W tej lekcji omówimy przesunięcia paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$, gdzie $a\in \mathrm{ℝ}\setminus \left\{0\right\}$ , wzdłuż osi $X$ układu współrzędnych.

Przesunięcie paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej,  wzdłuż osi odciętych układu współrzędnych powoduje nie tylko zmianę położenia wykresu tej funkcji w układzie współrzędnych, ale także jej niektórych własności. Na podstawie obserwacji położenia paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej po przesunięciu ustalimy, które własności nie ulegną zmianie, a także określimy, co zmienia się po takim przekształceniuprzekształcenie wykresu funkcji f(x - p)przekształceniu.

Naszkicujmy parabolę, będącą wykresem funkcji określonej wzorem $f\left(x\right)=2x^2$.

W celu naszkicowania wykresu funkcji $f$ przedstawmy w tabeli wartości funkcji $f$ dla kilku argumentów:

Wykres funkcji $f$ przedstawia się następująco:

RZAsfG9RCvqrx

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do pięciu. Na płaszczyźnie, niebieskim kolorem narysowano wykres funkcji $f\left(x\right)$. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$ i ramionach skierowanych w górę. Wykres funkcji przebiega przez punkty o współrzędnych $\left(-1;2\right)$, oraz $\left(1;2\right)$.

Przesuńmy parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ o $3$ jednostki w prawo, wzdłuż osi $X$. W ten sposób otrzymujemy parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

Wtedy wykresy funkcji $f$ i $g$ przedstawiają się następująco:

R1GfDDNm3I9XK

Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $f\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $f\left(x-3\right)$. Wykres funkcji czerwonej stanowi przesunięcie wykresu funkcji niebieskiej o trzy jednostki w prawo. Zatem, wierzchołek funkcji $f\left(x-3\right)$ znajduje się w punkcie $\left(3;0\right)$, a wykres przebiega przez punkty o współrzędnych $\left(2;2\right)$, oraz $\left(4;2\right)$.

Otrzymana parabola, będąca wykresem funkcji $g=f\left(x-3\right)$ jest przystająca do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$.

Zauważmy, że dziedzina  funkcji $g$ jest taka sama, jak dziedzina  funkcji $f$, podobnie - zbiory wartości są takie same.

Określmy niektóre własności funkcji $g$:

• wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(3,0\right)$,

• osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=3$,

• funkcja $g$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,3\right.⟩$,

• funkcja $g$ jest rosnąca w przedziale $\left.⟨3,\infty \right)$,

Jeżeli przesuwamy wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$, gdzie $a>0$, wzdłuż osi $X$ o $p$ jednostek w prawo lub $p$ jednostek w lewo, to otrzymujemy wykres funkcji $g$ o następujących własnościach:

• wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(\mathrm{p},0\right)$

• osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=p$,

• funkcja $g$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,p\right.⟩$,

• funkcja $g$ jest rosnąca w przedziale $\left.⟨p,\infty \right)$,

• funkcja $g$ przyjmuje wartość najmniejszą dla argumentu $x=\mathrm{p}$.

Naszkicujmy parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-3x^2$.

W celu naszkicowania wykresu przedstawmy w tabeli wartości funkcji $f$ dla kilku argumentów:

Wykres funkcji $f$ przedstawia się następująco:

R1YK8hJ92h6JP

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus pięciu do jeden. Na płaszczyźnie, niebieskim kolorem narysowano wykres funkcji $f\left(x\right)$. Wykresem funkcji jest parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$ i ramionach skierowanych w dół. Wykres funkcji przebiega przez punkty o współrzędnych $\left(-1;-3\right)$, oraz $\left(1;-3\right)$.

