Sprawdź się

Pokaż ćwiczenia:

Ćwiczenie 1

R1DfCY37yCElw

Kąty utworzone przez dwie proste przecięte trzecią prostą.

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1QF2fehQ5A5X

Połącz w pary. Rysunek przedstawia dwie proste nierównoległe, nie przecinające się na rysunku. Obie proste przecięte są trzecią prostą. Zaznaczono kąty zewnętrze w stosunku do dwóch prostych, leżące po przeciwnych stronach trzeciej prostej, jako alfa i beta. Możliwe odpowiedzi: 1. Alfa i beta to kąty naprzemianległe wewnętrzne., 2. Alfa i beta to kąty jednostronne wewnętrzne., 3. Alfa i beta to kąty odpowiadające., 4. Alfa i beta to kąty jednostronne zewnętrzne., 5. Alfa i beta to kąty naprzemianległe zewnętrzne. Rysunek przedstawia dwie proste nierównoległe, nie przecinające się na rysunku. Obie proste przecięte są trzecią prostą. Zaznaczono kąty skierowane w ta samą stronę w stosunku do dwóch prostych, leżące po tej samej stronie trzeciej prostej, jako alfa i beta. Możliwe odpowiedzi: 1. Alfa i beta to kąty naprzemianległe wewnętrzne., 2. Alfa i beta to kąty jednostronne wewnętrzne., 3. Alfa i beta to kąty odpowiadające., 4. Alfa i beta to kąty jednostronne zewnętrzne., 5. Alfa i beta to kąty naprzemianległe zewnętrzne. Rysunek przedstawia dwie proste nierównoległe, nie przecinające się na rysunku. Obie proste przecięte są trzecią prostą. Zaznaczono kąty wewnętrzne w stosunku do dwóch prostych, leżące po przeciwnych stronach trzeciej prostej, jako alfa i beta. Możliwe odpowiedzi: 1. Alfa i beta to kąty naprzemianległe wewnętrzne., 2. Alfa i beta to kąty jednostronne wewnętrzne., 3. Alfa i beta to kąty odpowiadające., 4. Alfa i beta to kąty jednostronne zewnętrzne., 5. Alfa i beta to kąty naprzemianległe zewnętrzne. Rysunek przedstawia dwie proste nierównoległe, nie przecinające się na rysunku. Obie proste przecięte są trzecią prostą. Zaznaczono kąty wewnętrzne w stosunku do dwóch prostych, leżące po tej samej stronie trzeciej prostej, jako alfa i beta. Możliwe odpowiedzi: 1. Alfa i beta to kąty naprzemianległe wewnętrzne., 2. Alfa i beta to kąty jednostronne wewnętrzne., 3. Alfa i beta to kąty odpowiadające., 4. Alfa i beta to kąty jednostronne zewnętrzne., 5. Alfa i beta to kąty naprzemianległe zewnętrzne. Rysunek przedstawia dwie proste nierównoległe, nie przecinające się na rysunku. Obie proste przecięte są trzecią prostą. Zaznaczono kąty zewnętrzne w stosunku do dwóch prostych, leżące po tej samej stronie trzeciej prostej, jako alfa i beta. Możliwe odpowiedzi: 1. Alfa i beta to kąty naprzemianległe wewnętrzne., 2. Alfa i beta to kąty jednostronne wewnętrzne., 3. Alfa i beta to kąty odpowiadające., 4. Alfa i beta to kąty jednostronne zewnętrzne., 5. Alfa i beta to kąty naprzemianległe zewnętrzne.

Ćwiczenie 2

RA2kh8go9kTQy

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Ra17Su34iF4Eo

Ćwiczenie 3

RCxfmgKgut8cy

Kąty utworzone przez dwie proste równoległe przecięte trzecią prostą.

Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1IImjKbMJNf0

Ćwiczenie 4

Prosta $m$ przecina proste $k$ i $l$ w punktach $A$ i $B$ , a proste $k$ i $l$ przecinają się w punkcie niewidocznym na rysunku, leżącym po tej samej stronie prostej $m$ , po której leży zaznaczony kąt $α$ .

R1cDhOw9NQJwH

Ilustracja przedstawia dwie proste k i l przecięte trzecią prostą m. Proste k i l nie przecinają się na rysunku. W miejscach przecięcia prostych k i l z prostą m zaznaczono odpowiednio punkty A i B. Zaznaczono też odpowiednio kąty alfa i beta na przecięciach prostych k i l z prostą m, leżące po przeciwnych stronach prostej m, zewnętrzne w stosunku do prostych k i l.

