Przeczytaj
Nierównością wymierną z niewiadomą nazywamy nierówność, którą można sprowadzić do postaci
lub lub lub ,
gdzie , są wielomianami, przy czym jest wielomianem co najmniej pierwszego stopnia i .
Przykłady nierówności wymiernych:
, gdzie ,
, gdzie ,
, gdzie ,
, gdzie ,
, gdzie .
Nierówność wymierną rozwiązujemy najczęściej doprowadzając ją do postaci wielomianowej, przy wyznaczonej dziedzinie nierówności wymiernejdziedzinie nierówności wymiernej.
,
,
,
.
Zatem przy rozwiązywaniu nierówności wymiernych, często będziemy korzystać z powyższego twierdzenia.
Czy nierówność
możemy obustronnie pomnożyć przez ?
Oczywiście, że nie!
Zauważmy, że wyrażenie występujące w mianowniku nie ma określonego znaku. Wyrażenie nie jest zawsze dodatnie, bądź ujemne.
Natomiast, jeśli zadanie brzmi:
Rozwiąż nierówność dla .
Wówczas możemy nierówność pomnożyć obustronie przez , bo .
Stąd
Uwaga nie zmieniamy zwrot nierówności, ponieważ wyrażenie jest dodatnie, czyli
,
.
Uwzględnijmy założenie:
.
Zbiorem rozwiązań nierówności w tym przypaku jest zbiór .
Rozwiąż nierówność dla .
Wówczas możemy nierówność pomnożyć obustronnie przez , bo .
Stąd
Uwaga! – zmieniamy zwrot nierówności, ponieważ wyrażenie jest ujemne, czyli
,
.
Uwzględnijmy założenie:
.
Zbiorem rozwiązań nierówności w tym przypadku jest zbiór .
Rozwiążemy nierówność .
Na początku rozwiązywania nierówności wymiernej musimy podać założenia.
Założenie: (mianownik nie może przyjmować wartości równej zero), czyli .
Korzystamy z równoważności:
.
wtedy i tylko wtedy, gdy i .
Wówczas i .
Uwzględniając założenia podajemy rozwiązanie nierówności wymiernej.
Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór .
Kolejną nierówność rozwiążemy na dwa sposoby.
Rozwiążemy następującą nierówność .
Zawsze na początku rozwiązywania zadania musimy podać założenia, czyli .
.
sposób rozwiązania nierówności wymiernej:
Sprowadzamy nierówność do postaci .
, skąd
, zatem
.
Zapisujemy nierówność w postaci równoważnej nierówności iloczynowej
,
.
Odczytujemy miejsca zerowe wielomianu oraz uwzględniając dziedzinę, szkicujemy jego wykres.
Rlok9A0mkGvy4 Uwzględniamy dziedzinę , która w tym wypadku nie wpływa na rozwiązanie. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór .
sposób rozwiązania nierówności wymiernej:
Zauważmy, że wielomian występujący w mianowniku przyjmuje wartości dodatnie, jak i ujemne. Zatem nie możemy nierówności pomnożyć obustronnie przez . Pomnożmy obie strony nierówności przez wyrażenie . Wówczas, przy przyjętych założeniach, zwrot nierówności nie ulegnie zmianie, bo .
,
,
.
Wyłączamy wspólny czynnik przed nawias
,
,
,
.
Następnie postępujemy analogicznie jak powyżej, czyli wielomian ma dwa pierwiastki jednokrotne: , .
Rlok9A0mkGvy4 Uwzględniamy dziedzinę , która w tym wypadku nie wpływa na rozwiązanie. Zatem zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór .
Zwróćmy uwagę na to, że przy rozwiązywaniu nierówności wymiernej drugim sposobem, nie możemy mnożyć obustronnie nierówności przez mianownik wyrażenia wymiernego, jeśli nie wiemy jaki on ma znak, czy ujemny czy dodatni. Jeśli znak mianownika byłby ujemny, to po pomnożeniu nierówności przez ten mianownik, musielibyśmy zmienić zwrot nierówności.
Rozwiążemy nierówność .
Podajmy założenie: , czyli .
.
Korzystając ze wzoru skróconego mnożenia otrzymujemy
.
Po skróceniu wyrażenia przez mamy
,
i .
Uwzględniając dziedzinę szkicujemy wykres.
Odpowiedź: Zbiorem rozwiązań nierówności jest zbiór .
Rozwiązując nierówność wymierną, pamiętajmy o wyznaczeniu dziedziny.
Algorytm rozwiązywania nierówności wymiernych
sposób:
Wyznaczamy dziedzinę nierówności wymiernejdziedzinę nierówności wymiernej.
Sprowadzamy nierówność do postaci ogólnej - przenosimy wszystkie wyrażenia na jedną stronę nierówności.
Wykonujemy wskazane działania.
Nierówność wymierną rozwiązujemy doprowadzając ją do równoważnej postaci wielomianowej przy wyznaczonej dziedzinie nierówności wymiernejdziedzinie nierówności wymiernej (zastępujemy iloraz iloczynem z uwzględnieniem założeń).
Wyznaczamy pierwiastki wielomianupierwiastki wielomianu oraz szkicujemy wykres.
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.
Wyznaczamy rozwiązanie nierówności wymiernej uwzględniając dziedzinę.
sposób:
Wyznaczamy dziedzinę nierówności wymiernejdziedzinę nierówności wymiernej.
Mnożymy obustronnie nierówność przez kwadrat mianownika lub przez inne wyrażenia, których znak jest jednoznacznie określony.
Wykonujemy wskazane działania.
Wyznaczamy pierwiastki wielomianu oraz szkicujemy wykres.
Z wykresu odczytujemy zbiór rozwiązań danej nierówności.
Wyznaczamy rozwiązanie nierówności wymiernej uwzględniając dziedzinę.
Słownik
dziedziną nierówności wymiernej są wszystkie liczby rzeczywiste za wyjątkiem pierwiastków wielomianu znajdującego się w mianowniku danego wyrażenia
pierwiastkiem wielomianu nazywamy liczbę rzeczywistą , dla której