Odczytywanie dziedziny funkcji

Dziedzina funkcjidziedzina funkcjiDziedzina funkcji takiej, że $y=f\left(x\right)$ to zbiór wszystkich argumentów $x$, dla których funkcja jest określona. Dziedzinę funkcji $f$ oznaczamy przez $D$ lub $D_f$.

RIO1di4qwizaX

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 7 do 5 i pionową osią y od minus 3 do czterech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający się z dwóch fragmentów. Pierwszy fragment to ukośny odcinek zaczynający się w punkcie nawias minus sześć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończący się w punkcie nawias minus trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Drugi fragment jest częścią paraboli o ramionach skierowanych w dół i wierzchołku w punkcie nawias zero średnik trzy zamknięcie nawiasu. Lewe ramię kończy się w punkcie nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, prawe ramię kończy się w punkcie nawias trzy średnik minus jeden i pół zamknięcie nawiasu. Na oś x naniesiono rzuty obu fragmentów wykresu, są to odcinki od minus sześciu do minus trzech i od minus dwóch do trzech.

Na rysunku powyżej mamy wykres funkcji $f$. Jej dziedziną jest zbiór:

$D_f=⟨-6,-3⟩\cup ⟨-2,3⟩$. Na rysunku został on zaznaczony na osi $X$ kolorem pomarańczowym.

Odczytywanie zbioru wartości funkcji

Z wykresu funkcji często można odczytać nie tylko wartość, jaką ta funkcja przyjmuje dla danego argumentu, ale także zbiór wszystkich liczb, które są wartościami tej funkcji.
Zbiór ten nazywamy zbiorem wartości funkcji.

Zbiór wartości funkcjizbiór wartości funkcjiZbiór wartości funkcji $$$f:D\to Y$ to zbiór tych wszystkich $y\in Y$, dla których istnieje taki argument $x\in D$, że $f\left(x\right)=y$. Zbiór wartości funkcji $f$ oznaczamy przez $f\left(D\right)$ lub $f\left(D_f\right)$ albo po prostu $Z{W}_f$.

R1LViyDleCpSG

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 4 do sześciu. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający z dwóch fragmentów. Pierwszy fragment jest częścią paraboli o ramionach skierowanych w górę i wierzchołku w punkcie nawias minus jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię kończy się w punkcie nawias minus trzy średnik trzy zamknięcie nawiasu, prawe ramię kończy się w punkcie którego wartość y jest równa 6, a wartość x jest mniejsza niż 1. Oba punkty należące do tego fragmentu są zamalowane. Drugi fragment to ukośny odcinek rozpoczynający się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias dwa średni minus trzy, a kończy się w niezamalowanym punkcie nawias sześć średnik minus dwa. W układzie zaznaczono dodatkowo dwa zamalowane punkty o współrzędnych nawias zero średnik sześć zamknięcie nawiasu oraz nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu oraz dwa niezamalowane punkty o współrzędnych nawias zero średnik minus dwa zamknięcie nawiasu oraz nawias zero średnik minus trzy zamknięcie nawiasu. W układzie liniami przerywanymi zaznaczono również cztery poziome proste o równaniach $y=6$, $y=-1$, $y=-2$ oraz $y=-3$.

Przy odczytywaniu zbioru wartości funkcji wygodnie jest poprowadzić odpowiednie proste poziome (równoległe do osi $X$). Zbiór wartości funkcji przedstawionej na rysunku został zaznaczony na osi $Y$ kolorem wrzosowym. Zapisujemy: $Z{W}_f=\left(-3,-2\right)\cup ⟨-1,6⟩$.

Odczytywanie miejsc zerowych funkcji

RVkoyOw5fBf7s

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 3 do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f składający z trzech fragmentów. Pierwszy fragment jest ukośnym odcinkiem zaczynającym się w niezamalowanym punkcie nawias minus pięć średnik minus dwa i kończącym się w punkcie nawias minus trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Odcinek ten przechodzi przez zaznaczony czerwonym kolorem punkt o współrzędnych minus cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Drugi fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się również w niezamalowanym punkcie nawias trzy średnik dwa zamknięcie nawiasu. Odcinek ten przechodzi przez środek układu współrzędnych. Trzeci fragment rozpoczyna się w niezamalowanym punkcie nawias trzy średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy się w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias pięć średnik dwa zamknięcie nawiasu. Odcinek ten przechodzi przez zaznaczony czerwonym kolorem punkt o współrzędnych nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu.

