Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

R1es6RVVf1JVY1

Ćwiczenie 1

RhURheD9rb7Y81

Ćwiczenie 2

R1Dh3PakbMu1c11

Ćwiczenie 3

Ćwiczenie 4

Malwina zapisała dwie liczby. Gdy policzyła różnicę podwojonej pierwszej liczby i drugiej liczby, to otrzymała wynik $4$ . Gdy od podwojonej drugiej liczby odjęła potrojoną pierwszą liczbę, to otrzymała $17$ . Jakie liczby zapisała Malwina?

Niech $x$ oznacza pierwszą, a $y$ drugą liczbę. Zapiszmy zależności podane w zadaniu w formie układu równań:

$\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ 2 y - 3 x = 17 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x - y = 4 \\ - 3 x + 2 y = 17 \end{cases}$

Pomnóżmy pierwsze równanie stronami przez $2$ w celu skorzystania z metody przeciwnych współczynników.

$\{\begin{cases} 2 x - y = 4 | \cdot 2 \\ - 3 x + 2 y = 17 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 4 x - 2 y = 8 \\ - 3 x + 2 y = 17 \end{cases}$

Po dodaniu do siebie równań otrzymamy: $x = 25$ oraz $50 - y = 4$ , a stąd $y = 46$ .

Malwina zapisała liczby $25$ i $46$ .

Ćwiczenie 5

Dane są dwie liczby, z których druga jest o $20 %$ większa od pierwszej. Jeśli od drugiej liczby dodamy $18$ , to otrzymamy liczbę o $50 %$ większą od pierwszej liczby pomniejszonej o $5$ . Znajdź sumę tych liczb.

Niech $x$ oznacza pierwszą, a $y$ drugą liczbę.

Skoro druga liczba jest o $20 %$ większa od pierwszej, to

$y = 120 % x = 1, 2 x$ .

Jeśli druga liczba powiększona o $18$ jest o $50 %$ większa od pierwszej liczby pomniejszonej o $5$ , to

$y + 18 = 150 % (x - 5) = 1, 5 (x - 5)$ .

Zapiszmy i rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{cases} y = 1, 2 x \\ y + 18 = 1, 5 (x - 5) \end{cases}$

Zastosujmy metodę podstawiania:

$\{\begin{cases} y = 1, 2 x \\ 1, 2 x + 18 = 1, 5 (x - 5) | \cdot 10 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1, 2 x \\ 12 x + 180 = 15 (x - 5) \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1, 2 x \\ 12 x + 180 = 15 x - 75 \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 1, 2 x \\ - 3 x = - 255 | : (- 3) \end{cases}$

$\{\begin{cases} y = 102 \\ x = 85 \end{cases}$

Szukanymi liczbami są $85$ i $102$ . Suma tych liczb jest równa $187$ .

Ćwiczenie 6

Jeśli od licznika pewnego nieskracalnego ułamka zwykłego odejmiemy $3$ , a do jego mianownika dodamy $2$ , to otrzymamy $\frac{1}{2}$ . Jeśli od licznika tego ułamka odejmiemy $1$ , a mianownik pomnożymy przez $2$ , a następnie odejmiemy od niego $8$ , to otrzymamy $\frac{1}{3}$ . Jaki to ułamek?

Niech $x$ oznacza licznik, a $y$ mianownik tego ułamka. Zapiszmy i rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{cases} \frac{x - 3}{y + 2} = \frac{1}{2} \\ \frac{x - 1}{2 y - 8} = \frac{1}{3} \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 (x - 3) = y + 2 \\ 3 (x - 1) = 2 y - 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x - 6 = y + 2 \\ 3 x - 3 = 2 y - 8 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 2 x - y = 8 \\ 3 x - 2 y = - 5 \end{cases}$

Użyjmy wzorów Cramera do rozwiązania tego układu.

$W = |\begin{array}{l} 2 & - 1 \\ 3 & - 2 \end{array}| = 2 \cdot (- 2) - 3 \cdot (- 1) = - 4 + 3 = - 1$ .

$W$ jest liczbą różną od zera, więc układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Obliczmy $W_{x}$ i $W_{y}$ .

$W_{x} = |\begin{array}{l} 8 & - 1 \\ - 5 & - 2 \end{array}| = 8 \cdot (- 2) - (- 5) \cdot (- 1) = - 16 - 5 = - 21$

$W_{y} = |\begin{array}{l} 2 & 8 \\ 3 & - 5 \end{array}| = 2 \cdot (- 5) - 3 \cdot 8 = - 10 - 24 = - 34$

Rozwiązaniem układu jest para liczb:

$\{\begin{cases} x = \frac{- 21}{- 1} = 21 \\ y = \frac{- 34}{- 1} = 34 \end{cases}$

Szukanym ułamkiem jest $\frac{21}{34}$ .

Ćwiczenie 7

Suma cyfr pewnej liczby dwucyfrowej wynosi $14$ . Jeśli zamienimy jej cyfr miejscami, to otrzymamy liczbę o $36$ mniejszą. Jaka to liczba?

Niech $x$ oznacza cyfrę dziesiątek, a $y$ cyfrę jedności tej liczby. Szukaną liczbę można więc zapisać jako $10 x + y$ . Suma cyfr tej liczby jest równa $14$ , a więc $x + y = 14$ . Ponieważ po zamianie cyfr miejscami otrzymamy liczbę o $36$ mniejszą, więc $10 y + x = 10 x + y - 36$ .

Zapiszmy układ równań:

$\{\begin{cases} x + y = 14 \\ 10 y + x = 10 x + y - 36 \end{cases}$

${\begin{cases} x + y = 14 \\ 9 y - 9 x = - 36 | : 9 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 14 \\ y - x = - 4 \end{cases}$

Po dodaniu równań stronami otrzymujemy $2 y = 10$ , a więc $y = 5$ .

Stąd $x + 5 = 14$ , a więc $x = 9$ .

Szukaną liczbą jest $95$ .

Ćwiczenie 8

Jeśli pomiędzy cyfry pewnej liczby dwucyfrowej wstawimy $6$ , to otrzymamy liczbę $11$ razy większą. Jeśli zamienimy jej cyfry miejscami, to otrzymamy liczbę o $6$ większą od trzykrotności tej liczby. Jaka to liczba?

Oznaczmy przez $x$ cyfrę dziesiątek, a przez $y$ cyfrę jedności szukanej liczby. Liczba ta da się więc zapisać jako $10 x + y$ . Jeśli wstawimy pomiędzy jej cyfry liczbę $6$ , to $x$ stanie się cyfrą setek, $6$ będzie cyfrą dziesiątek, a $y$ cyfrą jedności. Tak otrzymaną liczbę można więc zapisać jako $100 x + 60 + y$ . Zapiszmy i rozwiążmy układ równań:

$\{\begin{cases} 100 x + 60 + y = 11 (10 x + y) \\ 10 y + x = 3 (10 x + y) + 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 100 x + 60 + y = 110 x + 11 y \\ 10 y + x = 30 x + 3 y + 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 10 x + 10 y = 60 | : 6 \\ 29 x - 7 y = - 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} x + y = 6 | \cdot 7 \\ 29 x - 7 y = - 6 \end{cases}$

$\{\begin{cases} 7 x + 7 y = 42 \\ 29 x - 7 y = - 6 \end{cases}$

Po dodaniu do siebie równań otrzymujemy $36 x = 36$ , więc $x = 1$ , a $y = 5$ .

Szukaną liczbą jest $15$ .

Prezentacja multimedialna

Dla nauczyciela