Narysujemy ostrosłup prawidłowy trójkątny o podstawie $ABC$ i wierzchołku $W$. Zaznaczymy kąt $\alpha$ nachylenia krawędzi bocznej $AW$ do płaszczyzny podstawy. Wiedząc, że jest on równy kątowi między krawędziami bocznymi $AW$ i $BW$ tego ostrosłupa, obliczymy miarę kąta $\alpha$.

Rozwiązanie:

Zaczniemy oczywiście od rysunku:

RFlbBXQVwV59X

Ilustracja przedstawia ostrosłup A B C W. Z wierzchołka W upuszczono wysokość bryły. Powstał odcinek W S. Wierzchołek A połączono z wierzchołkiem S. Powstał trójkąt A S W z zaznaczonym kątem alfa przy wierzchołku A oraz W.

Aby zaznaczyć kąt $\alpha$ nachylenia krawędzi bocznej $AW$ do płaszczyzny podstawy, określamy najpierw rzut prostokątny tej krawędzi na podstawę. Punkt $A$ już do niej należy, natomiast rzutem prostokątnym punktu $W$ na podstawę jest oczywiście spodek wysokości $S$ ostrosłupa. Ostatecznie opisany w zadaniu kąt $\alpha$ to kąt $WAS$. Aby wyznaczyć miarę tego kąta wykorzystamy definicję funkcji trygonometrycznej cosinus w trójkącie prostokątnym $WSA$. Oznaczmy długość krawędzi podstawy ostrosłupa jako $a$, zaś długość jego krawędzi bocznej jako $b$:

$\frac{\left|AS\right|}{\left|AW\right|}=\cos \alpha$

$\frac{\frac{2}{3}·\frac{a\sqrt{3}}{2}}{b}=\cos \alpha$

$\frac{a\sqrt{3}}{3b}=\cos \alpha$

$\frac{a}{b\sqrt{3}}=\cos \alpha$

$a=b\sqrt{3}\cos \alpha$

Wykorzystując informację z tekstu zadania, że kąt $\alpha$ jest równy kątowi $AWB$ i stosując twierdzenie cosinusówtwierdzenie cosinusówtwierdzenie cosinusów w trójkącie $AWB$, otrzymujemy związek:

${\left|AB\right|}^2={\left|AW\right|}^2+{\left|WB\right|}^2-2·\left|AW\right|·\left|WB\right|·\cos \measuredangle AWB$

$a^2=2b^2-2b^2\cos \alpha$.

Podstawiając teraz poprzednio otrzymaną zależność między $a$, $b$ oraz $\alpha$ otrzymujemy:

$3b^2{\cos }^2\alpha =2b^2-2b^2\cos \alpha$

$3{\cos }^2\alpha =2-2\cos \alpha$

$3{\cos }^2\alpha +2\cos \alpha -2=0$.

Traktując ostatnie równanie jak równanie kwadratowe o niewiadomej $\cos \alpha$, otrzymujemy:

$\cos \alpha =\frac{-1-\sqrt{7}}{3}$ lub $\cos \alpha =\frac{-1+\sqrt{7}}{3}$

Ponieważ jednak wartość pierwszego rozwiązania jest mniejsza od $\left(-1\right)$, rozpatrujemy jedynie drugie rozwiązanie, które w przybliżeniu jest równe $0,54858$.

Wykorzystując tablice matematyczne, odczytujemy, że kąt $\alpha$, który mieliśmy wyznaczyć, ma w przybliżeniu miarę $57°$.

Dany jest ostrosłup prawidłowy sześciokątny $ABCDEFW$. Wiedząc, że tangens kąta nachylenia krawędzi bocznej tego ostrosłupa do płaszczyzny jego podstawy jest równy $\frac{\sqrt{3}}{2}$, obliczymy miary kątów wewnętrznych trójkąta $PWR$, gdzie $P$, $R$ są środkami równoległych krawędzi podstawy ostrosłupa.

Rozwiązanie:

Zacznijmy ponownie od rysunku bryły. W przypadku ostrosłupa prawidłowego wszystkie ściany boczne są trójkątami równoramiennymi przystającymi. Stąd nie ma znaczenia, przy których krawędziach zaznaczymy opisane w zadaniu kąty. Ważne jest jedynie poprawne naniesienie na rysunek rzutu prostokątnego krawędzi bocznej na płaszczyznę podstawy.