Miejsca zerowe funkcji odczytamy z wykresu. Znajdujemy   punkty przecięcia wykresu z osią $X$ – miejsca te  zostały zaznaczone na rysunku  kolorem czerwonym.  Miejsca zerowe  to argumenty, dla których $f\left(x\right)=0$, w tym przypadku mamy trzy miejsca zerowe, $x=-4$, $x=0$ oraz $x=4$, dla tych argumentów $f\left(-4\right)=0$, $f\left(0\right)=0$ oraz $f\left(4\right)=0$.

Odczytywanie wartości dodatnich lub ujemnych funkcji

R5Q8Y1HgT5HFi

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 10 i pionową osią y od minus 5 do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą rozpoczynającą się w zamalowanym punkcie nawias jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do punktu nawias dwa średnik jeden, gdzie zmienia swój bieg i przecinając oś x w puncie nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu biegnie po łuku do punktu nawias pięć średnik minus cztery zamknięcie nawiasu, gdzie znów zmienia bieg i biegnie po łuku do zamalowanego punktu o współrzędnych nawias osiem średnik zero zamknięcie nawiasu.

Wartości dodatnie funkcji odczytamy z części wykresu nad osią $X$, która składa się z punktów o drugiej współrzędnej dodatniej, co oznacza, że nierówność $f\left(x\right)>0$ zachodzi dla $x\in \left(1,3\right)$. Wartości nieujemne funkcji odczytamy, gdy $f\left(x\right)⩾0$ a to zachodzi dla $x\in ⟨1,3⟩\cup \left\{8\right\}$.

Wartości ujemne funkcji odczytamy z części wykresu poniżej osi $X$, która składa się z punktów o drugiej współrzędnej ujemnej, co oznacza, że nierówność $f\left(x\right)<0$ zachodzi dla $x\in \left(3,8\right)$. Wartości niedodatnie funkcji odczytamy wtedy, gdy $f\left(x\right)⩽0$ a to zachodzi dla $x\in \left\{1\right\}\cup ⟨3,8⟩$.

Odczytywanie przedziałów monotoniczności funkcji

Rn3Vh20V4OCv3

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 7 i pionową osią y od minus 2 do trzech. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą rozpoczynającą się w niezamalowanym punkcie nawias minus trzy średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie ukośnie do punktu nawias dwa średnik minus jeden, gdzie zmienia swój bieg i ukośnie do punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu, gdzie znów zmienia bieg i biegnie poziomo do niezamalowanego punktu o współrzędnych nawias sześć średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Znajdujemy na osi $X$ maksymalne przedziały monotoniczności funkcjifunkcje monotonicznemonotoniczności funkcji $f$.

Na podanym wykresie funkcja jest:

• malejąca w przedziale $\left(-3,2\right.⟩$,

• rosnąca w przedziale $⟨2,4⟩$,

• stałafunkcja stałastała w przedziale $\left.⟨4,6\right)$.

Odczytywanie różnowartościowości funkcji

ReqUTr8I0Pmtz

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 3 do 9 i pionową osią y od minus 2 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołek tej paraboli ma współrzędne nawias trzy średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Ramiona paraboli przecinają oś x w punktach nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu, drugi punkt ma współrzędne nawias cztery średnik zero zamknięcie nawiasu. Na paraboli zaznaczono dwa punkty, pierwszy z nich ma współrzędne nawias jeden średnik trzy zamknięcie nawiasu, a drugi z nich ma współrzędne nawias pięć średnik trzy zamkniecie nawiasu. W układzie linią przerywaną zaznaczono prostą o równaniu $y=3$, przechodzi ona przez punkty zaznaczone na paraboli. Z punktów tych liniami przerywanymi poprowadzono odcinki łączące je z osią x.

Funkcja nie jest różnowartościowa, bo istnieją dwa różne argumenty,  dla których funkcja   przyjmuje tę samą wartość. Wystarczy, gdy narysujemy na przykład  prostą $y=3$. Przecina ona wykres funkcji w punktach $\left(1,3\right)$ i $\left(5,3\right)$. Zatem funkcja $f$ przyjmuje wartość równą $3$ dla $x=1$ i $x=5$.

Odczytywanie najmniejszej lub największej wartości funkcji

R18ZkuAhinTyo

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 4 do trzy. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który jest krzywą rozpoczynającą się w zamalowanym punkcie nawias minus trzy średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, krzywa ta biegnie ukośnie do punktu nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie przez punkty nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i nawias zero średnik minus jeden zamknięcie nawiasu do punktu nawias dwa średnik minus trzy zamknięcie nawiasu, z tego punktu biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias cztery średnik dwa zamknięcie nawiasu.

