Jeżeli $a\ne 0$, to funkcję $f$ określoną wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ w zbiorze liczb rzeczywistych nazywamy funkcją kwadratową.

$a$, $b$, $c$ - współczynniki liczbowe funkcji kwadratowej,

$c$ -  wyraz wolny.

Wzór  $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ nazywamy postacią ogólną funkcji kwadratowej, gdzie $x\in \mathrm{ℝ}$, $a\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$, $b\in \mathrm{ℝ}$, $c\in \mathrm{ℝ}$.

Wyrażenie $\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$ nazywamy wyróżnikiem trójmianu kwadratowego  ($\mathrm{\Delta }$-delta- wielka litera greckiego alfabetu).

Mając dany wzór funkcji kwadratowej,  podamy współczynniki liczbowe i obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego : $f\left(x\right)=-2x^2+7x-8$.

Rozwiązanie

$a=-2$, $b=7$, $c=-8$

$\mathrm{\Delta }=b^2-4ac$

$\mathrm{\Delta }=7^2-4·\left(-2\right)·\left(-8\right)$

$\mathrm{\Delta }=49-64$

$\mathrm{\Delta }=-15$

Możemy spotkać się z funkcją, której wzór wyrażony jest za pomocą wyrażenia kwadratowego, rozważając rzut ukośny - tor lotu piłki. Wysokość $h$ w zależności od czasu $t$ można wyrazić wzorem

$h\left(t\right)=-\frac{1}{2}{t}^2+3t$.

Obliczymy, na jakiej wysokości znajdzie się piłka w drugiej sekundzie lotu.

$h\left(2\right)=-\frac{1}{2}·2^2+3·2=-2+6=4$

RXduouuJnazfA

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 od 8 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wektor zaczepiony w punkcie o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu. Wektor podpisano literą v. Aplet daje możliwość zmianę kąta nachylenia alfa od jednego do dziewięćdziesięciu stopni, można zmieniać szybkość początkową v od zero przecinek jeden do pięć z krokiem jedna dziesiąta. Aplet daje również możliwość zmiany przyspieszenie grawitacyjnego g od 1 do 10 z krokiem równym jeden i zmiany czasu t z krokiem jedna setna. Aplet pokazuje również składowe wektora prędkości oraz tor lotu. Ustawiając wartości: alfa równe 16 stopni, v równe 2, g równe 1 i  t równe 0,5 otrzymujemy wektor v nachylony pod kątem 16 stopni do osi x i kończący się przed odcięta równą dwa. Punkt P znajduje się poniżej wektora x i został z niego poprowadzony poziomy wektor $v_x$. Tor lotu ma kształt łuku o początku w środku układu współrzędnych, dalej biegnie przez punkt P, następnie maleje i opada do osi x niedaleko za odciętą równą dwa. Ustawiając wartości: alfa równe 60 stopni, v równe 3,5, g równe 7 i  t równe 0,8 otrzymujemy wektor v pod kątem 60 stopni do osi x i kończący się przed odcięta równą dwa. Punkt P znajduje się poniżej wektora x i został z niego poprowadzony krótszy poziomy wektor $v_x$ i dłuższy pionowy wektor $v_y$. Tor lotu ma kształt łuku o początku w środku układu współrzędnych, dalej biegnie przez punkt P znajdujący się niemal na końcu łuku, łuk opada do osi x niedaleko w okolicach odciętej równej jeden i pół. Ustawiając wartości: alfa równe 90 stopni, v równe 5, g równe 4 i  t równe 1 otrzymujemy pionowy wektor v pod kątem 90 stopni do osi x i kończący się przed w punkcie nawias zero średnik pięć. Punkt P znajduje na osi y w punkcie nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu i został z niego poprowadzony pionowy wektor $v_y$ od punktu nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu. Tor lotu jest niewidoczny.

