Z blachy należy zrobić zbiornik w kształcie prostopadłościanu o objętości $90 {\mathrm{m}}^3$. Spód tego zbiornika jest kwadratem. Koszt $1 {\mathrm{m}}^2$ blachy na wykonanie podłogi i pokrywy wynosi $30 \mathrm{zł}$, natomiast koszt $1 {\mathrm{m}}^2$ materiału na ściany boczne wynosi $40 \mathrm{zł}$. Wyznaczymy wymiary zbiornika aby koszt budowy był jak najmniejszy.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

RTxYZcxmsKgxI

Ilustracja przedstawia prostopadłościan o podstawie będącej kwadratem o boku x oraz o wysokości h.

Objętość możemy zapisać $V=x^2h$. Podstawiając dane oraz wyznaczając wysokość otrzymujemy

$h=\frac{90}{x^2}$

Pole powierzchni całkowitej wynosi $P_c=2P_p+P_b$. Następnie utworzymy funkcję kosztu, z danych $K=30\cdot 2P_p+40P_b$. Mamy zatem

$K=60x^2+160xh$

Stąd otrzymujemy funkcję zmiennej $x$ opisującą koszt wykonania zbiornika w zależności od długości krawędzi podstawy.

$K\left(x\right)=60x^2+\frac{14400}x$

Wyznaczymy dziedzinę, boki muszą być dodatnie

$D:x\in\left(0,\infty\right)$

Wyznaczymy pochodną

$K'\left(x\right)=120x-\frac{14400}{x^2}$

Miejscem zerowej pochodnej jest $x=2\sqrt[3]{15}$. Możemy zaobserwować, że należy do dziedziny

Naszkicujemy wykres pochodnej w otoczeniu miejsca zerowego

Rty9uIdEg0D4S

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonym na niej punktem 2 pierwiastki sześcienne z piętnastu. Przez punkt ten przebiega ukośna prosta podpisana K prim nawias x zamknięcie nawiasu. Prosta biegnie od lewego dolnego rogu ilustracji do prawego górnego rogu. Część prostej biegnącą poniżej osi X opisano minusem, a część nad osią plusem.

Wyznaczymy tabelę

Funkcja osiąga minimum dla $x=2\sqrt[3]{15}$. Zatem koszt wykonania zbiornika będzie najmniejszy, gdy $x=2\sqrt[3]{15}$. Wówczas wysokość zbiornika wynosi $h=\frac{90}{4\sqrt[3]{225}}=\frac{3\sqrt[3]{15}}{2} \mathrm{m}$.

Wymiary zbiornika to $2\sqrt[3]{15} \mathrm{m}\times 2\sqrt[3]{15} \mathrm{m}\times \frac{3\sqrt[3]{15}}{2} \mathrm{m}$.

W galerii sztuki zawieszony jest obraz o wysokości $1,5 \mathrm{m}$, tak, że jego dolny brzeg znajduje się na wysokości oczu oglądającego tj. $1,7 \mathrm{m}$ od podłogi (zobacz rysunek). Wyznaczymy w jakiej odległości oglądający powinien postawić aparat na podłodze, aby kąt widzenia obrazu był największy (pomiń wysokość aparatu).

R1LVhsztt2hK7

Ilustracja przedstawia kobietę stojącą w galerii sztuki przed obrazem wiszącym na ścianie. Na ilustrację naniesiono dwa trójkąty o wspólnym boku: A B C oraz A C D. Boki trójkąta prostokątnego A B C to: A B pozioma przyprostokątna określająca odległość kobiety od ściany. Odległość ta poprowadzona jest wzdłuż podłogi. Bok B C to pionowa przyprostokątna opisująca odległość od podłogi do dolnej krawędzi obrazu. Przekątna A C to odległość między stopami kobiety a dolną krawędzią obrazu. Przy wierzchołku B oznaczono kąt prosty. Trójkąt A C D ma następujące boki: ukośny bok A C będący odległością między stopami kobiety a dolną krawędzią obrazu, ukośny bok A D będący odległością między stopami kobiety a górną krawędzią obrazu oraz pionowy bok C D będący odległością między krawędziami obrazu. Na rysunku zaznaczono kąt ostry w trójkącie A C D przy wierzchołku A.

Rozwiązanie:

Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku.

