $\sin α = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

Szukana wartość wyrażenia wynosi $\sin α = - \frac{2 \sqrt{6}}{5}$ .

Przykład 6

Sprawdzimy, czy istnieje kąt $α$ , dla którego $tg α = - 3$ oraz $\cos α = \frac{1}{4}$ .

W celu sprawdzenia, czy istnieje taki kąt, wyznaczymy wartość $\sin α$ , a następnie wykorzystamy jedynkę trygonometryczną.

Otrzymujemy zatem: $tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$ .

Podstawiając, otrzymujemy równanie: $- 3 = \frac{\sin α}{\frac{1}{4}}$ , więc $\sin α = - \frac{3}{4}$ .

Sprawdzamy, czy zachodzi równość $\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$ .

Po podstawieniu mamy: ${(- \frac{3}{4})}^{2} + {(\frac{1}{4})}^{2} = \frac{9}{16} + \frac{1}{16} = \frac{10}{16} \neq 1$ .

Zatem nie istnieje taki kąt.

Słownik

jedynka trygonometryczna

$\sin^{2} α + \cos^{2} α = 1$

tangens dowolnego kąta

$tg α = \frac{\sin α}{\cos α}$

Wprowadzenie

Infografika

Słownik