Warto przeczytać

Ciśnienie $p$ to wielkość skalarna, która dla danej powierzchni $S$ równa jest ilorazowi wartości składowej prostopadłej do $S$ siły $\vec{F}$ przez pole tej powierzchni,

Jednostką ciśnienia jest paskal, $\text{Pa}=\text{N/m}^2$

W zamkniętym naczyniu cylindrycznym o polu powierzchni podstawy $S$ i wysokości $h$ znajduje się płyn o masie $m$ wypełniający to naczynie (Rys. 1.).

R4jqwQ4OM0SeG

Rys. 1. Zdjęcie przedstawia szklany słoik stojący na płaskiej poziomej powierzchni, wyłożonej białym papierowym ręcznikiem. Słoik wypełniony jest w całości fioletową cieczą. Naczynie zamknięte jest zieloną pokrywką. To przykład cieczy umieszczonej w naczyniu zamkniętym.

W polu grawitacyjnym Ziemi płyn działa na dno naczynia siłą o wartości $F=m g$ (Rys. 2.), co odpowiada ciśnieniu $p=\frac{mg}{S}$.

RPh7T6v8tz7z2

Rys. 2. Rysunek przedstawia cylindryczne naczynie wypełnione cieczą. Naczynie pokazano w postaci pionowo ustawionego cylindra o jasnoniebieskich krawędziach. Podstawy cylindra są ciemnoniebieskie, naczynie jest zamknięte od góry. Wewnątrz cylindra znajduje się ciecz zaznaczona w postaci jasnoniebieskiego wypełnienia. W górnej części cylindra znajduje się niewielki, przezroczysty obszar, sugerujący, że naczynie nie jest wypełnione w całości. Powierzchnia podstawy cylindrycznego naczynia opisana została wielką literą S. Wysokość cylindra opisano małą literą h. Na dolną podstawę naczynia działa siła opisana wielką literą F ze strzałką oznaczającą wektor. Siłę tę narysowano w postaci czarnej, pionowej strzałki skierowanej w dół i przyłożonej do środka dolnej podstawy naczynia. Siła działająca na dolną podstawę naczynia jest to siła nacisku równa co do wartości ciężarowi cieczy znajdującej się w naczyniu. Obok naczynia, po lewej umieszczono pionową czarną strzałkę skierowaną w dół. Symbolizuje ona wektor przyspieszenia ziemskiego opisany małą literą g ze strzałką nad nią.

Ponieważ $m=d V$ ($d$ to gęstość płynu, zaś objętość naczynia to $V = Sh$), ciśnienie płynu przy dnie naczynia wynosi

Zależy więc ono tylko od wysokości słupa cieczy w naczyniu i jej gęstości oraz przyspieszenia grawitacyjnego, a nie zależy wprost od ciężaru cieczy. Jest to ciśnienie hydrostatyczneCiśnienie hydrostatyczneciśnienie hydrostatyczne, a dość nieintuicyjny - na pierwszy rzut oka - brak zależności od ciężaru jest powodem określenia tej zależności jako paradoksu hydrostatycznegoParadoks hydrostatycznyparadoksu hydrostatycznego.

Jeżeli naczynie z płynem będzie otwarte (Rys. 3. i 4.) to ciśnienie wywierane na dno naczynia będzie większe o wartość ciśnienia zewnętrznego, czyli tutaj atmosferycznegoCiśnienie atmosferyczneatmosferycznego $p_{0}$:

Rxc5YquLwqVmJ

Rys. 3. Zdjęcie przedstawia szklany słoik stojący na płaskiej poziomej powierzchni, wyłożonej białym papierowym ręcznikiem. Słoik wypełniony jest w połowie fioletową cieczą. Słoik nie jest zamknięty pokrywką, a zatem jest to przykład cieczy znajdującej się w naczyniu otwartym.