Rm9Ywsy5FAnH2

Ilustracja przedstawia kobietę stojącą w galerii sztuki przed obrazem wiszącym na ścianie. Na ilustrację naniesiono dwa trójkąty o wspólnym boku: A B C oraz A C D. Boki trójkąta prostokątnego A B C to: A B pozioma przyprostokątna opisana jako x określająca odległość kobiety od ściany. Odległość ta poprowadzona jest wzdłuż podłogi. Bok B C to pionowa przyprostokątna o długości 1,7 opisuje odległość od podłogi do dolnej krawędzi obrazu. Przekątna A C to odległość między stopami kobiety a dolną krawędzią obrazu. Przy wierzchołku B oznaczono kąt prosty. Trójkąt A C D ma następujące boki: ukośny bok A C będący odległością między stopami kobiety a dolną krawędzią obrazu, ukośny bok A D będący odległością między stopami kobiety a górną krawędzią obrazu oraz pionowy bok C D o długości 1,5 będący odległością między krawędziami obrazu. Na rysunku zaznaczono kąt ostry beta w trójkącie A C D przy wierzchołku A.

Zauważmy, że $\mathrm{tg}\alpha=\frac{1,7}x$ oraz $\mathrm{tg}\left(\alpha+\beta\right)=\frac{3,2}x$.

Rozpisując wzór na tangens sumy kątówtangens sumy kątówtangens sumy kątów $\mathrm{tg}\left(\alpha +\beta \right)=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }$ mamy, że

$\frac{3,2}{x}=\frac{\mathrm{tg}\alpha +\mathrm{tg}\beta }{1-\mathrm{tg}\alpha \mathrm{tg}\beta }$, tj. $\frac{3,2}x=\frac{\frac{1,7}x+\mathrm{tg}\beta}{1-\frac{1,7}x\mathrm{tg}\beta}$.

Stąd

$\frac{3,2}x-\frac{5,44}{x^2}\operatorname{tg}\beta=\frac{1,7}x+\operatorname{tg}\beta$

Wyznaczymy $\mathrm{tg}\beta$

$\mathrm{tg}\beta=\frac{\frac{1,5}x}{1+\frac{5,44}{x^2}}$

Zauważmy, że dla kąta z przedziału $\left(0°,90°\right)$ funkcja tangens jest rosnąca. Dlatego szukając maksimum lokalnego funkcji $\mathrm{tg}\beta=\frac{\frac{1,5}x}{1+\frac{5,44}{x^2}}$ możemy szukać maksimum lokalnego funkcji $f(x)=\frac{\frac{1,5}x}{1+\frac{5,44}{x^2}}$

Dziedziną jest zbiór

$D:x\in\left(0,\infty\right)$

Wyznaczymy pochodną korzystając ze wzoru na iloraz pochodnych

$f\text{'}\left(x\right)=\frac{1,5\left(x^2+5,44\right)-1,5x\left(2x\right)}{{\left(x^2+5,44\right)}^2}=\frac{-1,5x^2+8,16}{{\left(x^2+5,44\right)}^2}$

Aby wyznaczyć miejsce zerowej pochodnej wystarczy licznik przyrównać do zera. Miejsca zerowe zaokrąglimy do dwóch miejsc po przecinku $x_1=-2,33$ oraz $x_2=2,33$. Pierwsze miejsce zerowe nie należy do dziedziny. Naszkicujemy wykres pochodnej.

RqokQkTtrBeFu

Ilustracja przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi na niej liczbami minus 2,33 oraz 2,33. Przez te punkty poprowadzono parabolę opisaną jako Beta prim nawias x zamknięcie nawiasu. Parabola ma ramiona skierowane w dół i wierzchołek oznaczony niezamalowanym punktem. Wierzchołek znajduje się nad osią mniej więcej nad zerem. Lewe ramię paraboli narysowano linią przerywaną, a prawe ciągłą. Część paraboli znajdującą się pod osią oznaczono minusami, a część nad osią plusem.

Stworzymy tabelę.

Funkcja osiąga maksimum w $x=2,33 \mathrm{m}$. Oglądający powinien postawić aparat w odległości $2,33 \mathrm{m}$ od ściany.

