Przykład 1

Zależność między długością d przekątnej kwadratu a długością x jego boku jest określona wzorem

dx=x2
R11lCXOZkIFUl1
Animacja pokazuje, że ze wzrostem długości boku kwadratu wzrasta długość jego przekątnej, zgodnie ze wzorem d(x) = x razy pierwiastek z dwóch.

Jest to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest 2.

Przykład 2

Zależność między wysokością h trójkąta równobocznego a długością a jego boku jest określona wzorem:

ha=a32.
RqNp7cJ2dufbG1
Animacja pokazuje, że ze wzrostem długości boku trójkąta równobocznego wzrasta wysokość trójkąta, zgodnie ze wzorem h(a) = a pierwiastek z trzech dzielone przez dwa.

Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest 32.

Przykład 3

Zależność między obwodem L koła a promieniem tego koła jest określona wzorem:

Lr=2πr.
RbVU0Md3gXVvp1
Animacja pokazuje, że ze wzrostem długości promienia okręgu wzrasta jego obwód, zgodnie ze wzorem L(r) = 2 pi r.

Zależność ta to proporcjonalność prosta, a współczynnikiem tej proporcjonalności jest 2π.

Funkcja liniowa
Przejdźmy teraz do funkcji opisanych tym samym wzorem co proporcjonalność prosta, a więc fx=ax, ale określonych dla dowolnej liczby rzeczywistej x. O liczbie a nie będziemy już zakładać, że musi być dodatnia. Zastanówmy się, jak wygląda wykres takiej funkcji.

Wykres funkcji fx=ax
Twierdzenie: Wykres funkcji fx=ax

Wykresem funkcji fx=ax, gdzie a to ustalona liczba rzeczywista, jest prosta o równaniu y=ax.

Wykres funkcji fx=ax, gdzie xR to prosta, która przechodzi przez każdy z punktów postaci x,ax.
W praktyce do jej narysowania wystarczy zaznaczyć punkt (0, 0) i odpowiednio dobrany inny punkt x,ax.

Przykład 4
  • Wykresem funkcji

fx=2x

jest prosta przechodząca przez punkty (0, 0)(1, 2). Wykres ten jest zbiorem punktów x,y, które spełniają równanie y=2x, czyli prostą opisaną równaniem y=2x.

  • Wykresem funkcji

fx=-3x

jest prosta opisana równaniem y=-3x, przechodząca przez punkty (0, 0)(1, 3).

  • Wykresem funkcji

fx=54x

jest prosta opisana równaniem y=54x, przechodząca przez punkty (0, 0)(4, 5).

  • Wykresem funkcji

fx=-1,4x

jest prosta opisana równaniem y=-1,4x, przechodząca przez punkty (0, 0)(5, 7).

RI32Vp4uhW8xh1
Animacja pokazuje, że zmieniając współczynnik proporcjonalności a zmienia się położenie wykresu funkcji liniowej f(x) =a razy x w układzie współrzędnych. Dla a>0 prosta leży w pierwszej i trzeciej ćwiartce układu współrzędnych i przechodzi przez początek układu współrzędnych. Dla a<0 prosta leży w drugiej i czwartej ćwiartce i przechodzi przez początek układu współrzędnych.

W dalszej części tego rozdziału będziemy zajmować się funkcjami określonymi wzorem fxax+b, gdzie a,b są ustalonymi liczbami rzeczywistymi.
Zauważmy, że po przesunięciu wykresu funkcji fx=axb jednostek wzdłuż osi Oy otrzymamy wykres funkcji określonej wzorem

g(x)=fx+b

a więc

gx=ax+b.

Zatem wykresem funkcji g jest prosta równoległa do prostej o równaniu

y=ax.
Przykład 5
  • Wykresem funkcji

fx=2x-3

jest prosta równoległa do prostej o równaniu y=2x i przechodząca przez punkt (0, 3), czyli prosta o równaniu

y=2x-3.
R1ZSaMmizZVWd1
  • Wykresem funkcji

fx=-3x+4

jest prosta równoległa do prostej o równaniu y=-3x i przechodząca przez punkt (0, 4), czyli prosta o równaniu

y=-3x+4.
RVyovP1b4Ncvu1
  • Wykresem funkcji

fx=45x+2

jest prosta równoległa do prostej o równaniu y=45x i przechodząca przez punkt (0, 2), czyli prosta o równaniu

y=45x+2.
RYTyEuIUQuLGk1
  • Wykresem funkcji

fx=-1,4x-1

jest prosta równoległa do prostej o równaniu y=-1,4x i przechodząca przez punkt (0, 1), czyli prosta o równaniu

y=-1,4x-1.
R1KsVU51es2KE1