RRqgF86JFaqZW

Rys. 4. Rysunek przedstawia cylindryczne naczynie wypełnione cieczą. Naczynie pokazano w postaci pionowo ustawionego cylindra o jasnoniebieskich krawędziach. Dolna podstawa naczynia jest ciemnoniebieska, a górna przezroczysta. Sugeruje to, że naczynie jest otwarte od góry. Wewnątrz cylindra znajduje się ciecz pokazana w postaci jasnoniebieskiego wypełnienia. W górnej części cylindra znajduje się niewielki, przezroczysty obszar sugerujący, że naczynie nie jest wypełnione w całości. Powierzchnię podstawy cylindrycznego naczynia opisano wielką literą S. Wysokość cylindra opisano małą literą h. Na dolną podstawę naczynia działa siła opisana wielką literą F ze strzałką oznaczającą wektor. Siłę tę narysowano w postaci czarnej, pionowej strzałki skierowanej w dół i przyłożonej do środka dolnej podstawy naczynia. Siła działająca na dolną podstawę naczynia to siła nacisku równa co do wartości ciężarowi cieczy znajdującej się w naczyniu. Nad górnym otworem naczynia umieszczono opis wielka litera P z indeksem dolnym zero symbolizuje ciśnienie atmosferyczne, czyli ciśnienie jakie wywiera powietrze znajdujące się nad naczyniem. Obok naczynia, po lewej umieszczono czarną pionową strzałkę skierowaną w dół. Symbolizuje ona wektor przyspieszenia ziemskiego opisany małą literą g ze strzałką nad nią.

Atmosfera ziemska rozciąga się nad powierzchnią Ziemi na wysokość ponad 100 km. Jako wartość średnią ciśnienia atmosferycznego, tzw. ciśnienie normalneCiśnienie normalneciśnienie normalne, przyjęto wartość ciśnienia powietrza na poziomie morza,

Jest to wartość nazywana 1 atmosferą. Inne jednostki to bar i używany w meteorologii hektopaskal (czyli sto paskali) oraz milimetry słupa rtęci, przy czym

Przykład - masa atmosfery ziemskiej

Atmosferę ZiemiAtmosfera ZiemiAtmosferę Ziemi stanowi warstwa powietrza utrzymywana przy powierzchni siłami grawitacji. Można oszacować masę atmosfery $M$, uwzględniając ciśnienie normalne $p_{0}$ oraz pole powierzchni Ziemi.

Ponieważ

gdzie $g$ - przyspieszenie ziemskie, $R$ - promień Ziemi, to

Stanowi to ok. 1 milionowej masy Ziemi równej ok. $5,795 \cdot 10^{24}\,\text{kg}$.

Przykład - prawo Archimedesa

Istnienie ciśnienia atmosferycznego wykazał doświadczalnie Torricelli w XVII wieku. Wykazał, że słup rtęci w naczyniu zamkniętym o wysokości $760\,\text{mm}$ równoważy ciśnienie atmosferyczne o wartości $1013\,25\,\text{Pa}$. Wyjaśnił, że rtęć w probówce podtrzymywana jest przez ciśnienie atmosferyczne. Wysokość słupa rtęci zależy od wartości tego ciśnienia. Jest to zasada działania barometru rtęciowego (Rys. 5.).

RFq9BwyeKlZ1V

Rys. 5. Rysunek przedstawia schemat działania barometru rtęciowego. Pokazano dwa naczynia: jedno z nich, w postaci otwartego od góry prostokąta o czarnych krawędziach, umieszczono w dolnej części. W naczyniu tym znajduje się niebieska ciecz, której poziom zaznaczono w górnej części naczynia. Drugie naczynie ma postać otwartego od dołu cylindra zaokrąglonego w górnej części. Otwór naczynia zanurzony jest w cieczy, którą wypełnione jest dolne naczynie. Cylindryczna część układu wypełniona jest niebieską cieczą do około dwóch trzecich wysokości. W cylindrycznym naczyniu poziom cieczy jest znacznie wyższy niż w dolnym naczyniu. Wysokość słupa cieczy w cylindrycznym naczyniu, liczona od poziomu cieczy w naczyniu dolnym opisano małą literą h równą siedemset sześćdziesiąt milimetrów. W górnej części cylindrycznego naczynia zamkniętego od góry znajduje się pusta przestrzeń pokazana w postaci przezroczystego wypełnienia. Ciśnienie w pustym obszarze cylindrycznego naczynia opisano małą literą p równą zero. Obszar ten nazywany jest próżnią Torricellego. Wysokość słupa rtęci oraz wysokość obszaru próżni zależy od ciśnienia atmosferycznego wywierającego nacisk na poziom cieczy w dolnym naczyniu, nad którą nie znajduje się obszar naczynia cylindrycznego.

