Przeczytaj

Zacznijmy od prostych przykładów zadań tekstowych prowadzących do układów równań.

Przykład 1

Na podwórku bawią się kury i koty. W sumie jest $21$ zwierząt, które razem mają $54$ nogi. Ile kotów bawi się na podwórku?

Rozwiązanie

Przystępując do rozwiązania zadania tekstowego, najpierw zastanawiamy się, czego nie wiemy. W naszym przykładzie końcowe pytanie wskazuje na pierwszą niewiadomą: ile kotów bawi się na podwórku? Oznaczmy więc przez $x$ liczbę kotów. Skoro liczba kotów jest pierwszą niewiadomą, to drugą niewiadomą jest liczba kur. Oznaczmy ją przez $y$ .

Pierwsza informacja płynąca z treści zadania, to że łączna liczba zwierząt jest równa $21$ . Możemy więc ułożyć pierwszą zależność:

$x + y = 21$ .

Druga informacja dotyczy łącznej liczby nóg, liczba ta jest równa $54$ .

Każdy kot ma cztery łapy, więc koty mają w sumie $4 x$ „nóg”, a każda kura biega na dwóch nogach, więc kury mają w sumie $2 y$ nóg.

Teraz możemy już zapisać drugą zależność:

$4 x + 2 y = 54$ .

Pozostało już tylko zapisać układ równańukład równań i go rozwiązać.

$\{\begin{cases} x + y = 21 \\ 4 x + 2 y = 54 \end{cases}$

Użyjemy metody przeciwnych współczynników i pomnożymy pierwsze równanie stronami przez $(- 2)$ .

$\{\begin{cases} x + y = 21 | \cdot (- 2) \\ 4 x + 2 y = 54 \end{cases}$

$\{\begin{cases} - 2 x - 2 y = - 42 \\ 4 x + 2 y = 54 \end{cases}$

Gdy dodamy do siebie pierwsze i drugie równanie, to wyeliminujemy zmienną $y$ i otrzymamy równanie z jedną niewiadomą:

$2 x = 12$ ,

którego rozwiązaniem jest $x = 6$ . Teraz podstawiamy do pierwszego równania w miejsce $x$ liczbę $6$ i otrzymamy równanie $6 + y = 21$ , którego rozwiązaniem jest $y = 15$ .

Sprawdźmy nasz wynik: $6$ kotów i $15$ kur to łącznie $21$ zwierząt, które mają $6 \cdot 4 + 15 \cdot 2 = 24 + 30 = 54$ nogi. Wszystko się zgadza, więc możemy już sformułować odpowiedź:

Na podwórku bawi się $6$ kotów i $15$ kur.

Wzorując się na powyższym przykładzie, rozwiązując zadnie tekstowe możemy postępować według schematu:

Ustalamy, które wielkości wymienione w treści zadania nie są znane. Może nam w tym pomóc pytanie na końcu zadania.

Oznaczamy nieznane wielkości – niewiadome – małymi literami alfabetu, np. $x$ , $y$ , $z$ , $a$ , $b$ , $. . .$

Próbujemy przedstawione w zadaniu informacje zapisane „słownie” przedstawić w postaci wyrażeń algebraicznych zawierających nazwy niewiadomych z poprzedniego kroku.

Z wyrażeń algebraicznych ułożonych w poprzednim kroku tworzymy układ równań.

Rozwiązujemy układ równań jedną ze znanych metod, np. metodą podstawianiametoda podstawianiametodą podstawiania lub przeciwnych współczynników.

Sprawdzamy, czy nasze rozwiązanie odpowiada treści zadania.

Formułujemy odpowiedź do zadania.

Często w ułożeniu zależności pomiędzy niewiadomymi przydatny jest rysunek pomocniczy. Zapoznajmy się z kolejnym przykładem.

