Przeczytaj
Ile granic może posiadać ciąg?
Przypomnijmy, że liczba jest granicą ciągu, jeśli w dowolnym jej otoczeniuotoczeniu znajdują się prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Zastanówmy się czy możliwe jest, aby nieskończony ciąg posiadał dwie różne granice. Przypuśćmy, że taki ciąg istnieje, tzn. że istnieje ciąg taki, że
oraz . Zgodnie z definicją granicy ciągu, do dowolnego otoczeniaotoczenia liczb oraz powinny należeć prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu . Ponieważ więc możemy tak dobrać promienie tych otoczeń, aby były one rozłączne. Wystarczy przyjąć (tzn. mniej niż połowa odległości pomiędzy liczbami oraz ). Ilustruje to poniższy rysunek.
W konsekwencji jeśli np. do otoczenia liczby będą należały prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu , to do otoczenia liczby , może należeć jedynie reszta wyrazów tego ciągu, czyli skończona ich ilość. Zatem liczba nie może być granicą tego ciągu. Rozważania te prowadzą nas do następującego wniosku.
Jeśli ciąg nieskończony posiada granicę, to granica ta jest dokładnie jedna.
Rozważmy następujący przykład.
Niech ciąg dany będzie wzorem
Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu.
Jak widzimy dla coraz większych wyrazy ciągu są coraz bliższe zeru, co pozwala stwierdzić, że Zdefiniujmy teraz ciąg następująco: dla oraz dla . Ponieważ począwszy od wyrazu wyrazy ciągu są takie same jak wyrazy ciągu więc wyrazy ciągu (podobnie jak wyrazu ciągu ) dla coraz większych są coraz bliższe zeru. Oznacza to, że granica ciągu jest taka sama jak granica ciągu .
Rozważania zawarte w powyższym przykładzie pozwalają nam zapisać poniższą własność.
Jeśli ciąg nieskończony jest zbieżny do granicy , to ciąg taki, że dla prawie wszystkich , jest również zbieżny do granicy . Innymi słowy zmiana skończonej ilości wyrazów nieskończonego ciągu zbieżnego na inne nie zmienia jego granicy.
Związek pomiędzy ciągami zbieżnymi i ograniczonymi.
Ciąg zbieżny to taki, który posiada granicę skończoną. Ciąg ograniczony to taki, którego wszystkie wyrazy należą do pewnego przedziału o skończonych krańcach. Okazuje się, że te pojęcia są ze sobą powiązane. Spójrzmy na przykład.
Niech ciąg dany będzie wzorem
Wypiszmy niektóre wyrazy tego ciągu
Jak widać kolejne wyrazy ciągu są coraz bliższe liczbie . Zatem w dowolnym otoczeniu tej liczby zawsze znajdą sie prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Oznacza to, że ciąg jest zbieżny do .
Rozważmy teraz przedział . Jest to otoczenie liczby o promieniu . Z faktu, że ciąg jest zbieżny do wynika, że do tego otoczenia należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Istotnie. Do przedziału nie należy jedynie sześć jego początkowych wyrazów. Zatem możemy tak powiększyć promień tego otoczenia aby należało do niego także te sześć początkowych przedziałów. Wystarczy np. przyjąć promień . Otrzymamy wówczas otoczenie , do którego należą już wszystkie wyrazy ciągu . Ostatni fakt oznacza, że ciąg jest ograniczony.
Rozważania zawarte w powyższym przykładzie można oczywiście powtórzyć dla dowolnego ciągu zbieżnego. Prawdziwa jest zatem własność.
Jeśli ciąg nieskończony jest zbieżny, to jest ograniczony.
Przy badaniu zbieżności ciągu nieskończonego często wykorzystuje się wniosek z powyższej własności.
Jeżeli ciąg nieskończony nie jest ograniczony, to nie jest zbieżny.
Można zadać pytanie, czy zachodzi własność odwrotna, tzn. czy każdy ciąg ograniczony jest zbieżny. Rozważmy następujący przykład.
Niech ciąg dany będzie wzorem
Ciąg ten jest ograniczony, gdyż przyjmuje tylko dwie wartości oraz .
Z drugiej strony do otoczenia liczby o promieniu , czyli do przedziału , nie należą prawie wszystkie wyrazy ciągu (należą do niego tylko wyrazy o numerach parzystych). Podobnie możemy wskazać otoczenie liczby , do którego również nie należą prawie wszystkie wyrazy ciągu . Oznacza to, że ciąg ten nie posiada granicy.
Widzimy zatem, że odpowiedź na postawione wyżej pytanie jest negatywna. Mianowicie
Nie każdy ciąg ograniczony jest zbieżny.
Okazuje się jednak, że jeśli dodatkowo jest on monotoniczny (tzn. rosnący, malejący lub stały), to musi już posiadać skończoną granicę. Zachodzi bowiem następująca własność.
Jeżeli ciąg nieskończony jest ograniczony oraz monotoniczny, to jest zbieżny.
Spójrzmy na kolejny przykład.
Rozważmy ciąg dany wzorem
Zauważmy, że
Oznacza to, że ciąg jest rosnący, czyli monotoniczny.
Z drugiej strony wyrazy powyższego ciągu mogą być dowolnie duże więc nie jest on ograniczony. Oznacza to w szczególności, że ciąg ten nie jest zbieżny.
Powyższy przykład daje nam prawo do stwierdzenia, że
Nie każdy ciąg monotoniczny jest zbieżny.
Na koniec jeszcze jeden przykład.
Rozważmy ciąg dany wzorem
Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów tego ciągu
Jak widać wyrazy tego ciągu są na zamianę dodatnie i ujemne. Zatem ciąg ten nie jest ani rosnący ani malejący. Nie jest też oczywiście stały. Oznacza to, że nie jest on monotoniczny. Z drugiej strony ciąg ten jest zbieżny, gdyż jego granicą jest liczba .
Wnioskiem z powyższego przykładu jest poniższe stwierdzenie.
Nie każdy ciąg zbieżny jest monotoniczny.
Słownik
wszystkie wyrazy ciągu za wyjątkiem co najwyżej skończonej ich ilości
otoczeniem punktu o promieniu nazywamy zbiór