Przeczytaj

Ile granic może posiadać ciąg?

Przypomnijmy, że liczba $g$ jest granicą ciągu, jeśli w dowolnym jej otoczeniuotoczenie punktuotoczeniu znajdują się prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Zastanówmy się czy możliwe jest, aby nieskończony ciąg posiadał dwie różne granice. Przypuśćmy, że taki ciąg istnieje, tzn. że istnieje ciąg $(a_{n})$ taki, że

$\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=g_1 \qquad\text{ , } \qquad \lim\limits_{n\to +\infty}a_n=g_2,$

oraz $g_1\neq g_2$ . Zgodnie z definicją granicy ciągu, do dowolnego otoczeniaotoczenie punktuotoczenia liczb $g_1$ oraz $g_2$ powinny należeć prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ . Ponieważ $g_{1} \neq g_{2}$ więc możemy tak dobrać promienie $\varepsilon$ tych otoczeń, aby były one rozłączne. Wystarczy przyjąć $\varepsilon \lt \frac{g_1+g_2}{2}$ (tzn. mniej niż połowa odległości pomiędzy liczbami $g_1$ oraz $g_2$ ). Ilustruje to poniższy rysunek.

Ry8cRpKMgSbRr

Rysunek przedstawia poziomą oś X z zaznaczonymi sześcioma liczbami, które oznaczono na osi zamalowanymi na niebiesko kółkami. Pomiędzy nimi pośrodku zaznaczono zamalowanym różowym kółkiem jedną liczbę. Liczby oznaczone niebieskimi kółkami są opisane pod osią, liczba oznaczona różowym leży nad osią. Liczby na osi od lewej to kolejno: g1-ε, g1, g1+ε, następnie środkowa liczba zaznaczona różowym kółkiem g1+g22, dalej oznaczone niebieskimi kółkami: g2-ε, g2, g2+ε.

W konsekwencji jeśli np. do otoczenia liczby $g_{1}$ będą należały prawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy ciągu $(a_{n})$ , to do otoczenia liczby $g_{2}$ , może należeć jedynie reszta wyrazów tego ciągu, czyli skończona ich ilość. Zatem liczba $g_{2}$ nie może być granicą tego ciągu. Rozważania te prowadzą nas do następującego wniosku.

Jednoznaczność granicy ciągu

Własność: Jednoznaczność granicy ciągu

Jeśli ciąg nieskończony posiada granicę, to granica ta jest dokładnie jedna.

Rozważmy następujący przykład.

Przykład 1

Niech ciąg $(a_n)$ dany będzie wzorem

$a_n=\frac{24}{n}, \quad n\in\mathbb{N}.$

Wypiszmy kilka początkowych wyrazów tego ciągu.

$a_1=24$

$a_2=12$

$a_3=8$

$a_4=6$

$a_5=\frac{24}{5}$

$a_6=4$

$a_{24}=1$

$a_{48}=\frac{1}{2}$

$a_{96}=\frac{1}{4}$

Jak widzimy dla coraz większych $n\in\mathbb{N}$ wyrazy ciągu $(a_n)$ są coraz bliższe zeru, co pozwala stwierdzić, że $\lim\limits_{n\to +\infty}a_n=0.$ Zdefiniujmy teraz ciąg $(b_n)$ następująco: $b_n=1$ dla $n\le 23$ oraz $b_n=a_n$ dla $n\gt 23$ . Ponieważ począwszy od wyrazu $b_{24}$ wyrazy ciągu $(b_n)$ są takie same jak wyrazy ciągu $(a_n)$ więc wyrazy ciągu $(b_n)$ (podobnie jak wyrazu ciągu $(a_n)$ ) dla coraz większych $n\in\mathbb{N}$ są coraz bliższe zeru. Oznacza to, że granica ciągu $(b_n)$ jest taka sama jak granica ciągu $(a_n)$ .

Rozważania zawarte w powyższym przykładzie pozwalają nam zapisać poniższą własność.

Zmiana skończonej ilości wyrazów ciągu

Własność: Zmiana skończonej ilości wyrazów ciągu

Jeśli ciąg nieskończony $(a_{n})$ jest zbieżny do granicy $g$ , to ciąg $(b_{n})$ taki, że $b_n=a_n$ dla prawie wszystkich $n\in\mathbb{N}$ , jest również zbieżny do granicy $g$ . Innymi słowy zmiana skończonej ilości wyrazów nieskończonego ciągu zbieżnego na inne nie zmienia jego granicy.

Związek pomiędzy ciągami zbieżnymi i ograniczonymi.

Ciąg zbieżny to taki, który posiada granicę skończoną. Ciąg ograniczony to taki, którego wszystkie wyrazy należą do pewnego przedziału o skończonych krańcach. Okazuje się, że te pojęcia są ze sobą powiązane. Spójrzmy na przykład.

Przykład 2

Niech ciąg $(a_n)$ dany będzie wzorem

$a_n=1+(-1)^n\cdot\frac{6}{n} \quad n\in\mathbb{N}.$

Wypiszmy niektóre wyrazy tego ciągu

$a_1=-5$

$a_2=4$

$a_3=-1$

$a_6=2$

$a_{12}=1\frac{1}{2}$

$a_{21}=\frac{5}{7}$

$a_{36}=1\frac{1}{6}$

$a_{42}=\frac{6}{7}$

Jak widać kolejne wyrazy ciągu $(a_n)$ są coraz bliższe liczbie $1$ . Zatem w dowolnym otoczeniu tej liczby zawsze znajdą sie prawie wszystkie wyrazyprawie wszystkie wyrazy ciąguprawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Oznacza to, że ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do $1$ .

