Zauważ, że dla każdego kąta wewnętrznego ${\alpha }_k$ istnieją dwa kąty zewnętrzne i każdy z nich, jako kąt przyległy, ma miarę $180°-{\alpha }_k$. Zatem suma miar kątów zewnętrznych leżacych przy kącie wewnętrznym ${\alpha }_k$ ma miarę $2·(180°-{\alpha }_k)$. Analogicznie możesz policzyć sumy kątów zewnętrznych dla każdego z kątów wewnętrznych danego wielokąta wypukłego. Stąd suma miar wszystkich kątów zewnętrznych jest równa: $2·(180°-{\alpha }_1)+2·(180°-{\alpha }_2)+\dots +2·(180°-{\alpha }_n)=$$=n·(2·180°)-2·({\alpha }_1+{\alpha }_2+\dots +{\alpha }_n)=$$=n·360°-2·(180°·(n-2\left)\right)=$$=n·360°-n·360°+2·180°·2=720°$

Co było do wykazania.

Z warunków zadania wynika, że $\alpha =180°-\frac{360°}{n}$ oraz $2\alpha =180°-\frac{360°}{2n}$. Można więc zapisać równanie zmiennej $n$: $2·(180°-\frac{360°}{n})=180°-\frac{360°}{2n}$. Przekształcając dane równanie w sposób równoważny otrzymujemy kolejno: $2·(1-\frac{2}{n})=1-\frac{2}{2n}$, $2-1=\frac{4}{n}-\frac{1}{n}$, $1=\frac{3}{n}$. Zatem jedynym wielokątem o tej własności jest trójkąt (oczywiście równoboczny).