Przeczytaj

Nierównością wymierną z niewiadomą $x$ nazywamy nierówność, którą można sprowadzić do postaci

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} > 0$ lub $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \geq 0$ lub $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} < 0$ lub $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \leq 0$ ,

gdzie $W_{1}$ , $W_{2}$ są wielomianami, przy czym $W_{2}$ jest wielomianem co najmniej pierwszego stopnia i $W_{2} (x) \neq 0$ .

Przykłady nierówności wymiernych:

$\frac{2}{x} > 0$ , gdzie $D = ℝ ∖ \{0\}$ ,

$\frac{2 x - 10}{x^{2} + 10 x + 25} \leq 0$ , gdzie $D = ℝ ∖ \{- 5\}$ ,

$\frac{- 3 {(x - 5)}^{5} {(2 - 4 x)}^{3} {(2 x - 6)}^{7}}{{(x - 1)}^{2} {(x + 5)}^{10}} \geq 0$ , gdzie $D = ℝ ∖ \{- 5; 1\}$ ,

$\frac{x - 2}{3 x - 6} \geq 2$ , gdzie $D = ℝ ∖ \{2\}$ ,

$\frac{x + 3}{x + 1} < \frac{x - 13}{x^{2} - 4 x - 5} - \frac{8}{x - 5}$ , gdzie $D = ℝ ∖ \{- 1; 5\}$ .

Nierówność wymierną rozwiązujemy najczęściej doprowadzając ją do postaci wielomianowej, przy wyznaczonej dziedzinie nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinie nierówności wymiernej.

o równoważności nierówności

Twierdzenie: o równoważności nierówności

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} > 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) > 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ ,

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} < 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) < 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ ,

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \geq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \geq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ ,

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \leq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \leq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ .

Zatem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych, często będziemy korzystać z powyższego twierdzenia.

Ważne!

Czy nierówność

$\frac{x - 1}{x} > 0$

możemy obustronnie pomnożyć przez $x$ ?

Oczywiście, że nie!

Zauważmy, że wyrażenie $x$ występujące w mianowniku nie ma określonego znaku. Wyrażenie nie jest zawsze dodatnie, bądź ujemne.

Natomiast, jeśli zadanie brzmi:

Rozwiąż nierówność $\frac{x - 1}{x} > 0$ dla $x \in (0; + \infty)$ .
Wówczas możemy nierówność pomnożyć obustronie przez $x$ , bo $x > 0$ .
Stąd
$\frac{x - 1}{x} > 0 / \cdot x$
Uwaga nie zmieniamy zwrot nierówności, ponieważ wyrażenie $x$ jest dodatnie, czyli
$x - 1 > 0$ ,
$x > 1$ .
Uwzględnijmy założenie:
$[x \in (1; + \infty) \land x \in (0; + \infty)] \Leftrightarrow x \in (1; + \infty)$ .
Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{x - 1}{x} > 0$ w tym przypaku jest zbiór $(1; + \infty)$ .

Rozwiąż nierówność $\frac{x - 1}{x} > 0$ dla $x \in (- \infty; 0)$ .
Wówczas możemy nierówność pomnożyć obustronnie przez $x$ , bo $x < 0$ .
Stąd
$\frac{x - 1}{x} > 0 | \cdot x$
Uwaga! – zmieniamy zwrot nierówności, ponieważ wyrażenie $x$ jest ujemne, czyli
$x - 1 < 0$ ,
$x < 1$ .
Uwzględnijmy założenie:
$[x \in (- \infty; 1) \land x \in (- \infty; 0)] \Leftrightarrow x \in (- \infty; 0)$ .
Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{x - 1}{x} > 0$ w tym przypadku jest zbiór $(- \infty; 0)$ .

Przykład 1

Rozwiążemy nierówność $\frac{2}{x} \geq 0$ .

Na początku rozwiązywania nierówności wymiernej musimy podać założenia.

Założenie: $x \neq 0$ (mianownik nie może przyjmować wartości równej zero), czyli $D = ℝ ∖ \{0\}$ .