RANaiZeuUQWoL

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy A B C D E F W. Z wierzchołka W upuszczono dwie wysokości naprzeciwległych ścian bocznych A B W oraz E D W. Na środku odcinka A B utworzono punkt P, natomiast na środku odcinka E D utworzono punkt R. Powstał nowy trójkąt równoramienny P R W. Z wierzchołka W na środek podstawy bryły w punkcie S upuszczono wysokość. Punkt S znajduje się na środku prostej P R. Powstał nowy trójkąt W S C z zaznaczonym kątem alfa przy wierzchołku C. W trójkącie P R W zaznaczono również kąt beta znajdujący się przy wierzchołku P i R.

Ponownie przyjmijmy oznaczenia dla krawędzi podstawy $a$, zaś dla wysokości ostrosłupa $H$. Litery te pojawią się w rozwiązaniu dla poprawienia czytelności przekształceń, nie traktujemy ich jednak jako danych. W końcowej odpowiedzi nie mogą się zatem pojawić.

Wykorzystamy definicję funkcji trygonometrycznej tangens w trójkącie prostokątnym $WSC$:

$\frac{H}{a}=\mathrm{tg}\alpha$

$\frac{H}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$H=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Zauważmy teraz, że jeżeli $P$ jest środkiem krawędzi podstawy, to odcinek $PS$ jest wysokością trójkąta równobocznego $ABS$ o boku długości $a$. Ostatecznie wykorzystując w trójkącie $WSP$ definicję funkcji trygonometrycznej tangens otrzymamy:

$\frac{\left|WS\right|}{\left|PS\right|}=\mathrm{tg}\beta$

$\frac{H}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\mathrm{tg}\beta$

$\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\mathrm{tg}\beta$

$1=\mathrm{tg}\beta$.

To oczywiście oznacza, że kąt $\beta$ ma miarę $45°$, jako kąt wewnętrzny trójkąta prostokątnego $WSP$. Ponieważ jednak trójkąt $PWR$ jest trójkątem równoramiennym, bo wysokości ścian bocznych są sobie równe, to ostatecznie kąty wewnętrzne tego trójkąta są równe odpowiednio:

$\left|\measuredangle WPR\right|=\left|\measuredangle PRW\right|=45°$ oraz $\left|\measuredangle PWR\right|=90°$.

Wyznaczymy cosinusy kątów, jakie tworzą krawędź boczna i ściana boczna z podstawą prawidłowego ostrosłupa pięciokątnego, którego ściany boczne są trójkątami równobocznymi.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy następujące oznaczenia dla ostrosłupa:

R2IdALWDXSxZw

Ilustracja przedstawia ostrosłup prawidłowy A B C D E W. Z wierzchołka W na środek podstawy w punkcie S upuszczono wysokość bryły. Powstał trójkąt prostokątny C S W z kątem alfa przy wierzchołku C. Z wierzchoł W upuszczono również wysokość ściany bocznej C B W. Powstał punkt P znajdujący się na środku krawędzi C B. Punkt ten połączono z punktem S. Utworzono trójkąt prostokątny P S W z zaznaczonym kątem beta przy wierzchołku P.

Mamy wyznaczyć miary dwóch kątów oznaczonych na rysunku symbolami $\alpha$ i $\beta$. Pierwszy kąt jest kątem między prostą a płaszczyznąkąt między prostą a płaszczyznąkątem między prostą a płaszczyzną, drugi jest kątem między płaszczyznamikąt między płaszczyznami (kąt dwuścienny)kątem między płaszczyznami. Ponieważ wszystkie ściany boczne są trójkątami równobocznymi, to wszystkie krawędzie ostrosłupa są tej samej długości. Oznaczmy tę długość symbolem $a$.

Rozważmy najpierw własności podstawy naszego ostrosłupa, czyli pięciokąta foremnego.

RytnhaI3Od7Pj

Ilustracja przedstawia pięciokąt foremny A B C D F o środku w punkcie S oraz długości boku a. Na środku boku B C utworzono punkt P. Powstał trójkąt prostokątny P S C o przeciwprostokątnej C S o długości m. W trójkącie A S B zaznaczono kąt gamma znajdujący się przy wierzchołku S.

