Przeczytaj
Podamy teraz jedno z podstawowych twierdzeń dotyczących działań na logarytmach. W historii matematyki odegrało ono istotną rolę gdyż pozwalało zastępować dzielenie dużych liczb, odejmowaniem tych liczb, co było znacznie łatwiejsze do wykonania.
We wszystkich obliczeniach w tym materiale uwzględniać będziemy założenia wynikające z definicji logarytmu – podstawa logarytmu musi być liczbą dodatnią, różną od jedności, liczba logarytmowana musi być dodatnia. Pamiętać będziemy również, że w przypadku dzielenia dzielnik musi być liczbą różną od zera.
Jeżeli jest liczbą dodatnią, różną od , liczby , są liczbami dodatnimi, to:
Dowód
Założenie:
, – podstawa logarytmu,
, – liczby logarytmowane.
Teza:
Oznaczmy: , .
Z definicji logarytmu wynika, że:
Dzielimy stronami otrzymane równości.
Z własności dzielenia potęg o tych samych podstawach wynika, że:
Korzystamy ponownie z definicji logarytmu.
Zastępujemy liczby , odpowiednimi logarytmami. Otrzymujemy tezę.
Co kończy dowód.
Możemy powiedzieć: logarytm przy danej podstawie ilorazu liczb dodatnich jest równy różnicy logarytmów tych liczb przy tej samej podstawie.
Zauważmy, że prawdziwy jest też wzór odwrotny.
Podamy teraz przykłady zastosowania twierdzenia o logarytmie ilorazutwierdzenia o logarytmie ilorazu.
Zapiszemy podane logarytmy w postaci różnicy liczby wymiernej i niewymiernej.
Zapiszemy różnice logarytmów w postaci logarytmu ilorazu i zapiszemy otrzymaną liczbę bez użycia logarytmu.
Znajdziemy liczbę taką, że .
Zapisujemy liczby i za pomocą logarytmów.
Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu dla lewej strony równania i z twierdzenia o logarytmie ilorazu dla prawej strony równania.
Porównujemy liczby logarytmowane – korzystając z różnowartościowości funkcji logarytmicznej.
Liczba jest dodatnia (liczba logarytmowana musi być dodatnia), zatem spełnia warunki zadania.
Odpowiedź:
Szukana liczba to .
Wiedząc, że i , obliczymy przybliżone wartości liczb , , .
Wiedząc, że obliczymy .
Zapisujemy liczbę podpierwiastkową w postaci ułamka, który następnie skracamy.
Zapisujemy logarytm ilorazu w postaci różnicy logarytmów.
Ponieważ , i , stąd
Podstawiając , otrzymujemy
Słownik
Jeżeli jest liczbą dodatnią, różną od , liczby , są liczbami dodatnimi, to: