Przeczytaj

Równanie $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ nazywamy równaniem kwadratowym.

Rozwiązanie równania z niewiadomą $x$ polega na wyznaczeniu wszystkich wartości $x$ , które spełniają to równanie. Zbiór wszystkich takich liczb $x$ nazywamy zbiorem rozwiązań równania. Rozwiązania równania nazywa się również pierwiastkami równania.

Przekształcimy trójmian kwadratowy w następujący sposób.

a x^{2} + b x + c = a (x^{2} + \frac{b x}{a}) + c = a (x^{2} + \frac{2 b x}{2 a}) + c =

= a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2}}{4 a} + c = a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a}

Wyrażenie $∆ = b^{2} - 4 a c$ nazywa się wyróżnikiem równania kwadratowegowyróżnik trójmianu kwadratowegowyróżnikiem równania kwadratowego.

Zatem równanie kwadratowerównanie kwadratowerównanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ możemy zapisać w postaci:

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{∆}{4 a} = 0

a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{∆}{4 a} | : a, a \neq 0

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = \frac{∆}{4 a^{2}}

Jeżeli $∆ < 0$ to równanie jest sprzeczne.

Jeżeli $∆ = 0$ otrzymujemy:

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = 0

x_{0} = \frac{- b}{2 a}

Jeżeli $∆ > 0$ otrzymujemy:

$x + \frac{b}{2 a} = \frac{- \sqrt{∆}}{2 a}$ lub $x + \frac{b}{2 a} = \frac{\sqrt{∆}}{2 a}$

$x = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ lub $x = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$

Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Twierdzenie: Liczba rozwiązań równania kwadratowego

Rozważmy równanie kwadratowe $a x^{2} + b x + c = 0$ , $a \neq 0$ .

Jeżeli $∆ > 0$ , to równanie ma dwa pierwiastki $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .
Jeżeli $∆ = 0$ , to równanie ma jeden pierwiastek, nazwany podwójnym pierwiastkiem $x_{0} = \frac{- b}{2 a}$ .
Jeżeli $∆ < 0$ , to równanie nie ma pierwiastków.

Przykład 1

Sprawdzimy, ile rozwiązań ma równanie $x^{2} - 3 x + 8 = 0$

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a = 1$ , $b = - 3$ , $c = 8$ .

Obliczymy $∆$ .

$∆ = b^{2} - 4 a c$

$∆ = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 9 - 32 = - 23$

Ponieważ $∆ < 0$ zatem równanie nie posiada rozwiązania.

Przykład 2

Obliczymy, jeżeli istnieją, pierwiastki równaniapierwiastki równaniapierwiastki równania $9 x^{2} - 12 x + 4 = 0$ .

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a = 9$ , $b = - 12$ , $c = 4$ .

Obliczymy $∆$ .

$∆ = b^{2} - 4 a c$

$∆ = {(- 12)}^{2} - 4 \cdot 9 \cdot 4 = 144 - 144 = 0$

Ponieważ $∆ = 0$ zatem równanie posiada jeden pierwiastek podwójny.

$x_{0} = \frac{- b}{2 a}$

$x_{0} = \frac{- (- 12)}{2 \cdot 9}$

$x_{0} = \frac{12}{18}$

$x_{0} = \frac{2}{3}$

Równanie posiada jeden pierwiastek podwójny $x_{0} = \frac{2}{3}$ .

Przykład 3

Rozwiążemy równanie $x^{2} - 5 x + 6 = 0$ .

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a = 1$ , $b = - 5$ , $c = 6$ .

Obliczymy $∆$ .

$∆ = b^{2} - 4 a c$

$∆ = {(- 5)}^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1$

Ponieważ $∆ > 0$ zatem $\sqrt{∆} = 1$ .

Równanie posiada dwa pierwiastki $x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$ , $x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$ .

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 1}$

$x_{1} = \frac{4}{2}$

$x_{1} = 2$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 1}$

$x_{1} = \frac{6}{2}$

$x_{1} = 3$

Zbiór rozwiązań równania: $\{2, 3\}$ .

Przykład 4

Sprawdzimy, dla jakich wartości parametru $k$ równanie kwadratowe $(k + 2) x^{2} - 3 x + 1 = 0$ jest sprzeczne.

Współczynniki trójmianu kwadratowego to $a = k + 2$ , $b = - 3$ , $c = 1$ .

Obliczymy $∆$ .

$∆ = b^{2} - 4 a c$

$∆ = {(- 3)}^{2} - 4 \cdot (k + 2) \cdot 1 = 9 - 4 k - 8 = 1 - 4 k$

Aby równanie było sprzeczne wyróżnik trójmianu musi przyjmować wartości ujemne.

$∆ < 0 \Leftrightarrow 1 - 4 k < 0$

$- 4 k < - 1$

$k > \frac{1}{4}$

Równanie jest sprzeczne dla $k \in (\frac{1}{4}, \infty)$ .

Przykład 5

Rozwiążemy równanie $|x^{2} + 2 x - 2| = 1$ .

$x^{2} + 2 x - 2 = 1$ lub $x^{2} + 2 x - 2 = - 1$

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$ lub $x^{2} + 2 x - 1 = 0$

Obliczymy wyróżnik pierwszego równania.

$x^{2} + 2 x - 3 = 0$

$∆ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 3) = 4 + 12 = 16$

$\sqrt{16} = 4$

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{- 2 - 4}{2 \cdot 1} = - 3$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{- 2 + 4}{2 \cdot 1} = 1$

Obliczymy wyróżnik drugiego równania.

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$

$∆ = 2^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (- 1) = 4 + 4 = 8$

$\sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

$x_{1} = \frac{- b - \sqrt{∆}}{2 a}$

$x_{1} = \frac{- 2 - 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x_{1} = - 1 - \sqrt{2}$

$x_{2} = \frac{- b + \sqrt{∆}}{2 a}$

$x_{2} = \frac{- 2 + 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

$x_{2} = - 1 + \sqrt{2}$

Słownik

równanie kwadratowe

równanie postaci $a x^{2} + b x + c = 0$ dla $a \neq 0$

wyróżnik trójmianu kwadratowego

wyraża się wzorem $∆ = b^{2} - 4 a c$

pierwiastki równania

liczby spełniające równanie

Wprowadzenie

Infografika

Słownik