Przykład 2

Ola i Kuba znaleźli na strychu stary cylinder. Gdy Kuba założył cylinder, to był o $36 cm$ wyższy od Oli. Gdy Ola włożyła cylinder, była wyższa od Kuby o $8 cm$ . Ile centymetrów wysokości miał znaleziony przez nich cylinder?

Rozwiązanie

Po przeczytaniu pytania końcowego, wiemy już na pewno, że jedną z niewiadomych jest wysokość cylindra. Nie znamy także wzrostu Oli i Kuby.

Oznaczmy przez $x$ wysokość cylindra, przez $y$ wzrost Kuby, a przez $z$ wzrost Oli.

Szukamy informacji w treści zadania, analizując zdanie po zdaniu:
- Ola i Kuba znaleźli na strychu stary cylinder. Ta informacja nie przyda nam się przy rozwiązaniu.
- Gdy Kuba założył cylinder, to był o $36 cm$ wyższy od Oli. To zdanie zawiera pierwszą informację, którą możemy zapisać w formie równania:
  $y + x = z + 36$ .
- Gdy Ola włożyła cylinder, była wyższa od Kuby o $8 cm$ . Druga informacja, z której możemy ułożyć równanie:
  $z + x = y + 8$ .
- Ile centymetrów wysokości miał znaleziony przez nich cylinder? To już jest tylko pytanie, które nie zawiera żadnej informacji.
  W tej chwili mamy trzy niewiadome, a tylko dwa równania. Zastanówmy się, czy wszystkie niewiadome są nam potrzebne. Zróbmy rysunek pomocniczy i spróbujmy coś zauważyć.
  R1b1bvQr689QO
  Analizując powyższy rysunek, zwróćmy uwagę na fakt, że tak naprawdę nie musimy znać wzrostu Oli i Kuby. Wystarczy, że będziemy wiedzieć, o ile centymetrów Kuba jest wyższy od Oli. Więc wracamy do Punktu 2 i oznaczamy przez $y$ różnicę wzrostu Kuby i Oli.
1. Oznaczmy przez $x$ wysokość cylindra, przez $y$ różnicę wzrostu Kuby i Oli.
  Teraz musimy zapisać nowe równania w punkcie trzecim.
2. Zamiast $y + x = z + 36$ , będzie $x + y = 36$ . Kuba jest wyższy od Oli o $y cm$ plus dodatkowe $x cm$ cylindra.
  Zamiast $z + x = y + 8$ , będzie $x - y = 8$ . Ola w cylindrze jest tylko o $8 cm$ wyższa od Kuby, więc wysokość cylindra przewyższa różnicę wzrostu pomiędzy Olą i Kubą o $8 cm$ .

Zapiszmy układ równań:
$\{\begin{cases} x + y = 36 \\ x - y = 8 \end{cases}$

Sam układ jest bardzo prosty do rozwiązania. Wystarczy, że dodamy do siebie równania stronami i otrzymamy
$2 x = 44$ , a stąd $x = 22$ .
Potem podstawmy $x = 22$ do pierwszego równania, a otrzymamy
$22 + y = 36$ , więc $y = 14$ .

Policzyliśmy, że Kuba jest o $14 cm$ wyższy od Oli, a cylinder ma $22 cm$ wysokości. W takim razie Kuba w cylindrze jest o $36 cm$ wyższy od Oli, a Ola w cylindrze jest o $8 cm$ wyższa od Kuby.

Możemy już napisać ostateczną odpowiedź:
Cylinder ma $22 cm$ wysokości.

Zapisując układ równań liniowych w postaci

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

możemy wyznaczyć jego rozwiązanie, używając wzorów Cramera:

W = |\begin{array}{l} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}| = a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}

Jeśli $W$ jest różne od zera, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci

\{\begin{cases} x = \frac{W_{x}}{W} \\ y = \frac{W_{y}}{W} \end{cases}

gdzie:

W_{x} = |\begin{array}{l} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}| = c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1}

W_{y} = |\begin{array}{l} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}| = a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1}

W kolejnych dwóch przykładach przedstawimy ich zastosowanie.