Najmniejsza wartość funkcji $f$ jest równa $\left(-3\right)$. Jest ona przyjmowana np. dla $x=2$. Odczytujemy tę wartość, jako drugą współrzędną punktu znajdującego się najniżej na wykresie.

Największa wartość funkcji $f$ jest równa $2$. Jest ona przyjmowana dla $x=4$. Odczytujemy tę wartość, jako drugą współrzędną punktu znajdującego się najwyżej na wykresie.

RMx2j93qbIEfA

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 6 do 6 i pionową osią y od minus 1 do sześć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w środku układu współrzędnych.

Zbiorem wartości funkcji $f$ jest przedział $\left.⟨0,\infty \right)$. Najmniejsza wartość funkcji $f$ równa $0$ jest przyjmowana dla $x=0$. Funkcja $f$ nie przyjmuje wartości największej.

Inne własności funkcji

Na podstawie wykresu funkcji możemy podać argumenty, dla których funkcja przyjmuje daną wartość. Zwróć uwagę, że funkcja $f$, której wykres przedstawiono poniżej, przyjmuje wskazaną wartość $y$ dla dwóch argumentów: $x_1$ i $x_2$.

RoVQm9LIdaIMa

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x pionową osią y . W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie odwróconej litery V. Przyjmując, że jedna kratka ma wartość jeden wierzchołek go wykresu znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias cztery średnik cztery zamknięcie nawiasu. W układzie zaznaczono poziomą półprostą y, zaczynającą się od osi y, która znajduje się na wysokości jeden. Miejsca przecięcia się tej półprostej z wykresem f zrzucono na oś x, punkt znajdujący się bliżej osi y podpisano $x_1$, a znajdujący się dalej od osi podpisano $x_2$.

Zauważmy, że  $f\left(x\right)>y$ dla $x\in \left(x_1,x_2\right)$, natomiast $f\left(x\right)<y$ dla $x\in \left(-\infty ,x_1\right)\cup \left(x_2,\infty \right)$.

Przykład 1

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji $f$. Odczytamy na podstawie wykresu funkcji $f$ jej własności.

R4mS5dgBaNXLd

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 6 i pionową osią y od minus 2 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do góry. Wierzchołek tej paraboli znajduje się w punkcie o współrzędnych nawias jeden średnik minus jeden zamknięcie nawiasu. Lewe ramię paraboli przechodzi przez środek układu współrzędnych, a prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu.

Rozwiązanie:

• dziedzina funkcjidziedzina funkcjidziedzina funkcji $D_f=\mathrm{ℝ}$,

• zbiór wartości $f\left(D\right)=\left.⟨1,\infty \right)$,

• miejsca zerowe funkcji $x=0$ oraz $x=2$,

• funkcja przyjmuje wartości dodatnie dla $x\in \left(-\infty ,0\right)\cup \left(2,\infty \right)$,

• funkcja przyjmuje wartości ujemne dla $x\in \left(0,2\right)$,

• funkcja jest rosnąca w przedziale $\left.⟨1,\infty \right)$,

• funkcja jest malejącafunkcja malejącamalejąca w przedziale $\left(-\infty ,1\right.⟩$,

• funkcja ma wartość najmniejszą $y=-1$ dla $x=1$, nie przyjmuje  wartości największej.

Przykład 2

Odczytamy z wykresu funkcji $f$ jej dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, przedziały monotoniczności, wartości dodatnie oraz ujemne, najmniejszą wartość i największą wartość oraz argumenty, dla których są one przyjmowane.

RNo7ni4DCHsgk

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 5 i pionową osią y od minus 6 do pięć. W układzie zaznaczono wykres funkcji f  składający się z dwóch części. Pierwsza z nich zaczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik minus dwa zamknięcie nawiasu i kończy w niezamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus jeden średnik jeden zamknięcie nawiasu. Druga część o kształcie paraboli z ramionami skierowanymi do dołu ma wierzchołek w punkcie o współrzędnych nawias zero średnik cztery zamknięcie nawiasu. Lewe ramię tej paraboli rozpoczyna się w zamalowanym punkcie nawias minus jeden średnik try zamknięcie nawiasu, a prawe ramię paraboli przechodzi przez punkt nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i kończy się w niezamalowanym punkcie którego wartość y jest równa minus pięć.

