Przeczytaj

Podamy teraz jedno z podstawowych twierdzeń dotyczących działań na logarytmach. W historii matematyki odegrało ono istotną rolę gdyż pozwalało zastępować dzielenie dużych liczb, odejmowaniem tych liczb, co było znacznie łatwiejsze do wykonania.

We wszystkich obliczeniach w tym materiale uwzględniać będziemy założenia wynikające z definicji logarytmu – podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, różną od jedności, liczba logarytmowana musi być dodatnia. Pamiętać będziemy również, że w przypadku dzielenia dzielnik musi być liczbą różną od zera.

Twierdzenie o logarytmie ilorazu

Twierdzenie: Twierdzenie o logarytmie ilorazu

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczby $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to:

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Dowód

Założenie:

$a > 0$ , $a \neq 0$ – podstawa logarytmu,

$x > 0$ , $y > 0$ – liczby logarytmowane.

Teza:

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Dowód

Oznaczmy: $\log_{a} x = p$ , $\log_{a} y = q$ .

Z definicji logarytmu wynika, że:

x = a^{p}

y = a^{q}

Dzielimy stronami otrzymane równości.

x : y = a^{p} : a^{q}

Z własności dzielenia potęg o tych samych podstawach wynika, że:

\frac{x}{y} = a^{p - q}

Korzystamy ponownie z definicji logarytmu.

\log_{a} \frac{x}{y} = p - q

Zastępujemy liczby $p$ , $q$ odpowiednimi logarytmami. Otrzymujemy tezę.

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Co kończy dowód.

Możemy powiedzieć: logarytm przy danej podstawie ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów tych liczb przy tej samej podstawie.

Zauważmy, że prawdziwy jest też wzór odwrotny.

\log_{a} x - \log_{a} y = \log_{a} \frac{x}{y}

Podamy teraz przykłady zastosowania twierdzenia o logarytmie ilorazutwierdzenie o logarytmie ilorazutwierdzenia o logarytmie ilorazu.

Przykład 1

Zapiszemy podane logarytmy w postaci różnicy liczby wymiernej i niewymiernej.

$\log_{2} \frac{8}{3} = \log_{2} 8 - \log_{2} 3 = 3 - \log_{2} 3$

$\log_{3} (9 : 5) = \log_{3} 9 - \log_{3} 5 = 2 - \log_{3} 5$

$\log_{0,1} 50 = \log_{0,1} \frac{100}{2} = \log_{0,1} 100 - \log_{0,1} 2 = - 2 - \log_{0,1} 2$

Przykład 2

Zapiszemy różnice logarytmów w postaci logarytmu ilorazu i zapiszemy otrzymaną liczbę bez użycia logarytmu.

$\log 20 - \log 2 = \log \frac{20}{2} = \log 10 = 1$

$\log_{4} 48 - \log_{4} 3 = \log_{4} \frac{48}{3} = \log_{4} 16 = 2$

$(\log_{12} 1 - \log_{12} 24) - \log_{12} 6 = \log_{12} (\frac{1}{24} \cdot \frac{1}{6}) = \log_{12} \frac{1}{144} = - 2$

Przykład 3

Znajdziemy liczbę $x$ taką, że $1 + \log 2 + \log x = 3 - \log 2$ .

Zapisujemy liczby $1$ i $3$ za pomocą logarytmów.

$\log 10 + \log 2 + \log x = \log 1000 - \log 2$

Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu dla lewej strony równania i z twierdzenia o logarytmie ilorazu dla prawej strony równania.

$\log (10 \cdot 2 \cdot x) = \log \frac{1000}{2}$

Porównujemy liczby logarytmowane – korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.

$20 x = 500$

$x = 25$

Liczba $25$ jest dodatnia (liczba logarytmowana musi być dodatnia), zatem spełnia warunki zadania.

Odpowiedź:

Szukana liczba to $25$ .

Przykład 4

Wiedząc, że $\log_{3} 5 \approx 1,47$ i $\log_{3} 2 \approx 0,63$ , obliczymy przybliżone wartości liczb $\log_{3} 2,5$ , $\log_{3} \frac{2}{5}$ , $\log_{3} 6 \frac{1}{4}$ .

$\log_{3} 2,5 = \log_{3} \frac{5}{2} = \log_{3} 5 - \log_{3} 2 \approx 1,47 - 0,63 = 0,84$

$\log_{3} \frac{2}{5} = \log_{3} 2 - \log_{3} 5 \approx 0,63 - 1,47 = - 0,84$

$\log_{3} 6 \frac{1}{4} = \log_{3} \frac{25}{4} = \log_{3} 25 - \log_{3} 4 = 2 \cdot \log_{3} 5 - 2 \cdot \log_{3} 2$

$\log_{3} 6 \frac{1}{4} \approx 2 \cdot 1,47 - 2 \cdot 0,63 = 2,94 - 1,26 = 1,68$

Przykład 5

Wiedząc, że $\log_{2} 3 = m$ obliczymy $A = \log_{2} \sqrt{13,5}$ .

Zapisujemy liczbę podpierwiastkową w postaci ułamka, który następnie skracamy.

$A = \log_{2} \sqrt{\frac{135}{10}} = \log_{2} \sqrt{\frac{27}{2}}$

Zapisujemy logarytm ilorazu w postaci różnicy logarytmów.

$A = \log_{2} \sqrt{27} - \log_{2} \sqrt{2}$

Ponieważ $\sqrt{2} = 2^{\frac{1}{2}}$ , $\sqrt{27} = 27^{\frac{1}{2}}$ i $\log_{2} 2 = 1$ , stąd

$A = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 27 - \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 2 = \frac{1}{2} \cdot \log_{2} 3^{3} - \frac{1}{2}$

Podstawiając $\log_{2} 3 = m$ , otrzymujemy

$A = \frac{3}{2} m - \frac{1}{2}$

Słownik

twierdzenie o logarytmie ilorazu

Jeżeli $a$ jest liczbą dodatnią, różną od $1$ , liczby $x$ , $y$ są liczbami dodatnimi, to:

\log_{a} \frac{x}{y} = \log_{a} x - \log_{a} y

Wprowadzenie

Animacja

Słownik