Rozważmy dowolny kąt skierowanykąt skierowanykąt skierowany. Rysujemy go w układzie współrzędnych w taki sposób, że jedno z jego ramion pokrywa się z dodatnią półosią . Niech punkt będzie dowolnym punktem leżącym na końcowym ramieniuramię końcowe kąta skierowanegokońcowym ramieniu wybranego kąta. Odległość punktu od środka układu współrzędnych nazywamy promieniem wodzącym punktu i oznaczamy jako .
Przyjrzyj się poniższej galerii zdjęć i przypomnij sobie definicje funkcji trygonometrycznych kątów w układzie współrzędnych.
RQS4bmF2dNNaW
Obliczając wartości funkcji trygonometrycznych dla kątów i , wykorzystamy trójkąt równoboczny o boku :
RUutl1abXyIPV
Wartości funkcji trygonometrycznych kąta
Umieszczamy trójkąt równoboczny odpowiednio w układzie współrzędnych, wykorzystując fakt, że: :
R1YsPhVjYmRoC
Punkt o promieniu wodzącym równym , leżący na ramieniu końcowym kąta ma współrzędne: i , tj. .
Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy, że:
Tangens możemy również wyliczyć stosując poznany wcześniej związek między funkcjami trygonometrycznymi tego samego kąta: .
Wartości funkcji trygonometrycznych kąta
Umieszczamy trójkąt równoboczny odpowiednio w układzie współrzędnych, wykorzystując fakt, że: :
R1JNfdJpiZ6t2
Punkt o promieniu wodzącym równym , leżący na ramieniu końcowym kąta ma współrzędne: i , tj. .
Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy, że:
Tangens możemy również wyliczyć korzystając ze wzoru: .
Wartości funkcji trygonometrycznych kąta
Obliczając wartości funkcji trygonometrycznych kąta wykorzystamy kwadrat o przekątnej długości „”. Bok takiego kwadratu ma długość .
R99HoFi3xGvMT
Z twierdzenia Pitagorasa mamy bowiem:
więc
Umieszczamy kwadrat odpowiednio w układzie współrzędnych, wykorzystując fakt, że: :
RgeNL5FhteJow
Punkt o promieniu wodzącym równym , leżący na ramieniu końcowym kąta ma współrzędne: i , tj. .
Z definicji funkcji trygonometrycznych mamy:
Tangens możemy również wyliczyć korzystając ze wzoru: .
Zbierzmy wyliczone wartości funkcji w tabeli:
RkQoNhrD00KsG
Przykład 1
Punkt leży na końcowym ramieniu kątaramię końcowe kąta skierowanegokońcowym ramieniu kąta . Obliczymy drugą współrzędną tego punku.
Rozwiązanie
Oznaczymy przez długość promienia wodzącego punktu .
Ponieważ znamy wartość odciętej punktu , to korzystamy z definicji cosinusa: .
Mamy więc i , zatem , więc .
Do wyznaczenia wartości rzędnej punktu wykorzystamy definicję sinusa kąta: .
Mamy więc i , co daje: , stąd .
Współrzędną „” możemy wyznaczyć także ze wzoru: . Po jego przekształceniu otrzymamy: . Podstawiając i otrzymamy:
.
Są dwie liczby których kwadrat wynosi :
i
a ponieważ punkt znajduje się w drugiej ćwiartce układu współrzędnych, gdzie , więc .
Odpowiedź:
Druga współrzędna punktu wynosi .
Przykład 2
Punkt leży na końcowym ramieniu kąta . Wiedząc, że promień wodzący tego punktu: , obliczymy współrzędne punktu .
Rozwiązanie
Ponieważ znamy długość promienia wodzącego punktu , to do wyznaczenia wartości rzędnej tego punktu wykorzystamy definicję funkcji sinus: .
Skoro , to zachodzi równość . Po przekształceniu otrzymujemy, że , czyli .
Do wyznaczenia wartości odciętej punktu wykorzystamy definicję cosinusa: .
Mamy zatem , więc po przekształceniu otrzymujemy, że:
Ostatecznie: .
Inne sposoby wyznaczenia współrzędnej „”:
Znając wartość możemy wyliczyć wartość również ze wzoru: .
Po przekształceniu wzoru otrzymamy: , a podstawiając i otrzymujemy:
Są dwie liczby, których kwadrat wynosi : i , a ponieważ w drugiej ćwiartce układu współrzędnych , więc .
Możemy również wykorzystać fakt, że przyprostokątne w trójkącie prostokątnym równoramiennym są równe, więc (bo w ćwiartce układu współrzędnych ), czyli .
Odpowiedź:
.
Przykład 3
Obliczymy wartość wyrażenia: .
Rozwiązanie
Odpowiedź:
Wartość wyrażenia wynosi .
Przykład 4
Obliczymy wartość ułamka: .
Rozwiązanie
Odpowiedź:
Wartość ułamka wynosi .
Słownik
kąt skierowany
kąt skierowany
para uporządkowanych półprostych o wspólnym początku, z których pierwszą nazywamy ramieniem początkowym, a drugą ramieniem końcowym kąta skierowanego