Rozwiązanie:

• $D=\left.⟨-4,3\right)$,

• $f\left(D\right)=\left(-5,4\right.⟩$,

• miejsca zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcjimiejsca zerowe funkcji $x=-2$ oraz $x=2$,

• funkcja jest rosnąca w przedziałach $\left.⟨-4,-1\right)$ oraz $⟨-1,0⟩$, malejąca w przedziale $\left.⟨0,3\right)$,

• wartości dodatnie $f\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(-2,2\right)$,

• wartości ujemne $f\left(x\right)<0$ dla $x\in \left.⟨-4,-2\right)\cup \left(2,3\right)$,

• funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej, wartość największa $y_{\max }=4$ dla $x=0$.

Przykład 3

Odczytamy własności funkcji $f$, której wykres przedstawiony jest na rysunku poniżej.

Rn5ItoRX0wXnm

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 2 do 10 i pionową osią y od minus 2 do osiem. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który pojawia się na płaszczyźnie w trzeciej ćwiartce układu, następnie przechodzi przez punkt nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu i biegnie do punktu nawias zero średnik siedem zamknięcie nawiasu i następie biegnie po łuku do punktu nawias trzy średnik zero, gdzie łagodnie przechodzi do czwartej ćwiartki układu tam zmienia swój bieg i przechodząc prze punkt nawias siedem średnik zero dociera do punktu nawias dziewięć średnik cztery, gdzie zmienia swój bieg i przecinając oś x w punkcie nawias dziesięć średnik zero zamknięcie nawiasu i wychodzi poza układ współrzędnych w czwartej ćwiartce układu.

Rozwiązanie:

1. $D=\mathrm{ℝ}$,

2. $f\left(D\right)=\left(-\infty ,7\right.⟩$,

3. miejsca zerowe funkcji $f\left(x\right)=0$ dla $x\in \left\{-1,3,7,10\right\}$,

4. funkcja jest rosnącafunkcja rosnącarosnąca w przedziałach $\left(-\infty ,0\right.⟩$ oraz $⟨6,9⟩$, malejąca w przedziałach $⟨0,6⟩$ oraz $\left.⟨9,\infty \right)$,

5. $f\left(x\right)>0$ dla $x\in \left(-1,3\right)\cup \left(7,10\right)$,
    $f\left(x\right)<0$ dla $x\in \left(-\infty ,-1\right)\cup \left(3,7\right)\cup \left(10,\infty \right)$,

6. funkcja nie przyjmuje wartości najmniejszej, wartość największa $y_{\max }=7$ dla $x=0$,

7. funkcja nie jest różnowartościowa.

Przykład 4

Z wykresu funkcji $f$ odczytamy jej miejsca zerowe, zbiór rozwiązań nierówności $f\left(x\right)>0$ oraz nierówności $f\left(x\right)⩽0$.

Rozwiązanie:

a)

RtlkFqbhDHqDY

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 4 do 7 i pionową osią y od minus 3 do dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden, następnie przecina oś x w punkcie nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu i biegnie po łuku do punktu nawias minus jeden średnik minus dwa dalej biegnie również po łuku do punktu nawias dwa średnik zero zamknięcie nawiasu i biegnie ukośnie do zamalowanego punktu nawias sześć średnik minus dwa zamknięcie nawiasu.

$f\left(x\right)=0$ dla $x\in \left\{-3,2\right\}$, $f\left(x\right)>0$ dla $x\in \left.⟨-4,-3\right)$, $f\left(x\right)⩽0$ dla $x\in ⟨-3,6⟩$,

b)

Rg5UN6d0SndCI

Ilustracja przedstawia układ współrzędnych z poziomą osią x od minus 5 do 6 i pionową osią y od minus 3 do dwa. W układzie zaznaczono wykres funkcji f, który rozpoczyna się w zamalowanym punkcie o współrzędnych nawias minus cztery średnik jeden następnie biegnie po łuku do punktu nawias minus trzy średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie znów po łuku do punktu nawias minus dwa średnik jeden zamknięcie nawiasu, stąd biegnie ukośnie do punktu nawias minus jeden średnik zero zamknięcie nawiasu, dalej biegnie po łuku do punktu nawias jeden średnik minus dwa zamknięcie nawiasu, skąd biegnie po łuku przez punkt nawias trzy średnik zero zamknięcie nawiasu do punktu nawias cztery średnik jeden zamknięcie nawiasu, następnie biegnie po łuku do zamalowanego punktu nawias pięć średnik zero zamknięcie nawiasu.

$f\left(x\right)=0$ dla $x\in \left\{-3,-1,3,5\right\}$, $f\left(x\right)>0$ dla $x\in \left.⟨-4,-3\right)\cup \left(-3,-1\right)\cup \left(3,5\right)$, $f\left(x\right)⩽0$ dla $x\in ⟨-1,3⟩\cup \left\{-3,5\right\}$.

Słownik