Przeczytaj

Równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , dla $a \neq 0$ ma pierwiastki wtedy i tylko wtedy, gdy $∆ \geq 0$ .

Jeżeli $∆ > 0$ to równanie kwadratowe ma dwa rozwiązania:

x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}

x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}

Jeżeli $∆ = 0$ wtedy równanie kwadratowe ma jedno rozwiązanie:

x_{0} = \frac{- b}{2 a}

Wzory Viete’a

Twierdzenie: Wzory Viete’a

Jeżeli równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ i $∆ \geq 0$ , ma pierwiastki $x_{1}$ , $x_{2}$ , to:

x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}

oraz

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}

Dowód

x_{1} + x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} + \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{- 2 b}{2 a} = - \frac{b}{a}

x_{1} \cdot x_{2} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a} \cdot \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a} = \frac{(- b - \sqrt{∆}) (- b + \sqrt{∆})}{4 a^{2}} =

= \frac{b^{2} - ∆}{4 a^{2}} = \frac{b^{2} - (b^{2} - 4 a c)}{4 a^{2}} = \frac{4 a c}{4 a^{2}} = \frac{c}{a}

Przykład 1

Obliczymy sumę i iloczyn pierwiastków równania $x^{2} + 2 x - 15 = 0$ (jeżeli równanie ma pierwiastki).

$x^{2} + 2 x - 15 = 0$

Obliczymy wyróżnik trójmianu kwadratowego.

$∆ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 15) = 4 + 60 = 64$

$∆ > 0$ zatem równanie ma dwa pierwiastki $x_{1}$ i $x_{2}$ .

Korzystając z wzorów Viete'awzory Viete’awzorów Viete'a obliczymy sumę pierwiastków:

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = \frac{- 2}{1} = - 2$

Obliczymy iloczyn pierwiastków:

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 15}{1} = - 15$

Przykład 2

Obliczymy sumę i iloczyn rozwiązań równania $2 x^{2} - 3 x + 7 = 0$ (jeżeli istnieją).

$∆ = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 9 - 56 = -47$

„Delta” jest liczbą ujemną, zatem równanie nie posiada miejsc zerowych.

Poznane wzory wykorzystamy teraz do określenia znaku pierwiastków równania kwadratowego.

Przykład 3

Jeśli równanie kwadratowe $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ ma pierwiastki, to określimy ich znaki.

$∆ = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Ponieważ $∆ > 0$ to równanie ma dwa pierwiastki $x_{1}$ , $x_{2}$ .

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{6}{1} = 6$

Ponieważ $x_{1} \cdot x_{2} > 0$ , to możemy wnioskować, że oba pierwiastki $x_{1}$ i $x_{2}$ mają ten sam znak (oba są ujemne lub oba są dodatnie).

$x_{1} + x_{2} = \frac{- b}{a} = - \frac{- 5}{1} = 5$

Ponieważ $x_{1} + x_{2} > 0$ oraz obie liczby mają ten sam znak, zatem $x_{1}$ i $x_{2}$ są liczbami dodatnimi.

Przykład 4

Określimy znaki pierwiastków równania $x^{2} + x - 12 = 0$ (jeżeli istnieją).

$∆ = 1^{2} - 4 \cdot (- 12) = 1 + 48 = 49 > 0$

$x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a} = \frac{- 12}{1} = - 12$

Jeżeli iloczyn liczb jest ujemny oznacza to, że liczby $x_{1}$ i $x_{2}$ mają różne znaki (jedna jest dodatnia, a druga ujemna).

Wniosek:

Liczby $x_{1}$ , $x_{2}$ są dodatnie gdy:

$x_{1} \cdot x_{2} > 0$

$x_{1} + x_{2} > 0$

Liczby $x_{1}$ , $x_{2}$ są ujemne gdy:

$x_{1} \cdot x_{2} > 0$

$x_{1} + x_{2} < 0$

Liczby $x_{1}$ , $x_{2}$ mają różne znaki gdy $x_{1} \cdot x_{2} < 0$ .

Przykład 5

Jeśli równanie $2 x^{2} + 5 x - 4$ ma pierwiastki, to obliczymy sumę ich kwadratów.

$∆ = 5^{2} - 4 \cdot 2 \cdot (- 4) = 25 + 32 = 57 > 0$

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = x_{1}^{2} + 2 x_{1} \cdot x_{2} + x_{2}^{2} - 2 x_{1} \cdot x_{2} = {(x_{1} + x_{2})}^{2} - 2 x_{1} \cdot x_{2} = {(- \frac{b}{a})}^{2} - 2 \frac{c}{a}$

Zatem:

$x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = {(- \frac{5}{2})}^{2} - 2 \cdot \frac{- 4}{2} = \frac{25}{4} + 4 = 6 \frac{1}{4} + 4 = 10 \frac{1}{4}$

Suma kwadratów pierwiastków równania jest równa $10 \frac{1}{4}$ .

Słownik

wzory Viete’a

jeżeli równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , gdzie $a \neq 0$ , ma pierwiastki $x_{1}$ , $x_{2}$ , to:

$x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}$ oraz $x_{1} \cdot x_{2} = \frac{c}{a}$

Wprowadzenie

Film samouczek

Słownik