Przesuńmy parabolę, będącą wykresem funkcji $f$ o $1$ jednostkę w lewo, wzdłuż osi $X$. W ten sposób otrzymujemy parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

Wtedy wykresy funkcji $f$ i $g$ przedstawiają się następująco:

RlzScC6Kwwo7A

Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $f\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $f\left(x+1\right)$. Wykres funkcji czerwonej stanowi przesunięcie wykresu funkcji niebieskiej o jedną jednostkę w lewo. Zatem, wierzchołek funkcji $f\left(x+1\right)$ znajduje się w punkcie $\left(-1;0\right)$, a wykres przebiega przez punkty o współrzędnych $\left(-2;-3\right)$, oraz $\left(0;-3\right)$.

Otrzymana parabola, będąca wykresem funkcji $g=f\left(x+1\right)$ jest przystająca do paraboli, będącej wykresem funkcji $f$.

Zauważmy, że dziedzina  funkcji $g$ jest taka sama, jak dziedzina  funkcji $f$ podobnie - zbiory wartości są takie same.

Określmy niektóre własności funkcji $g$:

• wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(-1,0\right)$,

• osą symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=-1$,

• funkcja $g$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,-1\right.⟩$,

• funkcja $g$ jest malejąca w przedziale $\left.⟨-1,\infty \right)$,

Jeżeli przesuwamy wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$, gdzie $a<0$, wzdłuż osi $X$ o $p$ jednostek w prawo lub $p$ jednostek w lewo, to otrzymujemy wykres funkcji $g$ o następujących własnościach:

• wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(\mathrm{p},0\right)$

• osią symetrii paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=p$,

• funkcja $g$ jest rosnąca w przedziale $\left(-\infty ,p\right.⟩$,

• funkcja $g$ jest malejąca w przedziale $\left.⟨p,\infty \right)$,

• funkcja $g$ przyjmuje wartość największą dla argumentu $x=\mathrm{p}$.

Parabolę, będącą wykresem funkcji $g$ określonej wzorem $g\left(x\right)=a{\left(x-p\right)}^2$ otrzymujemy przez przesunięcie paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=a{x}^2$, gdzie $a\in \mathrm{ℝ}$ oraz $a\ne 0$:

• o $p$ jednostek w prawo lub w lewo wzdłuż osi $X$,

• o wektor $\overrightarrow{u}=\left[p,0\right]$.

Przekształcenia paraboli, będącej wykresem funkcji kwadratowej wzdłuż osi $X$ wykorzystamy do rozwiązywania problemów matematycznych.

Przykład 1

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2$ przesunięto o $6$ jednostek w lewo wzdłuż osi $X$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

RcsvxcOk1MdGP

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus dziesięciu do trzech, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $f\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $g\left(x\right)$. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$, oraz ramionach skierowanych w górę. Parabola przebiega przez punkty $\left(-2;2\right)$, oraz $\left(2;2\right)$. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o sześć jednostek w lewo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji $g\left(x\right)$ jest punkt $\left(0;-6\right)$. Funkcja przebiega przez punkty $\left(-8;2\right)$, oraz $\left(-4;2\right)$.

Dla funkcji $g$ wyznaczymy:

a) oś symetrii wykresu funkcji,

b) przedziały monotoniczności,

c) współrzędne wierzchołka paraboli, która jest wykresem tej funkcji.

Rozwiązanie:

a) oś symetrii wykresu funkcji $g$ opisujemy za pomocą równania $x=-6$,

b) funkcja $g$ jest:

• malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-6\right.⟩$,

• rosnąca w przedziale $\left.⟨-6,\infty \right)$.

c) wierzchołek paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ ma współrzędne $\left(-6,0\right)$.

Przykład 2

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-\frac{1}{2}{x}^2$ oraz wykres funkcji $g$ po przesunięciu o $2$ jednostki w prawo wykresu funkcji $f$ wzdłuż osi $X$.