Aplet przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 1 od 8 i pionową osią y od minus 2 do trzy. W układzie zaznaczono wektor zaczepiony w punkcie o współrzędnych nawias zero średnik zero zamknięcie nawiasu. Wektor podpisano literą v. Aplet daje możliwość zmianę kąta nachylenia alfa od jednego do dziewięćdziesięciu stopni, można zmieniać szybkość początkową v od zero przecinek jeden do pięć z krokiem jedna dziesiąta. Aplet daje również możliwość zmiany przyspieszenie grawitacyjnego g od 1 do 10 z krokiem równym jeden i zmiany czasu t z krokiem jedna setna. Aplet pokazuje również składowe wektora prędkości oraz tor lotu. Ustawiając wartości: alfa równe 16 stopni, v równe 2, g równe 1 i  t równe 0,5 otrzymujemy wektor v nachylony pod kątem 16 stopni do osi x i kończący się przed odcięta równą dwa. Punkt P znajduje się poniżej wektora x i został z niego poprowadzony poziomy wektor $v_x$. Tor lotu ma kształt łuku o początku w środku układu współrzędnych, dalej biegnie przez punkt P, następnie maleje i opada do osi x niedaleko za odciętą równą dwa. Ustawiając wartości: alfa równe 60 stopni, v równe 3,5, g równe 7 i  t równe 0,8 otrzymujemy wektor v pod kątem 60 stopni do osi x i kończący się przed odcięta równą dwa. Punkt P znajduje się poniżej wektora x i został z niego poprowadzony krótszy poziomy wektor $v_x$ i dłuższy pionowy wektor $v_y$. Tor lotu ma kształt łuku o początku w środku układu współrzędnych, dalej biegnie przez punkt P znajdujący się niemal na końcu łuku, łuk opada do osi x niedaleko w okolicach odciętej równej jeden i pół. Ustawiając wartości: alfa równe 90 stopni, v równe 5, g równe 4 i  t równe 1 otrzymujemy pionowy wektor v pod kątem 90 stopni do osi x i kończący się przed w punkcie nawias zero średnik pięć. Punkt P znajduje na osi y w punkcie nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu i został z niego poprowadzony pionowy wektor $v_y$ od punktu nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu do punktu nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu. Tor lotu jest niewidoczny.

Zasób interaktywny dostępny pod adresem https://zpe.gov.pl/a/DWbqZAOgY

Obliczymy wartości funkcji $f\left(x\right)=x^2+6x-5$, $g\left(x\right)=-2x^2+x+1$, $h\left(x\right)=-x^2-9x-2$ dla argumentu $x=-2$ i uporządkujemy je w kolejności rosnącej.

Rozwiązanie

Obliczamy wartości dla kolejnych funkcji.

$f\left(-2\right)={\left(-2\right)}^2+6·\left(-2\right)-5=4-12-5=-13$,

$g\left(-2\right)=-2·{\left(-2\right)}^2+\left(-2\right)+1=-8-2+1=-9$,

$h\left(-2\right)=-{\left(-2\right)}^2-9·\left(-2\right)-2=-4+18-2=12$.

Odp. Wartości funkcji w kolejności rosnącej to: $-13,-9,12$

Dwie funkcje kwadratowe są równe wtedy i tylko wtedy, gdy mają równe współczynniki liczbowe przy odpowiednich potęgach zmiennej.

Wyznaczymy wartości parametrów $m$ i $n$ funkcji kwadratowych $f$ i $g$ określonych wzorami $f\left(x\right)=4x^2-3x+m$ i $g\left(x\right)=\left(n-1\right)x^2-3x-7$, dla których są one równe.

Rozwiązanie

Wypiszmy współczynniki dla obu funkcji.

Funkcja $f$, $a_f=4$, $b_f=-3$, $c_f=m$

Funkcja $g$, $a_g=n-1$, $b_g=-3$, $c_g=-7$

Zauważmy, współczynniki liczbowe przy $x$ są dla obu funkcji równe $-3\left(b_f=b_g\right)$.

Wystarczy więc porównać współczynniki liczbowe przy $x^2$ i wyrazy wolne.

Zatem $a_f=a_g$ czyli $n-1=4$ więc $n=5$

oraz $c_f=c_g$ czyli $m=-7$.

Odp. Funkcje $f\left(x\right)$ i $g\left(x\right)$ są równe, gdy $m=-7$ i  $n=5$.

Wzory funkcji kwadratowych $f\left(x\right)=\left(2x-3\right)\left(\frac{1}{2}x+2\right)$ i $g\left(x\right)=x\left(x+6\right)-\frac{7}{2}\left(x+2\right)$ zapiszemy w postaci ogólnej i sprawdźmy, czy funkcje te są równe.

Rozwiązanie

Przekształcamy wzory funkcji do postaci ogólnej.

$f\left(x\right)=\left(2x-3\right)\left(\frac{1}{2}x+2\right)$

$f\left(x\right)=x^2+4x-\frac{3}{2}x-6$

$f\left(x\right)=x^2+\frac{5}{2}x-6$, $a=1$, $b=\frac{5}{2}$, $c=-6$

$g\left(x\right)=x\left(x+6\right)-\frac{7}{2}\left(x+2\right)$

$g\left(x\right)=x^2+6x-\frac{7}{2}x-7$

$g\left(x\right)=x^2+\frac{5}{2}x-7$, $a=1$, $b=\frac{5}{2}$, $c=-7$

Odp. Funkcje $f$ i $g$ nie są równe, bo ich wyrazy wolne są różne.

wyrażenie postaci $a{x}^2+bx+c$, gdzie $a$, $b$, $c$ dowolnymi danymi liczbami rzeczywistymi, w tym $a\ne 0$