Skoro pięciokąt jest foremny, to jego kąt środkowykąt środkowy wielokąta foremnegokąt środkowy $\gamma$ ma miarę $\frac{{\displaystyle 360°}}{{\displaystyle 5}}=72°$. Pozwala to wyznaczyć długości odcinków $PS$ oraz $CS$ w zależności od przyjętej długości krawędzi $a$.

Odcinek $PS$ (promień okręgu wpisanego do pięciokąta) wyrażamy przez $a$ z trójkąta $CPS$:

$\frac{{\displaystyle \left|PC\right|}}{{\displaystyle \left|PS\right|}}=\mathrm{tg}36°$

$\left|PS\right|=\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}a}}{{\displaystyle \mathrm{tg}36°}}$

$\left|PS\right|=\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle 2\mathrm{tg}36°}}$.

Jednocześnie ten sam trójkąt $CPS$ pozwala nam wyznaczyć odcinek $CS$ (promień okręgu opisanego na pięciokącie):

$\frac{{\displaystyle \left|PC\right|}}{{\displaystyle \left|CS\right|}}=\sin 36°$

$\left|CS\right|=\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}a}}{{\displaystyle \sin 36°}}$

$\left|CS\right|=\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle 2\sin 36°}}$

Wykorzystując tablice trygonometryczne, możemy odszukać dokładne wartości funkcji $\sin 36°=\frac{{\displaystyle \sqrt{10-2\sqrt{5}}}}{{\displaystyle 4}}$ oraz $\mathrm{tg}36°=\sqrt{5-2\sqrt{5}}$. Mamy zatem:

$\left|PS\right|=\frac{a}{2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}$ oraz $\left|CS\right|=\frac{2a}{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}$

Ostatecznie wykorzystując w ostrosłupie trójkąt $CSW$ otrzymujemy cosinus kąta między krawędzią boczną a płaszczyzną podstawy ostrosłupa:

$\frac{{\displaystyle \left|CS\right|}}{{\displaystyle \left|CW\right|}}=\cos \alpha$

$\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle 2a}}{{\displaystyle \sqrt{10-2\sqrt{5}}}}}}{{\displaystyle a}}=\cos \alpha$

$\frac{{\displaystyle 2}}{{\displaystyle \sqrt{10-2\sqrt{5}}}}=\cos \alpha$

Analogicznie dla trójkąta $PSW$ wyznaczamy cosinus kąta między ścianą boczną a płaszczyzną podstawy ostrosłupa:

$\frac{{\displaystyle \left|PS\right|}}{{\displaystyle \left|PW\right|}}=\cos \beta$

$\frac{{\displaystyle \frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle 2\sqrt{5-2\sqrt{5}}}}}}{{\displaystyle \frac{{\displaystyle a\sqrt{3}}}{{\displaystyle 2}}}}=\cos \beta$

$\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle \sqrt{15-6\sqrt{5}}}}=\cos \beta$.

Oczywiście, jeżeli zamiast dokładnych wartości funkcji trygonometrycznych kąta $36°$ wykorzystalibyśmy ich wartości przybliżone, to wartość merytoryczna naszego rozwiązania nie uległaby zmianie.

Podstawą ostrosłupa jest kwadrat $ABCD$. Krawędź boczna $DW$ tego ostrosłupa jest prostopadła do płaszczyzny podstawy. Najdłuższa i najkrótsza krawędź boczna tego ostrosłupa pozostają ze sobą w stosunku $1:\sqrt{7}$. Obliczymy sinusy kątów nachylenia krawędzi bocznych ostrosłupa do jego płaszczyzny podstawy.

Rozwiązanie:

Zacznijmy od rysunku:

R6oC8XRWpQVsa

Ilustracja przedstawia ostrosłup A B C D W z kwadratem w podstawie. Krawędź W D ma długość a natomiast odcinek W B ma długość a pierwiastków z siedmiu. Powstał trójkąt prostokątny W D B o kącie prostym przy wierzchołku D.

Przeanalizujemy najpierw kąty nachylenia poszczególnych krawędzi bocznych do płaszczyzny podstawy. Jeżeli krawędź $WD$ jest prostopadła do podstawy, to pierwszy z poszukiwanych sinusów kątów to $\sin 90°=1$. Dla pozostałych krawędzi bocznych jeden ich koniec już należy do podstawy, zaś drugim końcem jest punkt $W$. Rzutem prostokątnym tego punktu na płaszczyznę jest punkt $D$. Konsekwentnie rzutem prostokątnym odcinka $AW$ na podstawę jest odcinek $AD$, dla odcinka $BW$ jest to odcinek $BD$ i dla odcinka $CW$ jest to odcinek $CD$.