Korzystamy z równoważności:

$\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} \geq 0 \Leftrightarrow W_{1} (x) \cdot W_{2} (x) \geq 0 \land W_{2} (x) \neq 0$ .

$\frac{2}{x} \geq 0$ wtedy i tylko wtedy, gdy $2 x \geq 0$ i $x \neq 0$ .

Wówczas $x \geq 0$ i $x \neq 0$ .

Uwzględniając założenia podajemy rozwiązanie nierówności wymiernej.

RGmqRNIKxdThM

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt zero oraz wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale (-∞;0) oraz wartości dodatnie w przedziale (0;∞).

Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{2}{x} \geq 0$ jest zbiór $(0; + \infty)$ .

Kolejną nierówność rozwiążemy na dwa sposoby.

Przykład 2

Rozwiążemy następującą nierówność $\frac{2 x - 4}{5 x + 5} < - 2$ .

Zawsze na początku rozwiązywania zadania musimy podać założenia, czyli $x \neq - 1$ .

$D = ℝ ∖ \{- 1\}$ .

$I$ sposób rozwiązania nierówności wymiernej:
Sprowadzamy nierówność do postaci $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)} < 0$ .
$\frac{2 x - 4}{5 x + 5} + 2 < 0$ , skąd
$\frac{2 x - 4}{5 x + 5} + \frac{2 (5 x + 5)}{5 x + 5} < 0$ , zatem
$\frac{12 x + 6}{5 x + 5} < 0$ .
Zapisujemy nierówność w postaci równoważnej nierówności iloczynowej
$(12 x + 6) (5 x + 5) < 0 \land x \neq - 1$ ,
$60 (x + \frac{1}{2}) (x + 1) < 0 \land x \neq - 1$ .
Odczytujemy miejsca zerowe wielomianu $W (x) = 60 (x + \frac{1}{2}) (x + 1)$ oraz uwzględniając dziedzinę, szkicujemy jego wykres.
Rlok9A0mkGvy4
$W (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- 1; - \frac{1}{2})$
Uwzględniamy dziedzinę $D = ℝ ∖ \{- 1\}$ , która w tym wypadku nie wpływa na rozwiązanie. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{2 x - 4}{5 x + 5} < - 2$ jest zbiór $(- 1; - \frac{1}{2})$ .

$II$ sposób rozwiązania nierówności wymiernej:
Zauważmy, że wielomian $5 x + 5$ występujący w mianowniku przyjmuje wartości dodatnie, jak i ujemne. Zatem nie możemy nierówności pomnożyć obustronnie przez $5 x + 5$ . Pomnożmy obie strony nierówności przez wyrażenie ${(5 x + 5)}^{2}$ . Wówczas, przy przyjętych założeniach, zwrot nierówności nie ulegnie zmianie, bo ${(5 x + 5)}^{2} > 0$ .
$\frac{2 x - 4}{5 x + 5} < - 2 | \cdot {(5 x + 5)}^{2}$
$\frac{2 x - 4}{5 x + 5} \cdot {(5 x + 5)}^{2} < - 2 \cdot {(5 x + 5)}^{2}$ ,
$(2 x - 4) (5 x + 5) < - 2 \cdot {(5 x + 5)}^{2}$ ,
$(2 x - 4) (5 x + 5) + 2 \cdot {(5 x + 5)}^{2} < 0$ .
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
$(5 x + 5) [2 x - 4 + 2 (5 x + 5)] < 0$ ,
$(5 x + 5) [2 x - 4 + 10 x + 10] < 0$ ,
$(12 x + 6) (5 x + 5) < 0$ ,
$60 (x + \frac{1}{2}) (x + 1) < 0$ .
Następnie postępujemy analogicznie jak powyżej, czyli wielomian $W (x) = 60 (x + \frac{1}{2}) (x + 1)$ ma dwa pierwiastki jednokrotne: $(- 1)$ , $(- \frac{1}{2})$ .
Rlok9A0mkGvy4
$W (x) < 0 \Leftrightarrow x \in (- 1; - \frac{1}{2})$
Uwzględniamy dziedzinę $D = ℝ ∖ \{- 1\}$ , która w tym wypadku nie wpływa na rozwiązanie. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{2 x - 4}{5 x + 5} < - 2$ jest zbiór $(- 1; - \frac{1}{2})$ .

