Zaznacz wszystkie zdania prawdziwe. Możliwe odpowiedzi: 1. Prosta o równaniu y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x jest nachylona do osi X pod kątem sześćdziesiąt stopni., 2. Prosta o równaniu y, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, x jest nachylona do osi X pod kątem trzydzieści stopni., 3. Prosta o równaniu Prosta o równaniu y, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x jest nachylona do osi X pod kątem sto pięćdziesiąt stopni., 4. Prosta o równaniu y, równa się, minus, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, x jest nachylona do osi X pod kątem sto pięćdziesiąt stopni.
RdGN6bMA0fauS1
Ćwiczenie 2
Połącz w pary równanie prostej przechodzącej przez punkt nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu z przybliżoną miarą kąta nachylenia do osi X. Skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych, kalkulatora naukowego lub oszacuj.
a y, równa się, zero przecinek siedem zero zero dwa x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni;
b y, równa się, zero przecinek osiem trzy dziewięć jeden x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni;
c y, równa się, zero przecinek pięć siedem siedem cztery x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni;
d y, równa się, jeden przecinek sześć sześć cztery trzy x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni;
e y, równa się, jeden przecinek jeden dziewięć jeden osiem x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni;
f y, równa się, zero przecinek jeden siedem sześć trzy x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni.
Połącz w pary równanie prostej przechodzącej przez punkt nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu z przybliżoną miarą kąta nachylenia do osi X. Skorzystaj z tablic wartości funkcji trygonometrycznych, kalkulatora naukowego lub oszacuj.
a y, równa się, zero przecinek siedem zero zero dwa x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni;
b y, równa się, zero przecinek osiem trzy dziewięć jeden x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni;
c y, równa się, zero przecinek pięć siedem siedem cztery x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni;
d y, równa się, jeden przecinek sześć sześć cztery trzy x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni;
e y, równa się, jeden przecinek jeden dziewięć jeden osiem x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni;
f y, równa się, zero przecinek jeden siedem sześć trzy x Możliwe odpowiedzi: 1. trzydzieści pięć stopni, 2. pięćdziesiąt stopni, 3. pięćdziesiąt dziewięć stopni, 4. czterdzieści stopni, 5. dziesięć stopni, 6. trzydzieści stopni.
R7UxNWfCXVHXQ2
Ćwiczenie 3
Uzupełnij zdanie, aby powstała poprawna definicja kąta nachylenia oraz kąta między prostymi. Kątem nachylenia prostej do osi X nazywamy kąt o wierzchołku w punkcie Tu uzupełnij tej prostej z osią X, jedno z ramion zawiera się w tej części prostej, która leży Tu uzupełnij osią X, zaś drugie ramię zawiera się w osi X i jest zwrócone w tę stronę, w którą odcięte Tu uzupełnij. Kąt między prostymi to niewiększy z dwóch wypukłych kątów o Tu uzupełnij w punkcie przecięcia tych prostych, którego jedno ramię zawarte jest w jednej prostej, zaś drugie Tu uzupełnij zawiera się w drugiej Tu uzupełnij.
Uzupełnij zdanie, aby powstała poprawna definicja kąta nachylenia oraz kąta między prostymi. Kątem nachylenia prostej do osi X nazywamy kąt o wierzchołku w punkcie Tu uzupełnij tej prostej z osią X, jedno z ramion zawiera się w tej części prostej, która leży Tu uzupełnij osią X, zaś drugie ramię zawiera się w osi X i jest zwrócone w tę stronę, w którą odcięte Tu uzupełnij. Kąt między prostymi to niewiększy z dwóch wypukłych kątów o Tu uzupełnij w punkcie przecięcia tych prostych, którego jedno ramię zawarte jest w jednej prostej, zaś drugie Tu uzupełnij zawiera się w drugiej Tu uzupełnij.
Rl4N2jZ5Xp1ZQ2
Ćwiczenie 4
Korzystając z definicji kąta między prostymi z poprzedniego ćwiczenia, rozwiąż test. Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi.
a) Kąt między prostą o równaniu y, równa się, minus, x a osią X jest równy. Możliwe odpowiedzi: 1. sto trzydzieści pięć stopni, 2. czterdzieści pięć stopni, 3. trzysta piętnaście stopni.
b) Kąt między prostą o równaniu y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x a osią Y jest równy. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto dwadzieścia stopni, 3. trzydzieści stopni.
c) Kąt między prostą o równaniu x, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka y a osią X jest równy. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto pięćdziesiąt stopni, 3. trzydzieści stopni.
d) Kąt między prostą o równaniu x, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka y a osią Y jest równy. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto pięćdziesiąt stopni, 3. trzydzieści stopni.