Na rysunku sytuację możemy przedstawić następująco:

R1N1qJLgo1Za5

Ilustracja przedstawia ostrosłup A B C D W z kwadratem w podstawie. Krawędź W D ma długość a natomiast odcinek W B ma długość a pierwiastków z siedmiu. Powstał trójkąt prostokątny W D B o kącie prostym przy wierzchołku D. W trójkącie zaznaczono kąt alfa, który znajduje się przy wierzchołku B. Zaznaczono również dwa kąty beta, pierwszy umiejscowiony pomiędzy odcinkami A W i A D oraz drugi pomiędzy odcinkami D C i W C.

Musimy zatem obliczyć sinus kąta $\alpha$ między krawędzią boczną $BW$ a przekątną $BD$ podstawy:

$\frac{{\displaystyle \left|WD\right|}}{{\displaystyle \left|WB\right|}}=\sin \alpha$

$\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle a\sqrt{7}}}=\sin \alpha$

$\frac{{\displaystyle \sqrt{7}}}{{\displaystyle 7}}=\sin \alpha$.

Analogicznie postępujemy obliczając sinus kąta nachylenia krawędzi $WA$ oraz krawędzi $WC$ do płaszczyzny podstawy:

$\frac{{\displaystyle \left|WD\right|}}{{\displaystyle \left|WA\right|}}=\frac{{\displaystyle \left|WD\right|}}{{\displaystyle \left|WC\right|}}=\sin \beta$

$\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle \left|WA\right|}}=\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle \left|WC\right|}}=\sin \beta$.

Brakującą długość krawędzi bocznej wyznaczymy na mocy twierdzenia Pitagorasa stosowanego kolejno w trójkątach $WDA$, $DAB$ oraz $WDB$:

${\left|WA\right|}^2={\left|DW\right|}^2+{\left|DA\right|}^2$

${\left|WA\right|}^2=a^2+{\left(\frac{{\displaystyle \left|DB\right|}}{{\displaystyle \sqrt{2}}}\right)}^2$

${\left|WA\right|}^2=a^2+\frac{{\displaystyle {\left|DB\right|}^2}}{{\displaystyle 2}}$

${\left|WA\right|}^2=a^2+\frac{{\displaystyle {\left|WB\right|}^2-{\left|WD\right|}^2}}{{\displaystyle 2}}$

${\left|WA\right|}^2=a^2+\frac{{\displaystyle {\left(a\sqrt{7}\right)}^2-a^2}}{{\displaystyle 2}}$

${\left|WA\right|}^2=a^2+\frac{{\displaystyle 6a^2}}{{\displaystyle 2}}$

${\left|WA\right|}^2=4a^2$

$\left|WA\right|=2a$

Możemy już obliczyć sinus kąta $\beta$:

$\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle \left|WA\right|}}=\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle \left|WC\right|}}=\sin \beta$

$\frac{{\displaystyle a}}{{\displaystyle 2a}}=\sin \beta$

$\frac{{\displaystyle 1}}{{\displaystyle 2}}=\sin \beta$.

kąt między prostą a jej rzutem prostopadłym na daną płaszczyznę

każda z dwóch części przestrzeni, na jakie dzielą ją dwie półpłaszczyzny, nazywane ścianami kąta dwuściennego, mające wspólną krawędź nazywaną krawędzią kąta dwuściennego, wraz z punktami każdej półpłaszczyzny

twierdzenie określające związek między kątem wewnętrznym trójkąta i bokami tego trójkąta:

w dowolnym trójkącie kwadrat długości jednego z boków jest równy sumie kwadratów długości pozostałych dwóch boków pomniejszonej o podwojony iloczyn tych boków i cosinusa kąta między nimi zawartego

ostrosłup prosty, którego podstawa jest wielokątem foremnym

kąt, którego wierzchołkiem jest środek okręgu opisanego na tym wielokącie, a ramiona zawierają promienie tego okręgu poprowadzone do dwóch sąsiednich wierzchołków wielokąta