Ważne!

Zwróćmy uwagę na to, że przy rozwiązywaniu nierówności wymiernej drugim sposobem, nie możemy mnożyć obustronnie nierówności przez mianownik wyrażenia wymiernego, jeśli nie wiemy jaki on ma znak, czy ujemny czy dodatni. Jeśli znak mianownika byłby ujemny, to po pomnożeniu nierówności przez ten mianownik, musielibyśmy zmienić zwrot nierówności.

Przykład 3

Rozwiążemy nierówność $\frac{x^{2} - 81}{x + 9} \leq 0$ .

Podajmy założenie: $x + 9 \neq 0$ , czyli $x \neq - 9$ .

$D = ℝ ∖ \{- 9\}$ .

Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ otrzymujemy

$\frac{(x + 9) (x - 9)}{x + 9} \leq 0$ .

Po skróceniu wyrażenia przez $x + 9$ mamy

$x - 9 \leq 0$ ,

$x \leq 9$ i $x \neq - 9$ .

Uwzględniając dziedzinę szkicujemy wykres.

RWRzL4keWmcNs

Ilustracja przedstawia poziomą oś X. Na osi zaznaczono punkt minus 9 oraz 9 i wykres funkcji przyjmujący wartości ujemne w przedziale (-∞;9>oraz wartości dodatnie w przedziale <9;∞)

Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności $\frac{x^{2} - 81}{x + 9} \leq 0$ jest zbiór $(- \infty; - 9) \cup (- 9; 9 ⟩$ .

Ważne!

Rozwiązując nierówność wymierną, pamiętajmy o wyznaczeniu dziedziny.

Algorytm rozwiązywania nierówności wymiernych

$I$ sposób:

Wyznaczamy dziedzinę nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinę nierówności wymiernej.
Sprowadzamy nierówność do postaci ogólnej - przenosimy wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności.
Wykonujemy wskazane działania.
Nierówność wymierną rozwiązujemy doprowadzając ją do równoważnej postaci wielomianowej przy wyznaczonej dziedzinie nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinie nierówności wymiernej (zastępujemy iloraz iloczynem z uwzględnieniem założeń).
Wyznaczamy pierwiastki wielomianupierwiastek wielomianupierwiastki wielomianu oraz szkicujemy wykres.
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.
Wyznaczamy rozwiązanie nierówności wymiernej uwzględniając dziedzinę.

$II$ sposób:

Wyznaczamy dziedzinę nierówności wymiernejdziedzina nierówności wymiernejdziedzinę nierówności wymiernej.
Mnożymy obustronnie nierówność przez kwadrat mianownika lub przez inne wyrażenia, których znak jest jednoznacznie określony.
Wykonujemy wskazane działania.
Wyznaczamy pierwiastki wielomianu oraz szkicujemy wykres.
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.
Wyznaczamy rozwiązanie nierówności wymiernej uwzględniając dziedzinę.

Słownik

dziedzina nierówności wymiernej

dziedziną nierówności wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu $W_{2} (x)$ znajdującego się w mianowniku danego wyrażenia $\frac{W_{1} (x)}{W_{2} (x)}$

$D = ℝ ∖ \{x : W_{2} (x) = 0\}$

pierwiastek wielomianu

pierwiastkiem wielomianu $W (x)$ nazywamy liczbę rzeczywistą $a$ , dla której $W (a) = 0$

Wprowadzenie

Infografika

Algorytm rozwiązywania nierówności wymiernych

$I$ sposób:

$II$ sposób:

Słownik

Wprowadzenie

Infografika

Przeczytaj

Algorytm rozwiązywania nierówności wymiernych

I sposób:

II sposób:

Słownik

$I$ sposób:

$II$ sposób: