Każdą z par kątów: $\alpha$ i $\psi$, $\beta$ i $\omega$, $\gamma$ i $\eta$, $\delta$ i $\phi$ nazywamy kątami naprzemianległymi, przy czym pary $\alpha$ i $\psi$ oraz  $\delta$ i $\phi$ nazywamy jeszcze dodatkowo zewnętrznymi, a pary  $\beta$ i $\omega$ oraz $\gamma$ i $\eta$ - wewnętrznymi.

Każdą z par kątów: $\alpha$ i $\eta$, $\beta$ i $\phi$, $\gamma$ i $\psi$, $\delta$ i $\omega$ nazywamy kątami odpowiadającymi.
Każdą z par kątów: $\alpha$ i $\phi$,  $\beta$ i $\eta$, $\gamma$ i $\omega$,  $\delta$ i $\psi$ nazywamy kątami jednostronnymi, przy czym pary $\alpha$ i $\phi$ oraz  $\beta$ i $\eta$ nazywamy jeszcze dodatkowo zewnętrznymi, a pary  $\beta$ i $\eta$ oraz $\gamma$ i $\omega$ - wewnętrznymi.

Jeżeli proste $k$ i $l$ są równoległe, to kąty naprzemianległe są równe.

Jeżeli kąty naprzemianległe są równe, to proste $k$ i $l$ są równoległe.

Jeżeli proste $k$ i $l$ są równoległe, to kąty odpowiadające są równe.

Jeżeli kąty odpowiadające są równe, to proste $k$ i $l$ są równoległe.

Proste $k$ i $l$ są równoległe. Oblicz miary zaznaczonych kątów $\alpha$ i $\beta$.

RBdtuBQHgctFt

Ilustracja przedstawia trzy proste: dwie równoległe proste k i l oraz prostą je przecinającą. Przy punkcie przecięcia prostej l z trzecią prostą zaznaczono po prawej stronie trzeciej prostej dwa kąty przecięcia dopełniające się do stu osiemdziesięciu stopni: kąt rozwarty alfa i ostry beta. Przy punkcie przecięcia prostej k z trzecią prostą zaznaczono rozwarty kąt o mierze 141 stopni. Kąt ten znajduje się po lewej stronie trzeciej prostej.

Zaznaczony kąt $141°$ oraz kąt $\alpha$ to kąty naprzemianległe, a ponieważ proste $k$ i $l$ są równoległe, to $\alpha =141°$.
Z kolei kąty $\alpha$ i $\beta$ są przyległe, więc $\alpha +\beta =180°$.
Zatem $\beta =180°-\alpha =180°-141°=39°$.

Zastosujemy poznane twierdzenia do odpowiedzi na pytanie dlaczego pantograficzny mechanizm podnoszenia blatu gwarantuje nam, że płaszczyzna blatu stołu w pozycji podniesionej jest zawsze równoległa do płaszczyzny tego blatu w pozycji opuszczonej. Sporządźmy w tym celu rysunek poglądowy.

RlsDlrwhlgg78

Ilustracja przedstawia dwa poziome odcinki: położony wyżej jest odcinek C D, a niżej A B. Dodatkowo narysowano dwa równoległe ukośne odcinki: C M, gdzie punkt M należy do odcinka A B oraz odcinek N B, gdzie punkt N należy do odcinka C D. Oznaczono również dwa kąty: kąt M C N to kąt beta oraz kąt A M C to kąt alfa.

Wyobraźmy sobie, że odcinek $AB$ to blat w pozycji opuszczonej, odcinek $CD$ – blat w pozycji podniesionej, odcinki $MC$ i $BN$ to jednakowej długości elementy mechanizmu. Odcinki $AB$ i $CD$ będą równoległe tylko wtedy, gdy kąty $\alpha$ i $\beta$ będą równe.

Jak więc konstruktor mechanizmu zagwarantował sobie równość tych kątów?

Poza tym, że odcinki $MC$ i $BN$ są równej długości to jeszcze punkty $M$ i $N$ mocowania elementów mechanizmu są tak dobrane, żeby zachodziła równość $\left|MB\right|=\left|CN\right|$.
To oznacza, że czworokąt $MBNC$ ma dwie pary przeciwległych boków równej długości. Jest to więc równoległobok, co oznacza, że istotnie $AB\parallel CD$.

Przekątna $AC$ czworokąta $ABCD$ dzieli go na dwa trójkąty równoramienne, przy czym w trójkącie $ABC$ jest ona ramieniem, a w trójkącie $ACD$ podstawą. Rozstrzygnij, czy jeśli kąty przy wierzchołkach $B$ i $D$ tego czworokąta są równe odpowiednio $80°$ i $140°$, to czworokąt $ABCD$ jest trapezem.

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

RLOEIB3kvAvUD

Ilustracja przedstawia czworokąt A D C B. Pomiędzy jego wierzchołkami A oraz C przechodzi prosta tworząca z odcinkiem A B kąt ostry Alfa, z odcinkiem C B kąt Beta, a z odcinkiem D C kąt Gama. W czworokącie oznaczone są również kąty A D C  sto czterdzieści stopni oraz kąt A B C osiemdziesiąt stopni.

Ponieważ trójkąt $ABC$ jest równoramienny i $BC$ jest jego podstawą, więc kąty $ABC$ i $ACB$ przy tej podstawie są równe, więc $\beta =80°$.

Kąt przy wierzchołku $A$ w tym trójkącie jest więc równy $\alpha =180°-2·80°=20°$.

Trójkąt $ACD$ też jest równoramienny, a jego podstawą jest odcinek $AC$. Zatem kąty przy tej podstawie są równe.

Trzeci kąt przy wierzchołku $D$ jest równy $140°$, więc $140°+2·\gamma =180°$. Stąd $\gamma =20°$.

Ponieważ kąty $\alpha$ i $\gamma$ są równe, więc z twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o kątach naprzemianległych wynika, że proste $AB$ i $CD$ sa równoległe. To oznacza, że czworokąt $ABCD$ jest trapezem o podstawach $AB$ i $CD$.

pary kątów utworzonych przez przecięcie dwóch prostych $k$ i $l$ trzecią prostą $m$, leżące po przeciwnych stronach prostej $m$

pary kątów utworzonych przez przecięcie dwóch prostych $k$ i $l$ trzecią prostą $m$, leżące po tej samej stronie prostej $m$