Doświadczenia Torricellego zainspirowały Pascala do zbadania zależności ciśnienia od wysokości. Ponieważ ciśnienie zależy od wysokości słupa powietrza znajdującego się powyżej miejsca, w którym je mierzymy, więc wysoko w górach będzie ono niższe niż na poziomie morza.

Płyny oddziałują na zanurzone w nich ciała siłami nacisku (parcia) skierowanymi prostopadle do powierzchni tych ciał. W jednorodnej cieczy ciśnienie jest jednakowe w punktach leżących na jednakowej wysokości nad Ziemią. Im głębiej zanurzymy obiekt w cieczy, tym ciśnienie to jest większe. Ta właściwość prowadzi do powstania siły wyporu. Rozważmy siły nacisku działające na sześcian o długości krawędzi $a$ umieszczony w cieczy o gęstości $d$ (Rys. 6.).

RuLIH55Jmlzbj

Rys. 6. Rysunek przedstawia siły działające na sześcian zanurzony w cieczy. Pokazano prostokątne naczynie o czarnych krawędziach, otwarte od góry. W naczyniu znajduje się ciecz w postaci błękitnego wypełnienia. Obok naczynia po lewej stronie widoczna jest czarna i pionowa strzałka skierowana w dół. Opisuje ona wektor przyspieszenia ziemskiego mała litera g ze strzałką oznaczającą wektor. Wewnątrz naczynia wypełnionego cieczą znajduje się sześcian pokazany w postaci kwadratu o niebieskich krawędziach i białym wypełnieniu. Symbolizuje on sześcienny obiekt zanurzony w cieczy. Górna krawędź sześcianu znajduje się na głębokości mała litera h z indeksem dolnym jeden. Dolna krawędź sześcianu znajduje się na głębokości mała litera h z indeksem dolnym dwa. Na ścianki naczynia działają siły narysowane w postaci czarnych strzałek przyłożonych do środków krawędzi prostokąta na rysunku. Na górną powierzchnię sześcianu działa siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym jeden i strzałką oznaczającą wektor. Wektor tej siły narysowano w postaci czarnej pionowej strzałki przyłożonej do środka górnej krawędzi kwadratu i skierowanej w dół. Na dolną powierzchnię sześcianu działa siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym dwa i strzałką oznaczającą wektor. Wektor tej siły narysowano w postaci czarnej pionowej strzałki przyłożonej do środka dolnej krawędzi kwadratu i skierowanej w górę. Na lewą powierzchnię sześcianu działa siła opisana wielką literą F z indeksem dolnym trzy i strzałką oznaczającą wektor. Wektor tej siły narysowano w postaci czarnej poziomej strzałki przyłożonej do środka lewej krawędzi kwadratu i skierowanej w prawo. Na prawą powierzchnię sześcianu działa siła wielka litera F z indeksem dolnym cztery i strzałką oznaczającą wektor. Wektor tej siły narysowano w postaci czarnej poziomej strzałki przyłożonej do prawej lewej krawędzi kwadratu i skierowanej w lewo. Siła działająca na górną powierzchnię sześcianu jest najmniejsza, a siła działająca na dolną powierzchnię sześciany jest największa. Siły działające na powierzchnie boczne sześcianu mają jednakowe wartości.