Przykład 3

Klasa $III b$ pojechała na wycieczkę do Krakowa wraz z trzema opiekunkami. W hotelu zarezerwowano $13$ pokoi. Wiadomo, że dziewczynki umieszczono w pokojach trzyosobowych, a chłopców w pokojach dwuosobowych. Opiekunki również zajęły pokój trzyosobowy. Ile było dziewcząt, a ilu chłopców w klasie $III b$ , jeśli wiadomo, że cała klasa $III b$ liczy $28$ osób?

Rozwiązanie

Niech $x$ oznacza liczbę dziewcząt, a $y$ liczbę chłopców.

Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} x + y = 28 \\ \frac{x}{3} + 1 + \frac{y}{2} = 13 | - 1 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 28 \\ \frac{x}{3} + \frac{y}{2} = 12 | \cdot 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 28 \\ 2 x + 3 y = 72 \end{cases}$

Obliczamy $W$ :

$W = |\begin{matrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{matrix}| = 1 \cdot 3 - 1 \cdot 2 = 1 \neq 0$ .

Układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Obliczamy $W_{x}$ i $W_{y}$ :

$W_{x} = |\begin{matrix} 28 & 1 \\ 72 & 3 \end{matrix}| = 28 \cdot 3 - 1 \cdot 72 = 12$ ,

$W_{y} = |\begin{matrix} 1 & 28 \\ 2 & 72 \end{matrix}| = 1 \cdot 72 - 2 \cdot 28 = 16$ .

Rozwiązaniem układu są liczby $x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{12}{1} = 12$ i $y = \frac{W_{y}}{W} = \frac{16}{1} = 16$ .

Odpowiedź: w klasie było $12$ dziewcząt i $16$ chłopców.

Przykład 4

Pani Kasia miała w portfelu banknoty dziesięciozłotowe oraz banknoty dwudziestozłotowe – w sumie $14$ banknotów. Gdy dołożyła do portfela jeszcze $80 zł$ , to okazało się, że w portfelu ma już $300 zł$ . Ile banknotów dziesięciozłotowych, a ile banknotów dwudziestozłotowych miała na początku w portfelu pani Kasia?

Rozwiązanie

$x$ – liczba banknotów dziesięciozłotowych,

$y$ – liczba banknotów dwudziestozłotowych.

Zapisujemy układ równań:

$\{\begin{cases} x + y = 14 \\ 10 x + 20 y + 80 = 300 | - 80 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 14 \\ 10 x + 20 y = 220 \end{cases}$

Zastosujemy wzory Cramerawzory Cramera – metoda wyznacznikówwzory Cramera. Obliczamy $W$ :

$W = |\begin{array}{l} 1 & 1 \\ 10 & 20 \end{array}| = 1 \cdot 20 - 1 \cdot 10 = 10$ .

$W$ jest liczbą różną od zera, więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Obliczamy $W_{x}$ i $W_{y}$ .

$W_{x} = |\begin{array}{l} 14 & 1 \\ 220 & 20 \end{array}| = 14 \cdot 20 - 1 \cdot 220 = 280 - 220 = 60$ .

$W_{y} = |\begin{array}{l} 1 & 14 \\ 10 & 220 \end{array}| = 1 \cdot 220 - 14 \cdot 10 = 220 - 140 = 80$ .

Rozwiązaniem układu jest więc para liczb:

$\{\begin{cases} x = \frac{60}{10} = 6 \\ y = \frac{80}{10} = 8 \end{cases}$

Odpowiedź:

Pani Katarzyna na początku miała w portfelu $6$ banknotów dziesięciozłotowych i $8$ banknotów dwudziestozłotowych.

W następnym przykładzie zaprezentujemy metodę rozwiązywania układów równań zwaną metodą podstawianiametoda podstawianiametodą podstawiania, która polega na wyznaczeniu z jednego z równań jednej niewiadomej i podstawieniu wyliczonej zależności do drugiego równania.

Przykład 5

Tata jest o $28$ lat starszy od swojego syna Kuby. Sześć lat temu tata był osiem razy starszy od syna. Ile lat ma tata?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$ obecny wiek Kuby, a przez $y$ obecny wiek taty. Sześć lat temu Kuba miał $x - 6$ , a tata $y - 6$ lat. Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} y = x + 28 \\ y - 6 = 8 \cdot (x - 6) \end{cases}$

Zastosujemy metodę podstawiania i do drugiego równania w miejsce $y$ wstawimy $x + 28$ .

$\{\begin{cases} y = x + 28 \\ x + 28 - 6 = 8 \cdot (x - 6) \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = x + 28 \\ x + 22 = 8 x - 48 | - 8 x \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = x + 28 \\ - 7 x + 22 = - 48 | - 22 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = x + 28 \\ - 7 x = - 70 | : (- 10) \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 38 \\ x = 10 \end{cases}$

Odpowiedź:

Kuba ma $10$ lat, a tata $38$ .

Przykład 6

Gdy Maciek miał tyle lat, co Artur ma teraz, to był od niego o połowę starszy. Gdy Artur będzie miał tyle lat, co Maciek teraz, to Maciek będzie miał $40$ lat. Jaka jest różnica wieku pomiędzy Maćkiem, a Arturem?

Rozwiązanie

Oznaczmy przez $x$ obecny wiek Maćka, a przez $y$ obecny wiek Artura. Gdy Maciek miał $y$ lat, to był o połowę starszy od Artura, a więc Artur miał $\frac{2}{3} y$ lat. Uporządkujmy dane w tabeli:

osoba	przeszłość	teraźniejszość	przyszłość
Maciek	$y$	$x$	$40$
Artur	$\frac{2}{3} y$	$y$	$x$

Zauważmy, że w każdym okresie różnica wieku pomiędzy chłopcami zawsze jest taka sama, a więc równa $x - y$ . Zapiszmy układ równańukład równań:

$\{\begin{cases} y - \frac{2}{3} y = x - y \\ 40 - x = x - y \end{cases}$

$\{\begin{cases} x - y = \frac{1}{3} y \\ 2 x - y = 40 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x - \frac{4}{3} y = 0 \\ 2 x - y = 40 \end{cases}$

Zastosujemy metodę przeciwnych współczynnikówmetoda przeciwnych współczynnikówprzeciwnych współczynników i pomnóżmy pierwsze równanie stronami przez $(- 2)$ :

$\{\begin{cases} - 2 x + \frac{8}{3} y = 0 \\ 2 x - y = 40 \end{cases}$

Po dodaniu do siebie równań stronami, otrzymamy:

$\frac{5}{3} y = 40 | \cdot \frac{3}{5}$

$y = 24$ , $x = \frac{4}{3} y = 32$ .

Odpowiedź:

Maciek ma $32$ lata, a Artur $24$ , więc Maciek jest o $8$ lat starszy od Artura.

Wiele zadań tekstowych wymaga zastosowania układu równań, które nie są liniowe. Na ogół w takich zadaniach wyznaczamy jedną ze zmiennych z jednego z równań, a drugie równanie doprowadzamy do postaci równania kwadratowego.

Przykład 7

Na samochód ciężarowy załadowano worki z ekogroszkiem, ważące w sumie $2$ tony oraz worki z węglem, które łącznie ważyły dwa razy więcej niż ekogroszek. Wszystkie worki z ekogroszkiem ważyły tyle samo, a każdy worek z węglem ważył o $15 kg$ więcej niż jeden worek ekogroszku. Ile ważył jeden worek z ekogroszkiem, a ile z węglem, jeśli wiadomo, że w sumie załadowano na samochód ciężarowy $180$ worków?