Korzystając z definicji kąta między prostymi z poprzedniego ćwiczenia, rozwiąż test. Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi.
a) Kąt między prostą o równaniu y, równa się, minus, x a osią X jest równy. Możliwe odpowiedzi: 1. sto trzydzieści pięć stopni, 2. czterdzieści pięć stopni, 3. trzysta piętnaście stopni.
b) Kąt między prostą o równaniu y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x a osią Y jest równy. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto dwadzieścia stopni, 3. trzydzieści stopni.
c) Kąt między prostą o równaniu x, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka y a osią X jest równy. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto pięćdziesiąt stopni, 3. trzydzieści stopni.
d) Kąt między prostą o równaniu x, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka y a osią Y jest równy. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto pięćdziesiąt stopni, 3. trzydzieści stopni.
R1XRijedXN7xo21
Ćwiczenie 5
Zbadaj wzajemne położenie prostych o podanych równaniach. Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi.
a) y, równa się, x, plus, dwa i y, minus, dwa, równa się, x. Możliwe odpowiedzi: Przecinają się., Są prostopadłe., Są równoległe., Nie mają punktów wspólnych.
b) y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x i y, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, x. Możliwe odpowiedzi: Przecinają się., Są prostopadłe., Są równoległe., Nie mają punktów wspólnych.
c) y, równa się, x i igrek równa się x odjąć pi. Możliwe odpowiedzi: Przecinają się., Są prostopadłe., Są równoległe., Nie mają punktów wspólnych.
Zbadaj wzajemne położenie prostych o podanych równaniach. Wybierz wszystkie poprawne odpowiedzi.
a) y, równa się, x, plus, dwa i y, minus, dwa, równa się, x. Możliwe odpowiedzi: Przecinają się., Są prostopadłe., Są równoległe., Nie mają punktów wspólnych.
b) y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x i y, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, x. Możliwe odpowiedzi: Przecinają się., Są prostopadłe., Są równoległe., Nie mają punktów wspólnych.
c) y, równa się, x i igrek równa się x odjąć pi. Możliwe odpowiedzi: Przecinają się., Są prostopadłe., Są równoległe., Nie mają punktów wspólnych.
R1B9SgGzdz1TP21
Ćwiczenie 6
Badając kąty nachylenia prostych do osi X wyznacz kąty między prostymi o podanych równaniach.
a) y, równa się, x, minus, jeden, przecinek, y, równa się, minus, x, plus, jeden. Możliwe odpowiedzi: 1. zero stopień, 2. dziewięćdziesiąt stopni, 3. sto stopni.
b) y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dwa, przecinek, y, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, dwa. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto dwadzieścia stopni, 3. trzydzieści stopni.
c) y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dwa, przecinek, y, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, x. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto dwadzieścia stopni, 3. trzydzieści stopni.
d) y, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dwa, przecinek, y, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, x. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto dwadzieścia stopni, 3. dziewięćdziesiąt stopni.
Badając kąty nachylenia prostych do osi X wyznacz kąty między prostymi o podanych równaniach.
a) y, równa się, x, minus, jeden, przecinek, y, równa się, minus, x, plus, jeden. Możliwe odpowiedzi: 1. zero stopień, 2. dziewięćdziesiąt stopni, 3. sto stopni.
b) y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dwa, przecinek, y, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, dwa. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto dwadzieścia stopni, 3. trzydzieści stopni.
c) y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dwa, przecinek, y, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, x. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto dwadzieścia stopni, 3. trzydzieści stopni.
d) y, równa się, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dwa, przecinek, y, równa się, początek ułamka, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, mianownik, trzy, koniec ułamka, x. Możliwe odpowiedzi: 1. sześćdziesiąt stopni, 2. sto dwadzieścia stopni, 3. dziewięćdziesiąt stopni.