R402QUKR6T6sn

Ćwiczenie 5

Pierwszy i ostatni odcinek łamanej otwartej $A B C D E$ są równoległe

R7x1uGdggHEt3

Ilustracja przedstawia dwa równoległe odcinki AB oraz ED. Pomiędzy tymi odcinkami umieszczony jest punkt C, z którego odchodzą dwa odcinki do punktów D oraz B, tworząc z odcinkami AB oraz ED łamaną ABCDE. Kąt EDC jest kątem ostrym 40 stopni, kąt ABC to kąt ostry 26 stopni. Kąt wypukły pomiędzy odcinkami BC i CD jest zaznaczony jako alfa. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

RYgbEsB77ZN0Q

Ćwiczenie 6

Na rysunku jest przedstawiona łamana otwarta $A B C D E F$ , w której odcinki $A B$ i $E F$ są równoległe

RH9qWvdXribGE

Ilustracja przedstawia łamaną ABCDEF. Odcinki AB oraz EF są równoległe, punkty C i D znajdują się pomiędzy odcinkami AB i EF. Kąt ABC to kąt wypukły alfa, kąt BCD to kąt ostry beta, kąt CDE to kąt wypukły gamma, a kąt DEF to kąt ostry delta. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R1Q59iNPGJtVy

Ćwiczenie 7

Na rysunku są przedstawione proste: $k, l, m, n, p$ oraz zaznaczone są niektóre kąty utworzone przez te proste. Proste $k$ i $l$ są równoległe.

R1Znh2CbM7GeG

Ilustracja przedstawia pięć ukośnych prostych. Proste k i l są równoległe, przy czym prosta k leży powyżej prostej l. Przecinają je równoległe proste n i p, przy czym prosta n biegnie przez środek ilustracji, a prosta p w jej prawej części. Poza tym w lewej części ilustracji narysowano prostą m przecinającą wszystkie pozostałe cztery proste. Zaznaczono pogrubionymi kropkami wszystkie punkty przecięcia i oznaczono przy nich wybrane kąty. Między prostą p i k oznaczono kąt 124 stopni. Kąt ten znajduje się z prawej strony prostej p i powyżej prostej k. Między prostą l i p zaznaczono kąt ostry gamma leżący z lewej strony prostej p i powyżej l. Następnie zaznaczono kąt ostry przecięcia prostej k i n poniżej k i po prawej n. Kąt ten ma miarę 56 stopni. Kąt mający z nim wspólny wierzchołek leżący po prawej stronie prostej n i powyżej prostej k to kąt beta. Kąt rozwarty przecięcia prostej n i l to kąt sigma. Kąt ten leży pod prostą l i po lewej stronie prostej n. Kąt ostry przecięcia prostej l i m wynosi 58 stopni i leży powyżej prostej l i po prawej stronie m. Kąt rozwarty przecięcia prostej k i m zaznaczony pod k i po prawej stronie prostej m wynosi alfa dodać 56 stopni. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

R17Qr6pyj2BXk

Ćwiczenie 8

Na rysunku są przedstawione proste $k$ i $l$ przecięte trzecią prostą.

RD32jesCe54WS

Ilustracja przedstawia dwie proste, k i l, przecięte trzecia prostą. Trzecia prosta tworzy z każdą z prostych k i l cztery kąty. Kąt lewy górny pomiędzy prostymi k i trzecią prostą, to kąt gamma, a kąt prawy dolny pomiędzy prostymi k i trzecią prostą to kąt alfa. Kąt prawy górny pomiędzy prostymi l i trzecią prostą, to kąt beta, a kąt lewy dolny pomiędzy prostymi l i trzecią prostą to kąt delta. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wskaż wszystkie zdania fałszywe.

R7aT85pnLUPT5

Ćwiczenie 9

Sformułuj i uzasadnij twierdzenie o kątach jednostronnych.

R18EZy2q1PGpW

Twierdzenie o kątach jednostronnych Jeżeli proste

k

l

są równoległe, to suma miar kątów jednostronnych jest równa math>180°., Dowód Załóżmy, że proste

k

l

są równoległe. Wtedy kąty odpowiadające są równe, a więc zgodnie z oznaczeniami na rysunku,

α = η

. Rysunek przedstawia równoległe proste k i l przecięte trzecią prostą. Zaznaczono dwa kąty: pomiędzy prostą k i trzecia prostą, oraz pomiędzy prostą l i trzecią prostą, leżące po tej samej stronie trzeciej prostej, i oba po zewnętrznych stronach w stosunku do prostych k i l, jako alfa i beta. Dodatkowo wyróżniono kąt leżący po tej samej stronie trzeciej prostej co katy alfa i beta, na przecięciu prostej l i trzeciej prostej, skierowany w kierunku prostej l, jako eta. Kąty

η

φ

są przyległe, więc z twierdzenia o kątach przyległych wynika, że

η + φ = 180 °

. Zatem

α + φ = 180 °

. To kończy dowód., Twierdzenie odwrotne do twierdzenia o kątach jednostronnych Jeżeli suma miar kątów jednostronnych jest równa math>180°. proste

k

l

są równoległe., Dowód Załóżmy, że suma miar kątów jednostronnych jest równa

180 °

. Bez zmniejszania ogólności rozumowania możemy założyć, że są to kąty jednostronne zewnętrzne, a więc niech

α + φ = 180 °

(zobacz poprzedni rysunek). Kąty

η

φ

są przyległe, więc z twierdzenia o kątach przyległych wynika, że

η + φ = 180^{\circ}

. Z ostatnich dwóch równości wynika, że

α = η

, czyli kąty odpowiadające są równe. To z kolei oznacza, na mocy twierdzenia odwrotnego do twierdzenia o kątach odpowiadających, że proste

k

l

są równoległe. To kończy dowód.