W zbiorniku znajdowało się $300$ litrów wody. Po odkręceniu zaworów, w ciągu pierwszej minuty do zbiornika napłynęło $15$ litrów wody, a w każdej następnej minucie o $3$ litry wody więcej niż w poprzedniej. Jednocześnie przez zawór odpływowy w ciągu każdej minuty wydostawało się $30$ litrów wody. Wyznaczymy w jakiej minucie było w zbiorniku najmniej wody.

Rozwiązanie:

Napływanie wody do zbiornika jest ciągiem arytmetycznym oznaczmy jako $a_n$ o pierwszym wyrazie $15$ i różnicy $3$. Natomiast wypływanie wody ze zbiornika jest ciągiem arytmetycznym oznaczmy go jako $b_n$ o pierwszym wyrazie $30$ i różnicy $0$.

Utworzymy nowy ciąg $c_n$, taki, że $c_n=a_n-b_n$. Ciąg $c_n$ jest ciągiem arytmetycznym o pierwszym wyrazie $\left(-15\right)$ i różnicy $3$.

Wyznaczymy sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $c_n$suma $n$ początkowych wyrazów ciągu arytmetycznegosumę $n$ początkowych wyrazów ciągu $c_n$. Skorzystamy ze wzoru

$S_n=\frac{2c_1+\left(n-1\right)r}{2}·n$

$S_n=\frac{-30+\left(n-1\right)3}2n=\frac32n^2-\frac{33}2n$

W zbiorniku było wcześniej $300$ litrów wody. Otrzymaliśmy w ten sposób funkcję zmiennej $n$ opisującą liczbę litrów wody w zbiorniku w czasie

$V\left(n\right)=\frac32n^2-\frac{33}2n+300$

Oczywiście badając ciągi myślimy o liczbach naturalnych. Jednak rozszerzmy dziedzinę rozważanej funkcji do wszystkich liczb rzeczywistych dodatnich, tj.

$D:n\in\left(0,\infty\right)$

Wyznaczymy pochodną

$V'\left(n\right)=3n-\frac{33}2$

Miejscem zerowym pochodnej jest $n=10,5$, oczywiście należy do dziedziny.

Naszkicujemy wykres pochodnej w otoczeniu miejsca zerowego

R5jnL50o3TtKa

Ilustracja przedstawia poziomą oś n z zaznaczonym na niej punktem 10,5; Przez punkt ten przebiega ukośna prosta podpisana V prim nawias n zamknięcie nawiasu. Prosta biegnie od lewego dolnego rogu ilustracji do prawego górnego rogu. Część prostej biegnącą poniżej osi n opisano minusem, a część nad osią plusem.

Wyznaczymy tabelę

Funkcja osiąga minimum dla $n=10,5$. Oznacza to, że najwięcej wody w zbiorniku mieliśmy w jedenastej minucie.

Sprzedawca kupuje w hurtowni telefony komórkowe płacąc $600 \mathrm{zł}$ za sztukę. Sprzedaje $40$ telefonów w cenie $700 \mathrm{zł}$ za sztukę. Pewnego razu zaobserwował, że obniżka ceny o każde kolejne $5 \mathrm{zł}$ zwiększa o $5$ liczbę sprzedanych telefonów. Wyznaczymy jaką cenę powinien ustalić sprzedawca, aby jego zysk był największy.

Rozwiązanie:

Oznaczmy:

$5n$ – obniżka ceny o pięć złotych, $n$ razy,

$40+5n$ – liczba sprzedanych telefonów po obniżce,

$700-5n-600=100-5n$ – zysk po obniżce.

Tworzymy funkcję zmiennej $n$ opisującą zysk uzyskany po $n$-tej obniżce

$f\left(n\right)=\left(100-5n\right)\left(40+5n\right)$

Wyznaczymy dziedzinę funkcji $f$ pamiętając, że liczba sprzedanych telefonów to liczba naturalna oraz że sprzedawca nie sprzeda telefonu za mniej niż $600$zł.

wyraża się wzorem

dla wszystkich $\alpha$, $\beta$ oprócz tych dla których $\mathrm{tg}\alpha$, $\mathrm{tg}\beta$ lub $\mathrm{tg}\left(\alpha+\beta\right)$ jest nieokreślony

możemy ją wyliczyć ze wzoru

$\left(f\left(x\right)·g\left(x\right)\right)\text{'}=f\text{'}\left(x\right)g\left(x\right)+f\left(x\right)g\text{'}\left(x\right)$

możemy wyznaczyć ze wzoru

lub