R1GrcZz0UeDva31
Ćwiczenie 7
Dla podanej prostej l wybierz z podanych wszystkie proste k, które wraz z prostą l utworzą trójkąt równoramienny A B C, gdzie C jest punktem przecięcia prostych k i l, zaś A i B są punktami przecięcia prostych k i l z osią X i A B jest podstawą trójkąta A B C.
a) l, podzielić na, y, równa się, dwa x, minus, dwa. Możliwe odpowiedzi: 1. k, podzielić na, y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa, 2. k, podzielić na, y, równa się, dwa x, minus, cztery, 3. k, podzielić na, y =- początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa.
b) l, podzielić na, y, równa się, dwa x, minus, trzy. Możliwe odpowiedzi: 1. k, podzielić na, y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa, 2. k, podzielić na, y, równa się, minus, dwa x, minus, dwa, 3. k, podzielić na, y =- początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa.
c) l, podzielić na, y, równa się, trzy x, minus, cztery. Możliwe odpowiedzi: 1. k, podzielić na, y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, cztery, 2. k, podzielić na, y, równa się, minus, trzy x, plus, cztery, 3. k, podzielić na, y, równa się, minus, trzy x, minus, cztery.
d) l, podzielić na, y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, dwa. Możliwe odpowiedzi: 1. k, podzielić na, y, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, dwa, 2. k, podzielić na, y, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, pięć, 3. k, podzielić na, y, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, cztery.
Dla podanej prostej l wybierz z podanych wszystkie proste k, które wraz z prostą l utworzą trójkąt równoramienny A B C, gdzie C jest punktem przecięcia prostych k i l, zaś A i B są punktami przecięcia prostych k i l z osią X i A B jest podstawą trójkąta A B C.
a) l, podzielić na, y, równa się, dwa x, minus, dwa. Możliwe odpowiedzi: 1. k, podzielić na, y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa, 2. k, podzielić na, y, równa się, dwa x, minus, cztery, 3. k, podzielić na, y =- początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa.
b) l, podzielić na, y, równa się, dwa x, minus, trzy. Możliwe odpowiedzi: 1. k, podzielić na, y, równa się, początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa, 2. k, podzielić na, y, równa się, minus, dwa x, minus, dwa, 3. k, podzielić na, y =- początek ułamka, jeden, mianownik, dwa, koniec ułamka, x, minus, dwa.
c) l, podzielić na, y, równa się, trzy x, minus, cztery. Możliwe odpowiedzi: 1. k, podzielić na, y, równa się, minus, początek ułamka, jeden, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, cztery, 2. k, podzielić na, y, równa się, minus, trzy x, plus, cztery, 3. k, podzielić na, y, równa się, minus, trzy x, minus, cztery.
d) l, podzielić na, y, równa się, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, dwa. Możliwe odpowiedzi: 1. k, podzielić na, y, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, dwa, 2. k, podzielić na, y, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, minus, pięć, 3. k, podzielić na, y, równa się, minus, początek ułamka, dwa, mianownik, trzy, koniec ułamka, x, plus, cztery.
3
Ćwiczenie 8
Dana jest parabola o równaniu . Wpisano w nią trójkąt równoboczny w taki sposób, że punkt znajduje się w wierzchołku paraboli, zaś punkty i leżą na prostej równoległej do osi oraz na paraboli . Wyznacz współrzędne punktów i .
RpW6Aom01ogIl
RkYC8BZ5acNML
Uporządkuj poniższe zdania w takiej kolejności, aby otrzymać rozwiązanie tego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Z układu równań wynika równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dziewięć, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, które jest równoważne z równaniem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, sześć, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x, plus, dziewięć, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, równa się, zero., 2. Pierwiastkami powyższego równania kwadratowego są liczby x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy i x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zatem współrzędne punktów przecięcia prostej A C i paraboli p to C, równa się, nawias, trzy, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu i A, równa się, nawias, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu., 3. Po drugie wyznaczymy równanie prostej A C., 4. Z postaci iloczynowej y, równa się, x nawias, x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu widać, że parabola przecina oś X w punktach o współrzędnych nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, sześć przecinek zero, zamknięcie nawiasu., 5. Zauważmy, że prosta A C jest nachylona do osi X pod kątem sześćdziesiąt stopni, zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy a, równa się, tangens sześćdziesiąt stopni, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Zatem równanie prostej ma postać y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, b., 6. Wierzchołek C leży dokładnie na osi symetrii paraboli, więc pierwsza współrzędna wierzchołka C to p, równa się, początek ułamka, nawias, zero, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, trzy. Druga współrzędna wierzchołka C to q, równa się, trzy nawias, trzy, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dziewięć., 7. Wyraz wolny b prostej A C możemy wyznaczyć, podstawiając do równania y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, b współrzędne punktu C, równa się, nawias, trzy, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, podzielić na, minus, dziewięć, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, b wtedy i tylko wtedy, gdy b, równa się, minus, dziewięć, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Równanie prostej A C to y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dziewięć, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka., 8. Po trzecie wyznaczymy współrzędne punktu A. Ponieważ punkt A leży i na prostej A C, i na paraboli p, więc jego współrzędne możemy wyznaczyć rozwiązując układ równań: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dziewięć, koniec równania, koniec układu równań., 9. Ponieważ punkty A i B są położone symetrycznie względem prostej o równaniu x, równa się, trzy, więc punkt B ma współrzędne nawias, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu., 10. Po pierwsze obliczymy współrzędne punktów szczególnych paraboli: punktów przecięcia z osią X oraz wierzchołka.