RRvBiyKM8oQ9J

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus pięciu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus jeden do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $f\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $f\left(x-2\right)$. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$, oraz ramionach skierowanych w dół. Parabola przebiega przez punkty $\left(-2;-2\right)$, oraz $\left(2;-2\right)$. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o dwie jednostki w prawo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji $f\left(x-2\right)$ jest punkt $\left(2;0\right)$. Funkcja przebiega przez punkty $\left(0;-2\right)$, oraz $\left(4;-2\right)$.

Określimy:

a) równanie osi symetrii wykresu funkcji $g$,

b) wartość funkcji $g$ dla argumentu $12$.

Rozwiązanie:

a) osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=2$,

b) możemy zauważyć, że zachodzi zależność $g\left(x\right)=f\left(x-2\right)$, zatem

$g\left(12\right)=f\left(12-2\right)=f\left(10\right)=-\frac{1}{2}·{10}^2=-50$.

Przykład 3

Parabolę, będącą wykresem funkcji kwadratowej $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^2$ przesunięto o $4$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$ i otrzymano parabolę, będącą wykresem funkcji $g$.

RRBuIRwvfCg75

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus ośmiu do pięciu, oraz z pionową osią $Y$ od minus dwóch do sześciu. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $f\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $g\left(x\right)$. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$, oraz ramionach skierowanych w górę. Parabola przebiega przez punkty $\left(-3;3\right)$, oraz $\left(3;3\right)$. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o cztery jednostki w lewo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji $g\left(x\right)$ jest punkt $\left(0;-4\right)$. Funkcja przebiega przez punkty $\left(-7;3\right)$, oraz $\left(-1;3\right)$.

Uporządkujmy rosnąco liczby: $g\left(-8\right)$, $g\left(-4\right)$, $g\left(-3\right)$ oraz $g\left(-6\right)$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że osią symetrii wykresu funkcji $g$ jest prosta o równaniu $x=-4$ oraz ramiona paraboli, będącej wykresem funkcji $g$ są skierowane do góry.

Ponieważ funkcja $g$ jest malejąca w przedziale $\left(-\infty ,-4\right.⟩$ oraz rosnąca w przedziale $\left.⟨-4,\infty \right)$, zatem

$g\left(-4\right)<g\left(-3\right)<g\left(-6\right)<g\left(-8\right)$.

Przykład 4

Naszkicujemy wykres funkcji $f$ określonej wzorem $f\left(x\right)=-{\left(x+2\right)}^2$.

Rozwiązanie:

Zauważmy, że w celu naszkicowania wykresu funkcji $f$ wystarczy:

• naszkicować wykres funkcji $g$ określonej wzorem $g\left(x\right)=-x^2$,

• przesunąć wykres funkcji $g$ o wektor $\overrightarrow{u}=\left[-2,0\right]$, co jest równoznaczne z przesunięciem wykresu tej funkcji o $2$ jednostki w lewo wzdłuż osi $X$.

W celu naszkicowania wykresu przedstawmy w tabeli wartości funkcji $g$ dla kilku argumentów:

$x$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$
$g\left(x\right)$	$-4$	$-1$	$0$	$-1$	$-4$

Rgu5KGuGWp9kp

Na ilustracji przedstawiono układ współrzędnych z poziomą osią $X$ od minus sześciu do trzech, oraz z pionową osią $Y$ od minus czterech do dwóch. Na płaszczyźnie narysowano niebieski wykres funkcji $g\left(x\right)$, oraz czerwony wykres funkcji $g\left(x\right)$. Wykres funkcji niebieskiej stanowi parabola o wierzchołku w punkcie $\left(0;0\right)$, oraz ramionach skierowanych w dół. Parabola przebiega przez punkty $\left(-2;-4\right)$, oraz $\left(2;-4\right)$. Czerwony wykres funkcji stanowi przesunięcie wykresu niebieskiego o dwie jednostki w lewo. Zatem wierzchołkiem wykresu funkcji $f\left(x\right)$ jest punkt $\left(-2;0\right)$. Funkcja przebiega przez punkty $\left(-4;-4\right)$, oraz $\left(0;-4\right)$.

Słownik