Rozważmy teraz przedział $(0,2)$ . Jest to otoczenie liczby $1$ o promieniu $\varepsilon_0 = 1$ . Z faktu, że ciąg $(a_n)$ jest zbieżny do $1$ wynika, że do tego otoczenia należą prawie wszystkie wyrazy tego ciągu. Istotnie. Do przedziału $(0,2)$ nie należy jedynie sześć jego początkowych wyrazów. Zatem możemy tak powiększyć promień tego otoczenia aby należało do niego także te sześć początkowych przedziałów. Wystarczy np. przyjąć promień $\varepsilon_1 = 7$ . Otrzymamy wówczas otoczenie $(1-7,1+7)=(-6,8)$ , do którego należą już wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ . Ostatni fakt oznacza, że ciąg $(a_n)$ jest ograniczony.

Rozważania zawarte w powyższym przykładzie można oczywiście powtórzyć dla dowolnego ciągu zbieżnego. Prawdziwa jest zatem własność.

Związek zbieżności z ograniczonością ciągu

Własność: Związek zbieżności z ograniczonością ciągu

Jeśli ciąg nieskończony $(a_n)$ jest zbieżny, to jest ograniczony.

Przy badaniu zbieżności ciągu nieskończonego często wykorzystuje się wniosek z powyższej własności.

Ważne!

Jeżeli ciąg nieskończony $(a_n)$ nie jest ograniczony, to nie jest zbieżny.

Można zadać pytanie, czy zachodzi własność odwrotna, tzn. czy każdy ciąg ograniczony jest zbieżny. Rozważmy następujący przykład.

Przykład 3

Niech ciąg $(a_{n})$ dany będzie wzorem

a_{n} = {(- 1)}^{n}

Ciąg ten jest ograniczony, gdyż przyjmuje tylko dwie wartości $1$ oraz $-1$ .

Z drugiej strony do otoczenia liczby $-1$ o promieniu $1$ , czyli do przedziału $(-2,0)$ , nie należą prawie wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ (należą do niego tylko wyrazy o numerach parzystych). Podobnie możemy wskazać otoczenie liczby $1$ , do którego również nie należą prawie wszystkie wyrazy ciągu $(a_n)$ . Oznacza to, że ciąg ten nie posiada granicy.

Widzimy zatem, że odpowiedź na postawione wyżej pytanie jest negatywna. Mianowicie

Ważne!

Nie każdy ciąg ograniczony jest zbieżny.

Okazuje się jednak, że jeśli dodatkowo jest on monotoniczny (tzn. rosnący, malejący lub stały), to musi już posiadać skończoną granicę. Zachodzi bowiem następująca własność.

Związek monotoniczności i zbieżności ciągu

Własność: Związek monotoniczności i zbieżności ciągu

Jeżeli ciąg nieskończony jest ograniczony oraz monotoniczny, to jest zbieżny.

Spójrzmy na kolejny przykład.

Przykład 4

Rozważmy ciąg dany wzorem

$a_n=3n+1, \quad n\in\mathbb{N}.$

Zauważmy, że

$a_n=3n+1\lt 3n+4=3(n+1)+1=a_{n+1}.$

Oznacza to, że ciąg $(a_n)$ jest rosnący, czyli monotoniczny.

Z drugiej strony wyrazy powyższego ciągu mogą być dowolnie duże więc nie jest on ograniczony. Oznacza to w szczególności, że ciąg ten nie jest zbieżny.

Powyższy przykład daje nam prawo do stwierdzenia, że

Ważne!

Nie każdy ciąg monotoniczny jest zbieżny.

Na koniec jeszcze jeden przykład.

Przykład 5

Rozważmy ciąg dany wzorem

$a_n=\frac{(-1)^n}{n^2}, \quad n\in\mathbb{N}.$

Wypiszmy kilka kolejnych wyrazów tego ciągu

a_{1} = - 1, a_{2} = \frac{1}{4}, a_{3} = \frac{- 1}{9}, a_{4} = \frac{1}{16}, \dots

Jak widać wyrazy tego ciągu są na zamianę dodatnie i ujemne. Zatem ciąg ten nie jest ani rosnący ani malejący. Nie jest też oczywiście stały. Oznacza to, że nie jest on monotoniczny. Z drugiej strony ciąg ten jest zbieżny, gdyż jego granicą jest liczba $0$ .

Wnioskiem z powyższego przykładu jest poniższe stwierdzenie.

Ważne!

Nie każdy ciąg zbieżny jest monotoniczny.

Słownik

prawie wszystkie wyrazy ciągu

wszystkie wyrazy ciągu za wyjątkiem co najwyżej skończonej ich ilości

otoczenie punktu

otoczeniem punktu $x_{0}$ o promieniu $ε > 0$ nazywamy zbiór

U (x_{0}, ε) = \{x \in ℝ : |x - x_{0}| < ε\}

Wprowadzenie

Animacja

Ile granic może posiadać ciąg?

Związek pomiędzy ciągami zbieżnymi i ograniczonymi.

Słownik