Uporządkuj poniższe zdania w takiej kolejności, aby otrzymać rozwiązanie tego zadania. Elementy do uszeregowania: 1. Z układu równań wynika równanie x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dziewięć, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, które jest równoważne z równaniem x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, nawias, sześć, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zamknięcie nawiasu, x, plus, dziewięć, plus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, równa się, zero., 2. Pierwiastkami powyższego równania kwadratowego są liczby x indeks dolny, jeden, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy i x indeks dolny, dwa, koniec indeksu dolnego, równa się, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, zatem współrzędne punktów przecięcia prostej A C i paraboli p to C, równa się, nawias, trzy, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu i A, równa się, nawias, trzy, plus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu., 3. Po drugie wyznaczymy równanie prostej A C., 4. Z postaci iloczynowej y, równa się, x nawias, x, minus, sześć, zamknięcie nawiasu widać, że parabola przecina oś X w punktach o współrzędnych nawias, zero przecinek zero, zamknięcie nawiasu i nawias, sześć przecinek zero, zamknięcie nawiasu., 5. Zauważmy, że prosta A C jest nachylona do osi X pod kątem sześćdziesiąt stopni, zatem jej współczynnik kierunkowy jest równy a, równa się, tangens sześćdziesiąt stopni, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Zatem równanie prostej ma postać y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, b., 6. Wierzchołek C leży dokładnie na osi symetrii paraboli, więc pierwsza współrzędna wierzchołka C to p, równa się, początek ułamka, nawias, zero, plus, sześć, zamknięcie nawiasu, mianownik, dwa, koniec ułamka, równa się, trzy. Druga współrzędna wierzchołka C to q, równa się, trzy nawias, trzy, minus, sześć, zamknięcie nawiasu, równa się, minus, dziewięć., 7. Wyraz wolny b prostej A C możemy wyznaczyć, podstawiając do równania y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, plus, b współrzędne punktu C, równa się, nawias, trzy, przecinek, minus, dziewięć, zamknięcie nawiasu, podzielić na, minus, dziewięć, równa się, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, plus, b wtedy i tylko wtedy, gdy b, równa się, minus, dziewięć, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka. Równanie prostej A C to y, równa się, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka x, minus, dziewięć, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka., 8. Po trzecie wyznaczymy współrzędne punktu A. Ponieważ punkt A leży i na prostej A C, i na paraboli p, więc jego współrzędne możemy wyznaczyć rozwiązując układ równań: nawias klamrowy, układ równań, pierwsze równanie, y, równa się, x indeks górny, dwa, koniec indeksu górnego, minus, sześć x, koniec równania, drugie równanie, y, równa się, x pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, trzy pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, minus, dziewięć, koniec równania, koniec układu równań., 9. Ponieważ punkty A i B są położone symetrycznie względem prostej o równaniu x, równa się, trzy, więc punkt B ma współrzędne nawias, trzy, minus, pierwiastek kwadratowy z trzy koniec pierwiastka, przecinek, minus, sześć, zamknięcie nawiasu., 10. Po pierwsze obliczymy współrzędne punktów szczególnych paraboli: punktów przecięcia z osią X oraz wierzchołka.
Dana jest parabola o równaniu . Wpisano w nią trójkąt równoboczny w taki sposób, że punkt znajduje się w wierzchołku paraboli, zaś punkty i leżą na prostej równoległej do osi oraz na paraboli . Wyznacz współrzędne punktów i . Wiemy, że współrzędne punktu to , minus , a prosta przechodząca przez punkty i , gdzie leży na prawym ramieniu paraboli, jest nachylona do osi pod kątem sześćdziesięciu stopni. Parabola przecina oś w punktach zero oraz sześć. Wiemy też, że punkty i leżą na wysokości minus .
