Równaniem wielomianowym stopnia $n$, $n\in \mathrm{\mathbb{N}}$, nazywamy równanie, które można zapisać w postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$.

Pierwiastkiem wielomianu nazywamy taką liczbę rzeczywistą $a$, dla której zachodzi równość $W\left(a\right)=0$.

Jeżeli $x_1$, $x_2$, $x_3$ są rozwiązaniami równania $x^3+b{x}^2+cx+d=0$, to:

Liczba pierwiastków niezerowego wielomianu $W\left(x\right)$ jednej zmiennej jest nie większa niż stopień wielomianu $W\left(x\right)$. Rozwiązaniem równania $W\left(x\right)=0$ są wszystkie pierwiastki wielomianu $W\left(x\right)$.

Rozwiąż równanie $x^5+1=0$.

Możemy zauważyć, że $W\left(-1\right)=0$, czyli liczba $x=-1$ jest rozwiązaniem równania. Równanie nie posiada innych rzeczywistych rozwiązań.

Szczególnym równaniem wielomianowymrównanie wielomianowerównaniem wielomianowym może być równanie kwadratowe. Wyznaczymy rozwiązanie równania $x^2-3x+2=0$.

Wyróżnik trójmianu kwadratowego, zwany „deltą” jest równy:

$∆=9-8=1$, oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania.

Ze wzorów Viète’a dla równań stopnia drugiego mamy:

$x_1·x_2=\frac{c}{a}$, $x_1·x_2=2$

$x_1+x_2=-\frac{b}{a}$, $x_1+x_2=3$

Jakie to liczby, których iloczyn jest równy $2$, a suma $3$? Łatwo zauważyć, że są to liczby $1$ i $2$.

Ponieważ liczba pierwiastków jest nie większa, niż stopień równania, zatem są to wszystkie rozwiązania równania.

Rozwiązania równania to $x=1$, $x=2$.

Szczególnym równaniem wielomianowym jest również równanie liniowe, czyli takie w którym niewiadoma występuje w pierwszej potędze.

Rozwiążemy równanie $100x-1=0$.

$100x-1=0$

$100x=1$

$x=\frac{1}{100}$

Równanie ma jedno rozwiązanie $x=\frac{1}{100}$.

Rozwiążemy równanie $x^4-5x^2+4=0$.

W tym celu spróbujemy „odgadnąć” pierwiastek całkowity odpowiedniego wielomianu.

$W\left(x\right)=x^4-5x^2+4$.

Łatwo zobaczyć, że suma współczynników wielomianu jest równa $0$, więc liczba $1$ jest pierwiastkiem równania.

$W\left(1\right)={\left(1\right)}^4-5·1^2+4=1-5+4=0$

$W\left(-1\right)={\left(-1\right)}^4-5·{\left(-1\right)}^2+4=1-5+4=0$

Jest to równanie czwartego stopnia, więc może mieć cztery rozwiązania. Sprawdzimy, czy liczba $2$ jest pierwiastkiem tego wielomianu.

$W\left(2\right)=2^4-5·{\left(-2\right)}^2+4=16-20+4=0$

Zatem również $W\left(-2\right)={\left(-2\right)}^4-5·{\left(-2\right)}^2+4=16-20+4=0$.

Równanie ma cztery rozwiązania $x=-2$, $x=-1$, $x=1$, $x=2$.

Dane jest równanie $x^3-2x^2+zx+u=0$, które ma trzy pierwiastki. Obliczymy wartości parametrów $z$ i $u$ oraz rozwiązania $x_1$, $x_2$, $x_3$ równania, jeżeli wiadomo, że $x_2=x_1-3$, $x_3=x_1+2$.

Korzystając ze wzorów Viète’a dla równań trzeciego stopnia, mamy:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_1+x_2+x_3=2\\ x_1·x_2+x_1·x_3+x_2·x_3=z\\ x_1·x_2·x_3=-u\end{array}\right.$

$x_1+x_1-3+x_1+2=2$

$3x_1=3$

$x_1=1$

$x_2=1-3$

$x_2=-2$

$x_3=1+2$

$x_3=3$

Obliczymy wartości parametrów $z$ i $u$.

$1·\left(-2\right)+1·3+\left(-2\right)·3=z$

$-2+3-6=z$

$z=-5$

$1·\left(-2\right)·3=-u$

$u=6$

Liczby $1$, $-2$ i $3$ są pierwiastkami równania, parametr $z=-5$, parametr $u=6$.

równanie, które można zapisać w postaci $W\left(x\right)=0$, gdzie $W\left(x\right)$ jest wielomianem stopnia $n$