Rozwiązanie

Niech $x$ oznacza wagę jednego worka z ekogroszkiem (w $kg$ ), a $y$ – liczbę worków z ekogroszkiem. Wówczas $x + 15$ oznacza wagę jednego worka z węglem, $180 - y$ liczbę tych worków. Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} x \cdot y = 2000 \\ (x + 15) \cdot (180 - y) = 4000 \end{cases}$

Ponieważ $x$ jest liczbą dodatnią, więc możemy podzielić pierwsze równanie przez $x$ , a drugie przez $x + 15$ :

$\{\begin{cases} y = \frac{2000}{x} \\ 180 - y = \frac{4000}{x + 15} \end{cases}$

Gdy dodamy do siebie równania stronami, otrzymamy równanie:

$\frac{2000}{x} + \frac{4000}{x + 15} = 180 | \cdot \frac{x (x + 15)}{20}$ ,

$100 x + 1500 + 200 x = 9 x (x + 15)$ ,

$300 x + 1500 = 9 x^{2} + 135 x$ ,

$9 x^{2} - 165 x - 1500 = 0 | : 3$ ,

$3 x^{2} - 55 x - 500 = 0$ .

Obliczamy wyróżnik trójmianu:

$Δ = 55^{2} - 4 \cdot 3 \cdot (- 500) = 3025 + 6000 = 9025$ , $\sqrt{Δ} = 95$

Równanie ma dwa rozwiązania:

$x_{1} = \frac{55 - 95}{6} < 0$ , $x_{2} = \frac{55 + 95}{6} = 25$ .

Po odrzuceniu ujemnego rozwiązania, które nie spełnia warunków zadania, otrzymujemy, że $x = 25$ , a $y = \frac{2000}{25} = 80$ .

Odpowiedź:

Jeden worek ekogroszku ważył $25 kg$ , a jeden worek węgla ważył $40 kg$ .

Słownik

układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi

układem dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi x, y nazywamy każdy układ równań, który da się doprowadzić do postaci:

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

metoda podstawiania

nazywamy tak metodę rozwiązywania układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, w której z jednego z równań wyznaczamy jedną z niewiadomych i podstawiamy do drugiego równania wyznaczone wyrażenie (w miejsce tej zmiennej). Otrzymane w ten sposób drugie równanie jest równaniem z jedną niewiadomą.

metoda przeciwnych współczynników

nazywamy tak metodę rozwiązywania układów dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi, w której mnożymy obydwa (lub jedno z równań) stronami przez takie liczby, aby przy jednej z niewiadomych otrzymać przeciwne współczynniki; wówczas po dodaniu do siebie równań stronami jedna ze zmiennych się redukuje, a do rozwiązania pozostaje równanie z jedną niewiadomą

wzory Cramera – metoda wyznaczników

niech dany będzie układ równań

\{\begin{cases} a_{1} x + b_{1} y = c_{1} \\ a_{2} x + b_{2} y = c_{2} \end{cases}

oznaczmy przez $W$ wyznacznik główny:

W = |\begin{array}{l} a_{1} & b_{1} \\ a_{2} & b_{2} \end{array}| = a_{1} \cdot b_{2} - a_{2} \cdot b_{1}

jeśli wyznacznik główny $W$ jest różny od zera, to układ ma dokładnie jedno rozwiązanie postaci

\{\begin{cases} x = \frac{W_{x}}{W} \\ y = \frac{W_{y}}{W} \end{cases}

gdzie:

W_{x} = |\begin{array}{l} c_{1} & b_{1} \\ c_{2} & b_{2} \end{array}| = c_{1} \cdot b_{2} - c_{2} \cdot b_{1}

W_{y} = |\begin{array}{l} a_{1} & c_{1} \\ a_{2} & c_{2} \end{array}| = a_{1} \cdot c_{2} - a_{2} \cdot c_{1}

Wprowadzenie

Animacja

Słownik