Oś symetrii wykresu funkcji to prosta, względem której ten wykres jest sam  do siebie symetryczny.

Wyznaczymy równanie osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej określonej wzorem:

a) $f\left(x\right)=-\frac{1}{3}{x}^2+2x-4$

b) $f\left(x\right)=\sqrt{2}{x}^2-x+2$

Rozwiązanie:

a) $a=-\frac{1}{3}$ oraz $b=2$, zatem

$x=\frac{-2}{2·\left(-{\displaystyle \frac{1}{3}}\right)}=\frac{-2}{-{\displaystyle \frac{2}{3}}}=3$

b) $a=\sqrt{2}$ oraz $b=-1$, zatem

$x=\frac{1}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{4}$

Wyznaczymy równanie osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem:

a) $f\left(x\right)=-3x^2+5$

b) $f\left(x\right)=2{\left(x-2\right)}^2-3$

c) $f\left(x\right)=-{\left(x+8\right)}^2$

Rozwiązanie:

Za każdym razem odczytujemy wartość współczynnika $p$, zatem osią symetrii wykresu funkcji $f$ jest prosta o równaniu:

a) $x=0$

b) $x=2$

c) $x=-8$

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ należą punkty o współrzędnych $\left(-3,5\right)$ oraz $\left(5,5\right)$. Wyznaczymy równanie osi symetrii paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

Rozwiązanie:

Jeżeli do wykresu funkcji kwadratowej $f$ należą punkty o współrzędnych $\left(-3,5\right)$ oraz $\left(5,5\right)$, to korzystając z powyższej własności równanie osi symetrii jest postaci:

$x=\frac{-3+5}{2}=\frac{2}{2}=1$

Na rysunku przedstawiono wykresy funkcji kwadratowych $f$, $g$, $h$ i $k$.

RdYWKJdsrnKzO

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus pięciu do pięciu oraz pionową oś Y od minus siedmiu do czterech. Na rysunku zaznaczono także wykresy czterech funkcji będących parabolami. Pierwsza parabola g ma ramiona skierowane ku górze i przecina oś X w punkcie minus cztery i w punkcie zero. Jej wierzchołek ma współrzędne nawias minus dwa średnik minus cztery. Druga parabola f ma ramiona skierowane ku górze i przecina oś X w puncie dwa oraz punkcie cztery. Jej wierzchołek ma współrzędne nawias trzy średnik minus jeden. Trzecia parabola h ma ramiona skierowane w dół i nie przecina osi x. Jej wierzchołek ma współrzędne nawias minus trzy średnik minus cztery. Czwarta parabola k ma ramiona skierowane w dół i ma tylko jedno miejsce zerowe w punkcie jeden. Jej wierzchołek ma współrzędne nawias jeden średnik zero koniec nawiasu.

Odczytamy równania osi symetrii wykresów tych funkcji.

Rozwiązanie:

Równania osi symetrii tych funkcji są określone poniższymi wzorami:

• dla wykresu funkcji $f$: $x=3$,

• dla wykresu funkcji $g$: $x=-2$,

• dla wykresu funkcji $h$: $x=-3$,

• dla wykresu funkcji $k$: $x=1$.

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru m osią symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=x^2+\left(m^2-m\right)x+3$ jest prosta o równaniu $x=-6$.

Rozwiązanie:

Wartości współczynników ze wzoru funkcji kwadratowej $f$ wynoszą odpowiednio:

$a=1$

$b=m^2-m$

Zatem oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ opisuje równanie:

$x=\frac{-m^2+m}{2}$

Wobec tego do wyznaczenia wartości parametru rozwiązujemy równanie:

$-6=\frac{-m^2+m}{2}$

$-m^2+m+12=0$

$m_1=\frac{-1-7}{-2}=4$ oraz

$m_2=\frac{-1+7}{-2}=-3$

Wobec tego $m\in \left\{-3,4\right\}$.

Wyznaczymy, dla jakich wartości parametru $m$ równaniem osi symetrii wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=2x^2-\left(m+3\right)x-2$ jest prosta, która leży w $\text{I}$ i $\text{IV}$ ćwiartce układu współrzędnych.

Rozwiązanie:

Wartości współczynników ze wzoru funkcji kwadratowej $f$ wynoszą odpowiednio:

$a=2$

$b=-\left(m+3\right)$

Zatem oś symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji kwadratowej $f$ opisuje równanie:

$x=\frac{m+3}{4}$

Jeżeli oś symetrii wykresu tej funkcji leży w $\text{I}$ i $\text{IV}$ ćwiartce układu współrzędnych, to do wyznaczenia wartości parametru $m$ rozwiązujemy nierówność:

$\frac{m+3}{4}>0$

Zatem $m>-3$, czyli $m\in \left(-3,\infty \right)$.

Do wykresu funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$, gdzie $a$, $b$, $c\in \mathrm{ℝ}$ oraz $a\ne 0$ należą punkty o współrzędnych $\left(-1,-2\right)$, $\left(2,-5\right)$ oraz $\left(0,1\right)$. Wyznaczymy równanie osi symetrii wykresu tej funkcji.

Rozwiązanie:

Jeżeli do wykresu funkcji kwadratowej $f$ należą punkty o współrzędnych $\left(-1,-2\right)$, $\left(2,-5\right)$ oraz $\left(0,1\right)$, to do wyznaczenia wartości współczynników $a$, $b$, $c$ rozwiązujemy układ równań:

$\left\{\begin{array}{l}-2=a·{\left(-1\right)}^2+b·\left(-1\right)+c\\ -5=a·2^2+b·2+c\\ 1=a·0^2+b·0+c\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2=a-b+c\\ -5=4a+2b+c\\ 1=c\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}-2=a-b+1\\ -5=4a+2b+1\\ 1=c\end{array}\right.$

$\left\{\begin{array}{l}a=-2\\ b=1\\ c=1\end{array}\right.$

Zatem osią symetrii paraboli, która jest wykresem funkcji $f$ jest prosta o równaniu:

$x=\frac{-1}{2·\left(-2\right)}=\frac{1}{4}$

Wyznaczymy równanie osi symetrii wykresu funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\left|x^2-8x+13\right|$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że wzór funkcji $f$ możemy zapisać w następującej postaci:

$f\left(x\right)=\left|x^2-8x+13\right|=\left|{\left(x-4\right)}^2-3\right|$

Wykres tej funkcji przedstawiono na poniższym rysunku.

RPxUP9kZESSFD

Ilustracja przedstawia poziomą oś X od minus jedynki do siedmiu oraz pionową oś Y od minus jedynki do pięciu. Na rysunku zaznaczono również wykres funkcji y będący parabolą częściowo odbitą od osi X. Parabola ta ma ramiona skierowane w górę, natomiast jej wierzchołek znajdował się w punkcie nawias cztery średnik minus trzy koniec nawiasu. Parabola ta posiadała dwa miejsca zerowe, natomiast po odbiciu, cała część wykresu znajdująca się pod osią X została symetrycznie przeniesiona nad oś X. Po tym zabiegu wierzchołek paraboli znajduje się w punkcie nawias cztery średnik trzy koniec nawiasu.

Zatem osią symetrii wykresu tej funkcji jest prosta o równaniu $x=4$.

wykres funkcji kwadratowej

funkcja określona wzorem

gdzie $a$, $b$, $c\in \mathrm{ℝ}$ i $a\ne 0$