W płynie na różnych głębokościach panuje różne ciśnienie hydrostatyczne - im głębiej, tym ciśnienie to jest większe. Na ścianki boczne zanurzonego ciała działają siły o takich samych wartościach i przeciwnych zwrotach, które się kompensują. Inaczej jest ze ściankami górną i dolną. Ciecz wywiera większe ciśnienie na podstawę dolną zanurzonego ciała niż na powierzchnię górną. Wypadkowa działających tu sił to właśnie siła wyporu, wielkość zbadana pierwotnie przez Archimedesa.

Siła nacisku cieczy $\vec{F}_1$ na górną ściankę, na głębokości $h_{1}$ ma wartość

analogicznie, dla dolnej ścianki na głębokości $h_{2}$,

Wypadkowa tych sił jest skierowana do góry i ma wartość $F=F_{2}-F_{1}$, a ponieważ $h_{2}-h_{1}=a$, to

Siła wyporu równa jest więc ciężarowi cieczy zawartej w objętości zanurzonego ciała i nie zależy od masy ciała, a jedynie od jego objętości. Prawo Archimedesa głosi, że na każde ciało zanurzone w cieczy działa siła wyporu cieczy, skierowana ku górze, a więc przeciwnie niż ciężar ciała, i równa co do wartości ciężarowi cieczy wypartej przez to ciało, co zapisujemy jako

gdzie $V$ to objętość zanurzonej części ciała (może być ona równa jego całkowitej objętości).

Przykład - dno Rowu Mariańskiego

Obliczmy ciśnienie wody na dnie Rowu MariańskiegoRów MariańskiRowu Mariańskiego ($h = 10911\,\text{m p.p.m.}$). Woda morska ma gęstość $d_{w} = 1030\,\text{kg/m}^3$, przyspieszenie grawitacyjne $g$ = 9,80665 m/sIndeks górny 2². Ile razy to ciśnienie jest większe od ciśnienia atmosferycznego?

Rozwiązanie: Wiemy, że

więc po podstawieniu danych liczbowych dostajemy

(Wartość podawana w literaturze wynosi $110,2\,\text{MPa}$.) Zatem

Rów Mariański badany był z wykorzystaniem specjalnie w tym celu zbudowanego batyskafu załogowego. Wysoka wartość ciśnienia hydrostatycznego (ponad 1000 razy większa od ciśnienia atmosferycznego) spowodowałaby zgniecenie zwykłego okrętu podwodnego.

Słowniczek

Paradoks hydrostatyczny

Paradoks hydrostatyczny

(ang. hydrostatic paradox) – ciśnienie na dnie naczynia nie zależy wprost od ciężaru cieczy zawartej w naczyniu, tylko od wysokości słupa cieczy nad dnem.

RH18L0s0W7TWs

Rys. 7. Na rysunku przedstawiono trzy naczynia napełnione cieczą do tej samej wysokości opisanej małą literą h. Naczynia narysowano jedno obok drugiego, w postaci różnych kształtów o czarnych krawędziach i ciemnoniebieskim wypełnieniu symbolizującym ciecz. Podstawy naczyń narysowano jako poziome różowe odcinki o jednakowej długości opisane wielkimi literami S. Oznacza to, że pola powierzchni podstaw są takie same. Naczynie po lewej pokazano w postaci kształtu o szerokiej podstawie i zmniejszającym się ku górze przekroju. W środku ustawiono naczynie o kształcie prostokąta, którego przekrój nie zmienia się wraz z wysokością. Po prawej stronie pokazano naczynie rozszerzające się ku górze, a zatem jego przekrój rośnie wraz z wysokością. Na dnie naczyń panuje dokładnie takie samo ciśnienie, pomimo tego, że w naczyniach znajduje się różna ilość cieczy. Dzieje się tak, ponieważ naczynia napełnione są do tej samej wysokości. Ciśnienie na dnie naczynia nie zależy od ilości cieczy (a zatem jej ciężaru), ale od wysokości słupa cieczy.