Ćwiczenie 10

Wykorzystując poznane twierdzenie o kątach naprzemianległych, udowodnij twierdzenie o sumie kątów wewnętrznych trójkąta.

Przykładowe rozwiązanie Weźmy dowolny trójkąt $A B C$ o kątach $α$ , $β$ , $γ$ (oznaczenia standardowe). Przez jeden z wierzchołków tego trójkąta, np. przez wierzchołek $C$ poprowadźmy prostą $k$ równoległą do boku $A B$ , jak na rysunku.

R4priUVKonGYy

Rysunek przedstawia trójkąt ABC o kątach oznaczony jako alfa w kącie A, beta w kącie B, oraz gamma w kącie C. W punkcie C z trójkątem ABC styczna jest prosta k. Kąty pomiędzy prostą k a odcinkami AC i BC są oznaczone odpowiednio jako delta i eta. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Wtedy kąty naprzemianległe $α$ i $δ$ są równe, tak jak równe są kąty naprzemianległe $β$ i $η$ , czyli $α = δ$ i $β = η$ . Suma miar kątów $δ$ , $γ$ i $η$ jest równa $180 °$ , czyli $δ + γ + η = 180 °$ , więc stąd i z poprzednich dwóch równości otrzymujemy $α + β + γ = 180 °$ , co należało udowodnić.

Ćwiczenie 11

W trapezie $A B C D$ długość ramienia $B C$ jest równa sumie długości podstaw $A B$ i $C D$ . Udowodnij, że wtedy na ramieniu $B C$ istnieje takie punkt $E$ , że kąt $A E D$ jest prosty. W dowodzie wykorzystaj twierdzenie o kątach naprzemianległych.

Przykładowe rozwiązanie

Niech $a$ i $b$ oznaczają długości podstaw odpowiednio $A B$ i $C D$ trapezu $A B C D$ . Z treści zadania wynika więc, że $| B C | = a + b$ . Oznacza to, że na ramieniu $B C$ leży taki punkt $E$ , że $| B E | = a$ i $| C E | = b$ . Wobec tego trójkąty $A B E$ i $D E C$ są równoramienne. Poprowadźmy przez punkt $E$ prostą $k$ równoległą do podstaw trapezu i oznaczmy literą $F$ punkt jej przecięcia z ramieniem $A D$ .

R1WcmKR46qs9u

Rysunek przedstawia czworokąt ABCD, przecięty prostą k. Odcinek AB ma długość a, odcinek CD ma długość b. Prosta k przecina czworokąt w punktach F na odcinku AD i w punkcie E na odcinku BC. Długość odcinka CE to b, długość odcinka BE to a. Wewnątrz czworokąta wykreślono odcinki DE i AE, tworzące odpowiednio kąty: CDE – delta, DCE – delta, DEF – delta, BAE – alfa, AEB – alfa, AEF – alfa. — Źródło: Gromar Sp. z o.o., licencja: CC BY-SA 3.0.

Oznaczmy przez $α$ kąt $B A E$ , a przez $δ$ kąt $C D E$ . Zatem z twierdzenia o równości kątów przy podstawie trójkąta równoramiennego otrzymujemy $| ∢ B E A | = α$ i $| ∢ C E D | = δ$ . Ponieważ proste $A B$ , $k$ i $C D$ są równoległe, więc kąty naprzemianległe $B A E$ i $F E A$ są równe oraz kąty naprzemianległe $C D E$ i $F E D$ są równe, czyli $| ∢ F E A | = α$ i $| ∢ F E D | = δ$ . Punkty $B$ , $E$ i $C$ są współliniowe, więc $| ∢ B E A | + | ∢ F E A | + | ∢ F E D | + | ∢ C E D | = 180 °$ . Stąd i z poprzednich równości otrzymujemy $α + α + β + β = 180 °$ , czyli $2 α + 2 β = 180 °$ . Z tej równości dostajemy $α + β = 90 °$ , ale $| ∢ A E D | = | ∢ F E A | + | ∢ F E D | = α + β$ , więc $| ∢ A E D | = 90 °$ . To kończy dowód.

Aplet

Dla nauczyciela